人教版A版（2019）高中数学必修二解答（24道）（期末篇）练习题

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（考试时间：120分钟 满分：150分）
1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求证：；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由正弦定理将角化边，再结合余弦定理得到，再利用正弦定理将边化角得到，即可得到，从而得证；
（2）由（1）可知，再根据三角形为锐角三角形，得到角的取值范围，则，即可求出的取值范围；
【详解】
解：（1）由得
由余弦定理，
代入得，
则
由正弦定理得
所以，得
由知，故，
所以或（舍去）
所以
（2）由（1）可知，由得，所以，

因为，所以，，，所以，即
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
2．已知向量，，设，.
（1）求的值；
（2）求夹角的大小.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由平面向量模长的坐标运算可直接求解得到结果；
（2）利用平面向量坐标运算求得，和；利用平面向量数量积的运算律可求得，和，由向量夹角公式可求得结果.
【详解】
（1），
；
（2）由题意得：，，，
，
，
，
，又，.
3．已知函数．
（1）求函数的单调减区间；
（2）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，求的值．
【答案】（1）单调递减区间为（）；（2）．
【分析】
（1）将函数转化为，利用正弦函数的性质求解；
（2）利用（1）由求得C，再由，利用正弦定理将边转化为角，然后利用三角恒等变换求解.
【详解】
（1），
，
令（），
整理得：，（），
所以的单调递减区间为（）．
（2）由（1）知：，
∴，，
∴，，
由于，
所以，，，
又，
由正弦定理，
得：，
整理得，
∵，
∴，
∴．
又，
得：，
∴
．
4．如图，在四边形中，，且.
（1）求的面积；
（2）若，求的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用已知条件求出角的正弦函数值，然后求的面积；
（2）利用余弦定理求出，通过的值利用余弦定理求解的长．
【详解】
解：（1），
（2）
，即，
在中，，
整理可得，解得.
5．已知是同一平面的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若与的夹角的余弦值为，且，求．
【答案】（1）或；（2）
【分析】
（1）根据题意得，再结合得，进而得答案；
（2）根据题意得，再结合可得，解方程即可得答案.
【详解】
解：（1）∵，∴存在实数使得，
∵，∴，解得，
∴或.
（2）∵，与的夹角的余弦值为
∴，
∵，∴，
∴ ，解得.
【点睛】
本题考查向量的共线与垂直的坐标表示，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于熟练掌握向量共线与垂直定义与坐标表示，进而求解.
6．中，角的对边分别为，
（1）若为锐角三角形，其面积为，求a的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）结合已知条件和正弦定理先求解出的值，再根据三角形的面积公式求解出的值，最后根据余弦定理求解出的值；
（2）根据已知条件先用表示出，然后利用余弦定理表示出，由此求解出之间的倍数关系，结合倍数关系即可计算出的值，则的值可求，故的值可求.
【详解】
（1）因为且，
所以且，所以，
又因为为锐角三角形，所以，
所以，所以，
所以，所以；
（2）因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以 ，所以，
所以.
【点睛】
关键点点睛：解答本题第二问的关键在于两次使用余弦定理，其中第一次是为了求得的关系，第二次是在已知关系的前提下计算的值；本例第二问除了可以采用余弦定理进行求解，还可以利用正弦定理进行求解：将变形为角的正弦形式，结合以及三角恒等变换的公式进行化简与计算即可.
7．已知m∈R，复数（i是虚数单位）．
（1）若复数z是实数，求m的值；
（2）若复数z对应的点位于复平面的第二象限，求m的取值范围．
【答案】（1）m＝3；（2）（﹣2，﹣1）．
【分析】
（1）直接由虚部为0求解；
（2）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．
【详解】
解：（1）∵是实数，
∴，解得m＝3；
（2）∵复数z对应的点位于复平面的第二象限，
∴，解得﹣2＜m＜﹣1．
∴m的取值范围是（﹣2，﹣1）．
8．已知z是复数，z+2i、均为实数（i为虚数单位），
（1）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
（2）若复数z1＝csθ+isinθ（0≤θ≤π），求复数|z﹣z1|的取值范围．
【答案】（1）2＜a＜6；（2）．
【分析】
设,先利用已知条件求出复数z.
（1）列出复数的实部与虚部满足的不等式，求出范围即可．
（2）利用复数模求解三角函数的最值即可．
【详解】
解：z是复数，、均为实数，
设z＝x﹣2i，则，
,．
（1）复数（z+ai）2＝（4﹣2i+ai）2＝16﹣（2﹣a）2﹣8（2﹣a）i．
复平面上对应的点在第一象限．
，解得2＜a＜6．
（2）复数（0≤θ≤π），
复数．
其中，且为锐角，，
当时，左侧取等号，当时右侧取等号，
．
复数|z﹣z1|的取值范围：．
【点睛】
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用以及复数的模的求法．关键易错点是误认为的值域一定是[-1,1],要注意先确定的正余弦和范围，再根据的范围确定的范围，从而求得.
9．已知复数，z2＝5m+3mi（m∈R）．
（1）若z＝z1﹣z2为纯虚数，求实数m的值；
（2）当m＝1时，若，求．
【答案】（1）m＝2；（2）．
【分析】
（1）化简为的形式，通过复数是纯虚数，实部为0，虚部不为0，列出方程组求实数的值；
（2）当时，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
（1）由，，
得，
又为纯虚数，
∴，
解得：；
（2）当时，，，
∴，
∴．
10．若关于x的二次方程x2+z1x+z2+m＝0的两根为α，β，满足|α﹣β|＝2．
（1）若z1，z2，m是实数，且z12﹣4z2＝16，求m的值；
（2）若z1，z2，m是复数，且z12﹣4z2＝16+20i，求|m|的最大值和最小值．
【答案】（1）m＝﹣3；（2）最大值为7，最小值为7．
【分析】
（1）由z1，z2，m是实数，可得：α+β＝﹣z1，αβ＝z2+m．而|α﹣β|＝2⇔|α﹣β|2＝28⇔|（α﹣β）2|＝28⇔（α+β）2﹣4αβ＝28，代入即可得出．
（2）已知是复系数一元二次方程，设出复数m，运用根与系数关系求出α+β及αβ，再借助|α﹣β|＝2找出复数m所满足的关系，根据几何意义求|m|的最大值和最小值．
【详解】
解：（1）由z1，z2，m是实数，可得：α+β＝﹣z1，αβ＝z2+m．
而|α﹣β|＝2⇔|α﹣β|2＝28⇔|（α﹣β）2|＝28⇔（α+β）2﹣4αβ＝28，
∴z12﹣4z2﹣4m＝28，∴16﹣4m＝28，解得m＝﹣3．
（2）设m＝a+bi（a，b∈R）．则z12﹣4z2﹣4m＝16+20i﹣4a﹣4bi＝4[（4﹣a）+（5﹣b）i]．
而|α﹣β|＝2⇔|α﹣β|2＝28⇔|（α﹣β）2|＝28⇔|（α+β）2﹣4αβ|＝28
⇔|z12﹣4z2﹣4m|＝28⇔|（4﹣a）+（5﹣b）i|＝7⇔（a﹣4）2+（b﹣5）2＝72，
即表示复数m的点在圆（a﹣4）2+（b﹣5）2＝72上，
该点与原点距离的最大值为7，最小值为7．
【点睛】
本题考查了复系数一元二次方程的根与系数的关系、复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．关键是熟练使用韦达定理，并利用复数的模的几何意义求解.
11．已知复数z满足，的虚部为2，
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足，求的最大值和最小值．
【答案】（1）或；（2）最大值，最小值.
【分析】
（1）设，根据已知条件列出的方程组，求解出的值，则复数可求；
（2）根据已知条件先确定出，然后根据确定出复数在复平面内对应点的轨迹为圆，由此求解出的最值.
【详解】
（1）设，因为，所以，
又因为，的虚部为，所以，
所以，所以或，
所以或；
（2）因为在复平面内所对应的点位于第一象限，所以，
设，因为，所以，所以，
所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以，.
【点睛】
结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：
（1）：表示以为圆心，半径为的圆；
（2）且：表示以为端点的线段；
（3）且：表示以为焦点的椭圆；
（4）且：表示以为焦点的双曲线.
12．已知z是复数，且和都是实数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z和；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）设，由已知列关于，的方程组求解；
（2）把（1）中求得的代入，整理后由实部与虚部均小于0联立不等式组求解．
【详解】
解：（1）设，则，
为实数，，即．
为实数，
，则；
所以，
（2）由（1）得，
依题意得，解得．
实数的取值范围是．
13．如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，.
（1）证明：平面；
（2）已知，，点是棱上的点，，求点到面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）首先证明面面垂直，然后根据面面垂直的性质证明线面垂直；
（2）等体积法求点到面的距离.
【详解】
（1）因为底面四边形是正方形，所以，
又，，所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为，平面，平面平面，
所以平面.
（2）连接交于，
设点到面的距离，
由等积转化，，为的高，
因为，，所以，，
因此，，，
.
14．在如图所示的多面体中，△ABC是等边三角形，AD⊥平面ABC，，E是BC的中点．
（1）证明：平面⊥平面；
（2）若，求点C到平面PBD的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据线面垂直的性质可得再由面面垂直的判定可得证；
（2）取的中点，连接．根据平面几何知识可得且，根据线面垂直的性质可得是矩形．从而得，由面面垂直的性质可得证平面，从而求得点到平面的距离．
【详解】
解：（1）因为是的中点，且，所以
因为平面，所以
又因为，所以平面又平面，
所以平面平面
（2）如图，取的中点，连接．
所以是的中位线，所以，且，
因为，所以且，
又因为平面，所以是矩形．
所以，
由（1）知，平面平面，交线为，
所以平面，所以．
又在等腰三角形中可得，
所以平面，
所以点到平面的距离即．
15．如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）设与相交于点，则为中点，连接， 利用三角形中位线定理证明，利用线面平行的判定定理证明平面；
（2）连接，用等体积法转化为求三棱锥的体积
【详解】
（1）设与相交于点，则为中点，连接，
∵为中点，∴，
又∵平面，∴平面；
（2）连接，则，
在正三棱柱中，平面，
则与到平面的距离相等，
∵为的中点，∴，
又平面平面，且平面平面，
∴平面，
在等边三角形中，由，得，
又正三棱柱的侧棱长为，∴，
∴.
【点睛】
立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积（距离），常用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法.
16．如图，三棱柱各棱长均为2，．
（1）求证：；
（2）若面面，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）取中点连接，即可得到面，从而得证；
（2）连接，由面面垂直的性质定理，可得面，即可得到，利用余弦定理求出，再利用勾股定理求出，然后利用余弦定理求出
，从而得到，最后根据、计算可得；
【详解】
（1）证明：取中点连接，三棱柱各棱长均为2，，∴和都是等边三角形，
∴，面
面，
面，
∴
（2）连接，因为面面，，面面，所以面，面面，所以，在中，由余弦定理得，即，所以，所以，即，所以，在中由余弦定理得，即，解得，所以，所以
所以
17．如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，点为上一点，且，，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由已知得点为的中点，再由平面几何知识得四边形为平行四边形，运用面面平行的性质和线面平行的判定可得证；
（2）运用等体积法可求得点到平面的距离．
【详解】
（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以，
又已知，所以点为的中点，
又，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又在平面中，，在平面中，，由面面平行的判定定理得平面平面，又平面，所以平面；
（2）由（1）知点为的中点，
又在梯形中，，
所以为等边三角形，所以，又，所以，
所以的面积，则，
又在中，，
又在，由余弦定理得，
所以的面积为
，
设点到平面的距离为，由等体积法有，
则，即，解得，
故所求点到平面的距离为．
【点睛】
方法点睛：求点到面的距离常用的方法：
1.常用等积法；
2.直接作出点到平面的垂线段，则该垂线段的长度就是所求的距离；
3.转化，过这一点作平面的平行线，找其他求解方便的点；
4.向量，做平面法向量，在平面上随便找一点，与已知点连接，用向量的距离公式求解．
18．如图，⊥面，四边形是边长为1的为正方形,点在线段上，.
（1）若平面时，求值；
（2）若⊥面，棱锥体积取得最大值，求四棱锥的高.
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）根据面面平行的性质得到线线平行，再根据平行线段成比例即可求解；
（2）建立坐标系，根据垂直得到等式，再根据体积的最大值这一条件得到.
【详解】
（1）设.
∵平面，平面平面=，面，
∴
∴，∴=1.
（2）解法一：建立如图所示坐标系，设(0，0，p)，有=(，1，0)，，
设，则=，
∵⊥面，
∴⊥，
∴得：，
因为的底面不变，故即到面的距离取最大值.
到面的距离=，
当仅当，即时取最大值.故四棱锥的高为.
解法二：设.PAC中，作EHPA，交AC于H.
∵⊥面，
∴⊥面，
∴就是到面的距离.
因为的底面不变，即求EH最大时PA的值.
∵⊥面，面，∴.
故E在以OC为直径的半圆上，当EH取最大值时，EH为圆的半径，H为圆心.
此时，=4=4×
19．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；
【答案】（1）0.30；频率分布直方图见解析；（2）．
【分析】
(1)结合“频率之和为1”即可.
(2)结合直方图中位数的求法即可.
【详解】
（1）设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，
则有，可得0，
所以频率分布直方图为：
（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，
所以中位数是，所以估计本次考试成绩的中位数为.
20．生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤细的一种量)，共有100个数据，将数据分组如下表：
（1）完成频率分布表，并画出频率分布直方图；
（2）估计纤度落在内的可能性及纤度小于的可能性各是多少？
【答案】（1）答案见解析；（2），.
【分析】
（1）根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分步直方图；
（2）由频率分布表可得纤度落在中的可能性，并可计算纤度小于的可能性．
【详解】
频率分布表如下：
频率分布直方图如图所示.
(2)利用样本估计总体，则纤度落在的可能性即为纤度落在的频率，即为.
纤度小于的可能性即为纤度小于的频率，即为.
21．某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以， ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中的值；
（2）求理科综合分数的众数和中位数；
（3）在理科综合分数为， ， ， 的四组学生中，用分层抽样的方法抽取11名学生，则理科综合分数在的学生中应抽取多少人？
【答案】（1）0.0075；（2）众数为230，中位数为224；（3）5．
【分析】
（1）根据频率和为计算出的值；
（2）根据频率分布直方图中小矩形的高度可直接判断出众数，计算频率之和为时对应的数据即为中位数；
（3）先根据频率分布直方图计算出四组用户的频率之比，然后利用样本容量乘以对应的比例即可求得应抽取的户数.
【详解】
（1）因为，解得，所以直方图中的值为.
（2）理科综合分数的众数是，
∵，
∴理科综合分数的中位数在内，设中位数为，
则，
解得，即中位数为．
（3）理科综合分数在的学生有（位），
同理可求理科综合分数为， ， 的用户分别有15位、10位、5位，
故抽取比为，
∴从理科综合分数在的学生中应抽取人．
【点睛】
方法点睛：
利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
22．为了解一大片经济林的生长情况，随机抽样测量其中20株树木的底部周长（单位cm），得到如下频数分布表和频率分布直方图：
（1）请求出频数分布表中a，b的值；
（2）估计这片经济林树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
【答案】（1）5；4；（2）108.5．
【分析】
（1）由，的频率为0.25，，的频率为0.2，能求出，．
（2）由频率分布直方图能估计这片经济林树木底部周长的平均值．
【详解】
（1）底部周长在上的频率为，所以，
底部周长在上的频率为，所以；
（2）由频率分布直方图，这片经济林树木底部周长的平均值为：
；
【点睛】
方法点睛：频率分布直方图中求平均数的方法：每一个小长方形的面积是表示相应的频率,(相当于相应数据的百分比)，平均数等于每个小长方形的面积乘以相应的分组的底边中点横坐标的之和.
23．现有某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）的数据，根据这些数据，以分组的频率分布直方图如图所示．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在内的用户中应抽取多少户？
【答案】（1）；（2）众数度，中位数度；（3）.
【分析】
（1）根据频率和为计算出的值；
（2）根据频率分布直方图中小矩形的高度可直接判断出众数，计算频率之和为时对应的数据即为中位数；
（3）先根据频率分布直方图计算出四组用户的频率之比，然后利用样本容量乘以对应的比例即可求得应抽取的户数.
【详解】
（1）因为，所以；
（2）由频率分布直方图可知：对应的频数最大，所以众数为度；
因为前三组频率之和为，
第四组频率为，且，
所以中位数在第四组数据中，设中位数为度，
所以；
（3）因为的频率之比为
，
所以月平均用电量在内的用户中应抽取：户，
答：月平均用电量在内的用户中应抽取户.
24．福州市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按的比例随机抽取人进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，分为组画出频率分布直方图（如图所示），现一、二两组数据丢失，但知道第二组的频率是第一组的倍．
（1）若次数在以上（含次）为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为多少？
（2）求第一组、第二小组的频率是多少？并补齐频率分布直方图．
（3）估计该全市高一学生跳绳次数的中位数和平均数？
【答案】（1）全市高一学生的优秀率为，全市优秀学生的人数约为人；
【分析】
（1）由频率分布直方图可计算超过次的频率与对应的学生人数；
（2）根据直方图的面积之和为，计算出第一、第二组的频率，补全直方图即可；
（3）根据中位数两边的频率相等可求得中位数，根据各底边中点值域对应频率的积相加可得出平均数.
【详解】
（1）由图可知，超过的、、组的频率分别为、、，
所以，全市高一学生的优秀率为，
故全市优秀学生的人数为人；
（2）设第一组的频率为，则第二组的频率为，第三组的频率为，
由于直方图的面积之和为，则，解得，
即第一组的频率为，第二组的频率为，补全频率分布直方图如下图所示：
（3）前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，
设中位数为，则，解得，
平均数为.
【点睛】
方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法
（1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示，，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率．
（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形底边中点对应的横坐标．
（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．
（4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和．
分组
频数
频率
4
25
30
29
10
2
合计
100
分组
频数
频率
4
25
30
29
10
合计
分组
频数
2
7
a
b
2