2021年高中数学人教版必修第一册期中复习专题3.3 解答（30道）巩固篇（1-3章）（解析版）

专题3.3  解答（30道）巩固篇（期中篇）（1-3章）

1．设全集为，集合，.

（1）分别求，；

（2）已知，若，求实数的取值范围构成的集合.

【答案】（1），（∁RB）∪A=（2）{a|2≤a≤8}

【解析】

（1）

（2）由题意集合，∴，∴，∴.

2．已知．

（1）求中对应x的取值范围；

（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）因为，

所以

即，

所以

即中对应x的取值范围为

（2）设对应的集合为，对应的集合为B.

解集合q：，得

当时，不等式的解为，对应的解集为

当时，不等式的解为，对应的解集为

当时，不等式的解为，对应的解集为

若p是q的必要不充分条件，

当时，满足条件；

当时，因为，，

则满足；

当时，因为，，

则满足；

综上，实数a的取值范围为

3．设命题实数满足，其中，命题实数满足.

（1）若，且均为真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由，

当时，，

即为真命题时，

实数的取值范围是.

又为真命题时，

实数的取值范围是，

所以，当均为真命题时，

有解得，

所以实数的取值范围是.

（2）是的充分不必要条件，

即且.

设或，

或，

所以且，即.

所以实数的取值范围是.

4．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

【解析】

（1）   

当且仅当时取等号

，即：

（2），当且仅当时取等号

又，，（当且仅当时等号同时成立）

又   

5．已知a＞0，b＞0，a+b＝3．

（1）求的最小值；

（2）证明：

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1），，且，

，当且仅当即时等号成立，

的最小值为.

（2）因为a＞0，b＞0，所以要证，需证，

因为，

所以，当且仅当时等号成立.

6．已知函数

（1）解不等式；

（2）若，求证：

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）原不等式化为，即

①时，不等式化为，解得；

②时，不等式化为，解得，；

③时，不等式化为，解得，.

综上可得：原不等式解集为.

（2），

当且仅当且时取等号.又，

，

当且仅当时取等号.

7．已知

（1）求证:;

（2）求证:.

【解析】

(1)证明：因为， ，而，

所以，(当且仅当时取等号)

(2)因为，所以

所以，

当且仅当时取等号.

8．已知函数.

（1）当时，求当时，函数的值域；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】

（1）当时，，此时，，

由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，

因此，函数在区间上的值域为；

（2），

令，得或.

①当，即时，由，解得；

②当，即时，由，解得；

③当，即时，由，解得.

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

9．设函数．

（1）当且时，解关于的不等式；

（2）已知，若的值域为，，求的最小值．

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

解：（1）由且，代入不等式，得，

化简，得，或，

不等式的解集为或

（2）由的值域为，，可得，△，

，可得．

，．

的最小值为．

10．若不等式的解集为

（1）求值

（2）求不等式的解集.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据不等式的解集为，则1，2为方程的两根，由 求解.

（2）由（1）知不等式，即为，然后利用分式不等式的解法求解.

11．设全集U=R，集合，．

（1）当时，求集合；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）当时，，所以，

而，故 ．

（2）当时，，符合；

当时，因为，所以，解得且．

综上，．

12．已知不等式的解集为.

（1）若，求集合；

（2）若集合是集合的真子集，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意，当时，不等式，即，

即，解得，所以集合.

（2）由，可得，

当时，不等式的解集为.

由集合是集合的真子集可得，所以，

当时，不等式的解集为满足题意；

当时，不等式的解集为，

由集合是集合的真子集，可得，所以，

综上可得：，即实数的取值范围为.

13．已知函数f(x)＝.

（1）求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值；

（2）求证：f(x)＋f()是定值；

（3）求f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2012)＋f()的值．

【答案】（1）1，1；（2）证明见解析；（3）2011.

【解析】

（1）∵f(x)＝，

∴f(2)＋f()＝＋＝1，f(3)＋f()＝＋＝1.

（2）证明：f(x)＋f()＝＋＝＋＝＝1.

（3）由（2）知f(x)＋f()＝1，

∴f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1，f(4)＋f()＝1，…，f(2012)＋f()＝1.

∴f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2012)＋f()＝2011.

14．已知函数.

（1）求，的值；

（2）求证：是定值；

（3）求的值．

【答案】（1）1；1；（2）证明见解析；（3）2011.

【解析】

解析：（1）∵，

∴,

;

(2)证明：∵，∴,∴,

(3)由(2)知，

∴

∴＝2011.

15．已知函数（a，b为常数），且方程有两个实根，．

（1）求函数的解析式；

（2）设，解关于x的不等式：．

【答案】（1）（2）当时，或；当时，且；当时，或．

【解析】

（1）由题意得，解得，所以；

（2）原不等式可化为，即．

所以当时，或；当时，且；当时，或．

16．（1）已知求的解析式；

（2）已知是二次函数，且满足求的解析式.

【答案】（1）且；（2）.

【解析】

（1）设，则，代入，

得

故且；

（2）设所求的二次函数为.

∵则.

又∵

∴

即

由恒等式性质，得

∴所求二次函数为

17．已知函数.

（1）求，的值；

（2）当时，求x的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

解:（1）因为

所以

所以，

因为，所以

（2）①当时，由，

得；

②当时，满足题意

③当时，由，得

综上所述：x的取值范围是：或.

18．（1）已知是一次函数，满足，求的解析式.

（2）已知，求的解析式.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

解：（1）设，则，

又因为，所以，，，

所以

（2）设，则

，

所以.

19．已知函数.

（1）求函数的定义域和值域；

（2）判断函数在区间上单调性，并用定义来证明所得结论.

【答案】(1)定义域，值域；(2)单调递减，证明见解析.

【解析】

(1) ,

的定义域为，值域.

(2)由函数解析式得该函数在为减函数，下面证明：

任取 ，且，，

， ， ，

.

函数在为减函数.

20．已知函数.

（1）若，写出的单调区间(不要求证明)；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）单调递减区间为：，单调递增区间为：；（2）.

【解析】

解：（1）当时，，函数图象如下所示，

所以的单调递减区间为：；单调递增区间为：

（2）记，则

由题意得对任意，，即

对任意恒成立

由（1）得对任意恒成立

由（2）得对任意恒成立

综上所述，即的取值范围为

21．已知f(x)=奇函数，且．

（1）求实数p ,q的值．

（2）判断函数f（x）在上的单调性，并证明．

【答案】（1）p＝2，q＝0（2）见解析

【解析】

解：（1）由题意可得f（﹣x）+f（x）＝0，即 0，求得 q＝0．

再由f（2），解得 p＝2．

综上可得，p＝2，q＝0．

（2）由上可得，f（x）（x），函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数．

证明：设x1＜x2＜﹣1，则f（x1）﹣f（x2）[（x1）﹣（x2）]（x1﹣x2）（）．

由题设可得 （x1﹣x2）＜0，x1•x2＞1，故有f（x1）﹣f（x2）＜0，

故函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数．

22．定义在上的函数对任意，都有（为常数）．

（1）当时，证明为奇函数；

（2）设，且是上的增函数，已知，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据题意，函数满足，

当时，令，由，

得，即，

令，，则，

又，则有，即对任意成立，

∴是奇函数．

（2）根据题意，∵，∴，

∴．

又是上的增函数，∴，即，

分2种情况讨论：

①当时，不等式显然成立；此时不等式的解集为；

②当时，则有，解得，

综上可得，实数的取值范围是．

23．设函数，作出的图像并讨论其性质．

【解析】

因为，

所以将幂函数的图象向左平移一个长度单位后，再向上平移一个长度单位可得函数的图象，其函数图象如图：

其定义域为：，值域为：，函数为非奇非偶函数，图像关于对称，在上单调递增，在上单调递减.

24．已知幂函数在上单调递增，函数；

（1）求的值；

（2）当时，记、的值域分别是、，若，求实数的取值范围；

【答案】(1) 0   ; (2)

【解析】

(1) 函数为幂函数，

则，解得：或.

当时，在上单调递增，满足条件.

当时，在上单调递减，不满足条件.

综上所述.

(2)由(1)可知, ,则、在单调递增,

所以在上的值域,在的值域.

因为,即,

所以，即，所以.

所以实数的取值范围是.

25．已知幂函数在上单调递减.

（1）求的值并写出的解析式；

（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为

？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）因为幂函数在上单调递减，

所以解得：或（舍去），

所以.

（2）由（1）得，所以，

假设存在使得命题成立，则

当时，即，在单调递增，

所以；

当，即，显然不成立；

当，即，在单调递减，

所以无解；

综上所述：存在使命题成立.

26．已知幂函数为偶函数，在区间上是单调增函数，

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，若恒成立，求实数q的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）

（2）

27．已知幂函数的图象经过点.

（1）求函数的解析式；

（2）证明：函数在上是减函数．

【答案】（1）（2）证明见详解.

【解析】

（1）设幂函数，则有，

即，∴，

∴.

（2）证明：在上任取，且.

则，

因为，故，即

∴，

∴函数在上是减函数.即证.

28．已知幂函数的图象过点.

（1）求出函数的解析式，判断并证明在上的单调性；

（2）函数是上的偶函数，当时，，求满足时实数的取值范围.

【答案】（1），在上是增函数；证明见解析（2）

【解析】

（1）设幂函数的解析式为，

将点代入解析式中得，

解得，

所以，所求幂函数的解析式为.

幂函数在上是增函数.

证明：任取，且，则

，

因为，，

所以，即幂函数在上是增函数

（2）当时，，

而幂函数在上是增函数，

所以当时，在上是增函数.

又因为函数是上的偶函数，所以在上是减函数.

由，可得：，

即，

所以满足时实数的取值范围为.

29．已知函数，.

（1）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围.

（2）若存在，对任意，总存在唯一，使得成立，求的取值范围.

【答案】（1）或或；（2）或.

【解析】

（1）因为，，所以，

所以，，故，

要使对任意，，不等式恒成立，只需，

所以，即.

记，因为，所以只需，即，

解得或或.

故的取值范围为或或.

（2）当时，；

当时，，因为，当且仅当时，等号成立，所以，

所以函数在上的值域为.

由题意知，

以下分三种情况讨论：

①当，即时，则，解得；

②当，即时，则，解得；

③当，即时，则或，

即或，所以，或.

综上，的取值范围为或.

30．已知函数是幂函数.

(1)求函数的解析式;

(2)判断函数的奇偶性,并证明你的结论;

(3)判断函数在上的单调性,并证明你的结论.

【答案】(1);(2)函数为偶函数;(3)在上单调递减,证明见解析.

【解析】

（1）因为函数是幂函数，

则，

解得，

故．

（2）函数为偶函数．

证明如下：由（1）知，其定义域为关于原点对称，

因为对于定义域内的任意，都有

，

故函数为偶函数．

（3）在上单调递减．

证明如下：在上任取，，不妨设，

则

，

且，

，

在上单调递减.

【点睛】

本题主要考查的是幂函数，函数的奇偶性、单调性，主要是它们定义的应用，考查学生的计算能力，是基础题.