知识讲解_基础_等差数列及其前n项和练习题

等差数列及其前n项和

编稿：张希勇     审稿：李霞

【学习目标】

1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前项和公式，了解等差数列与一次函数的关系；

2. 理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题；体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题.

3. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.

【学习策略】

数列是特殊的函数，类比一次函数、二次函数等有关知识，研究等差数列的通项公式及前n项和公式的性质特点。

注意方程思想的应用：等差数列的通项公式和前项和公式中，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程或者方程组，便可求出其余两个量。

【要点梳理】

要点一、等差数列的定义

文字语言形式

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。

要点诠释：

⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；

符号语言形式

对于数列,若(，,为常数)或(，为常数)，则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差。

要点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关。

等差中项

如果,,成等差数列，那么叫做与的等差中项，即.

要点诠释：

①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数a，b的等差中项存在且唯一.

②三个数,,成等差数列的充要条件是.

要点二、等差数列的通项公式

等差数列的通项公式

首相为，公差为的等差数列的通项公式为：

（）

推导过程：

（1）归纳法：

根据等差数列定义可得：，

∴，

，

，

……

当n=1时，上式也成立

∴归纳得出等差数列的通项公式为：（）。

（2）叠加法：

根据等差数列定义，有：

，

，

，

…

把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，

∴.

(3)迭代法：

∴.

要点诠释：

①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了。

②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量。

等差数列通项公式的推广

已知等差数列中，第项为，公差为，则：

证明：∵，

      ∴

      ∴

由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况。

要点三、等差数列的性质

等差数列中，公差为，则

①若，且,则，

特别地，当时.

②下标成公差为的等差数列的项,,,…组成的新数列仍为等差数列，公差为.

③若数列也为等差数列，则，，（k,b为非零常数）也是等差数列.

④仍是等差数列.

⑤数列（为非零常数）也是等差数列.

要点四、等差数列的前项和公式

等差数列的前项和公式

公式一：

证明：倒序相加法

   ①

  ②

①+②：

∵

∴

由此得：

公式二：

证明：将代入可得：

要点诠释：

①倒序相加是数列求和的重要方法之一。

②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量。

要点五、等差数列的前项和的有关性质

等差数列中，公差为，则

①连续项的和依然成等差数列，即,,，…成等差数列，且公差为.

②若项数为2n，则，，

③若项数为2n-1，则，，，，

要点六、等差数列中的函数关系

等差数列的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数)

等差数列中，，令,则：

（,是常数且为公差）

（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。

（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。

①当时，一次函数单调增，为递增数列；

②当＜0时，一次函数单调减，为递减数列。

等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）

由，令，，则：

（,为常数）

（1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点。

（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点。

①当时有最小值

②当时，有最大值

要点诠释：

1.公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数。

2.（,是常数）是数列成等差数列的充要条件。

3.公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数。

4.(其中,为常数)是数列成等差数列的充要条件.

【典型例题】

类型一：等差数列的定义

例1.（1）求等差数列3，7，11，……的第11项.

（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

【思路点拨】

（1）根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项；（2）题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数值，使得等于这一数.

【解析】

（1）根据题意可知：,.

∴该数列的通项公式为：（,）

∴.

（2）根据题意可得：,. 

∴此数列通项公式为：（,）.

令,解得：,   

∴100是这个数列的第15项.

【总结升华】

1.根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出通项公式.

2.要注意解题步骤的规范性与准确性.

举一反三：

【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项

【答案】由，，∴.

【变式2】－20是不是等差数列0，，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

【答案】由题意可知：,，∴此数列的通项公式为：,

令,解得，所以－20不是这个数列的项.

【变式3】求集合的元素的个数，并求这些元素的和

【答案】∵， ∴， ∵，∴中有14个元素符合条件，

又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，即，，，

∴.

例2.已知数列的通项公式为这个数列是等差数列吗？

【思路点拨】

由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（）是不是一个与无关的常数。

【解析】因为时，

所以数列是等差数列，且公差为3.

【总结升华】

1. 定义法和等差中项法是证明等差数列的常用方法.

2. 一般地，如果一个数列的前项和为，其中、、为常数，且，那么当常数项时，这个数列一定是等差数列；当常数项时，这个数列不是等差数列，但从第二项开始的新数列是等差数列.

举一反三：

【变式1】(2015  北京)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是

A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0

B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0

C．若0＜a1＜a2，则

D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0

【答案】分析四个答案，A举一反例，如，，，a1+a2＞0，而a2+a3＜0，A错误；

同样B，如，，，a1+a3＜0，则a1+a2＞0，B错误；

对于C，{an}是等差数列，若0＜a1＜a2，则a1＞0，设公差为d，则d＞0  ，数列各项均为正，，∵ ，∴  ；

对于D，

故选：C．

【变式2】已知数列中，，（），求证：是等差数列。

证明：∵，∴

∴，∴是公差为的等差数列。

类型二：等差数列通项公式的应用

例3．已知等差数列中，，，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。

【思路点拨】等差数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量a1、d的问题，列出a1、d的方程组。

【解析】

方法一：由通项公式得：，解得，

       ∴（,）,

       ∴,解得.

方法二：由等差数列性质，得,即，解得,

    ∴，  ∴,解得.

方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列是一些共线的点，

    ∵点、、在同一条直线上，

    ∴ ，解得。

【总结升华】

1. 等差数列的关键是首项与公差；五个基本量、、、、中，已知三个基本量便可求出其余两个量；

2.列方程（组）求等差数列的首项和公差，再求出、，是数列中的基本方法.

举一反三：

【变式1】在等差数列中，已知求首项与公差.

【答案】由 解得；

【变式2】等差数列中, , , ,求的值.

【答案】即，

解得：或.

【变式3】已知等差数列，，，则=        。

【答案】

方法一：设数列首项为,公差为，则

， 解得，

∴。

方法二：∵, ∴，解得：，

 ∴.

方法三：∵为等差数列，∴,,,，…，也成新的等差数列，

        由，知上述新数列首项为，公差为-2

       ∴ .

类型三：活用等差数列的性质解题

例4. 已知等差数列中，若,,求的通项公式。

【思路点拨】可以直接列方程组求解和；同时留意到脚标，可以用性质：当时解题.

【解析】∵，∴即,

代入已知，有,解得或，

当,时，，∴；

当,时，, ∴.

【总结升华】利用等差数列的性质解题，往往比较简捷.

举一反三：

【变式1】在等差数列中，，则=        

【答案】9

【变式2】在等差数列中，，则=       

【答案】10

【变式3】在等差数列中，若,, 则=      , =       

【答案】∵，，∴，

    ∴，∴.

类型四：前n项和公式及性质的运用

例5. 已知等差数列{an}的公差d＞0，设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2•S3＝36．

(Ⅰ)求d及Sn；

(Ⅱ)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65．

【思路点拨】（1）利用S2•S3＝36求得d,然后利用等差数列的求和公式求Sn；（2）利用前n项和公式求和，然后对k,m进行讨论。

【答案】(Ⅰ)d＝2；.(Ⅱ)k＝4，m＝5

【解析】(Ⅰ)由a1＝1，S2•S3＝36得，

(a1＋a2)(a1＋a2＋a3)＝36，

即(2＋d)(3＋3d)＝36，化为d2＋3d－10＝0，解得d＝2或－5，

又公差d＞0，则d＝2，

所以．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，an＝1＋2(n－1)＝2n－1，

由am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65得，，

即(k＋1)(2m＋k－1)＝65，

又m，k∈N*，则(k＋1)(2m＋k－1)＝5×13，或(k＋1)(2m＋k－1)＝1×65，

下面分类求解：

当k＋1＝5时，2m＋k－1＝13，解得k＝4，m＝5；

当k＋1＝13时，2m＋k－1＝5，解得k＝12，m＝－3，故舍去；

当k＋1＝1时，2m＋k－1＝65，解得k＝0，故舍去；

当k＋1＝65时，2m＋k－1＝1，解得k＝64，m＝－31，故舍去；

综上得，k＝4，m＝5．

【总结升华】本题考查等差数列的前n项和公式，熟练应用公式解题。

举一反三：

【变式1】（2016  江苏高考）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是       .

【答案】由得，因此

【变式2】等差数列中，若, 则=_________.

【答案】由，得.

【变式3】已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则=    .

【答案】.

【变式4】等差数列前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和.

【解析】

方法一：利用等差数列的前n项和公式求解。

由已知得，解得，

∴。

方法二：利用等差数列前n项和公式及性质,则求解。

由已知得

由(3)-(2)及(2)-(1)结合(4), 得S3m=210.

方法三：根据性质：“已知{an}成等差数列，则Sn,S2n-Sn, S3n-S2n,……,Skn-S(k-1)n,……(k≥2)成等差数列”解题。

由上述性质，知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列。

∴Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm), ∴ S3m=3(S2m-Sm)=210.

方法四：由的变形式解题，由上式知，

∴数列也成等差数列，即成等差数列，

∵ ，又Sm=30, S2m=100, ∴S3m=210.

方法五：∵{an}为等差数列， ∴设

∴Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100, 得，

∴S3m=9m2a+3mb=210.

【高清课堂：等差数列及其前n项和379548 练习5】

例6．一等差数列由3个数组成，3个数之和为9，3个数的平方和为35，求这个数列。

【思路点拨】

本题设这三个数时，常规设法为, ，，但不如用对称设法设为, , 。

【解析】设这三个数分别为, , ，则

    ，解得,.

    ∴所求三个数分别为1，3，5或5，3，1。

【总结升华】

1. 三个数成等差数列时，可设其分别为, , ；若四个数成等差数列，可设其分别为,,,.

举一反三：

【变式】已知四个数成等差数列，且其平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数。

【答案】-1，2，5，8或8，5，2，-1或-8，-5，-2，1或1，-2，-5，-8

类型五：等差数列前n项和的最值问题

例7．已知数列是等差数列，,，试问为何值时，数列的前项和最大？为什么？

【思路点拨】

要研究一个等差数列的前项和的最值问题，有两个基本途径：其一是利用是的二次函数关系来考虑；其二是通过考察数列的单调性来解决。

【解析】

方法一：∵,  ∴即,

∵， ∴，

又，

∵，∴ 当, 有最大值为.

方法二：要使最大，必须使且，

即

解得， ∵，

∴时，最大为.

【总结升华】

对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

1. 利用:

当，时，前项和有最大值。可由，且，求得的值；

当，时，前项和有最小值。可由，且，求得的值.

2.     利用：由利用二次函数配方法求得最值时的值

举一反三：

【变式】设等差数列的前项和为, 已知,,.

（1）求公差的取值范围；

（2）指出，，…，中哪一个值最大，并说明理由.

【答案】

（1）依题意，有，即，

解得.

（2）法一:由，可知.

设存在自然数,使得就是，，…，中的最大值，只需,,

由，

故是，，…，中的最大值.

法二:

∵, ∴最小时，最大，

∵, ∴，

∴时，最小，

故是，，…，中的最大值.