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初中数学苏科版八年级上册第二章 轴对称图形综合与测试单元测试练习题
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这是一份初中数学苏科版八年级上册第二章 轴对称图形综合与测试单元测试练习题，共26页。试卷主要包含了8第2章轴对称图形单元测试，5C．5或6，5，此时2，2等内容，欢迎下载使用。
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•江苏省邳州市期中）下列手机屏幕解锁图形案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解析】A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．（2019秋•江苏省苏州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E＝35°，则∠EAC的度数是（ ）
A．40°B．65°C．70°D．75°
【分析】分别求出∠EAB，∠BAC即可解决问题．
【解析】∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵BD∥AE，
∴∠BAE＝∠ABD，∠E＝∠DBC，
∴∠BAE＝∠E＝35°，∠ABC＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠EAC＝∠BAE+∠BAC＝35°+40°＝75°，
故选：D．
3．（2019秋•江苏省睢宁县期中）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB＝BC，AB＝AC，AC＝BC去分析求解即可求得答案．
【解析】如图所示：
由勾股定理得：AB=22+22=5，
①若AB＝BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共4个点；
②若AB＝AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点；
若AC＝BC，则不存在这样格点．
∴这样的C点有5个．
故选：D．
4．（2019秋•江苏省常州期中）下列说法中正确的是（ ）
A．两个全等三角形一定成轴对称
B．全等三角形的对应边上的中线相等
C．若两个三角形全等，则对应角所对的边不一定相等
D．任意一个等腰三角形都只有一条对称轴
【分析】根据各选项提供的已知条件，结合全等三角形和轴对称的性质逐一判断．
【解析】A、两个全等三角形不一定成轴对称，不符合题意；
B、全等三角形对应边上的中线相等，符合题意；
C、若两个三角形全等，则对应角所对的边一定相等，不符合题意；
D、等边三角形有3条对称轴，不符合题意．
故选：B．
5．（2019秋•江苏省太仓市期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是38°，则顶角是（ ）
A．38°B．128°C．52°D．52°或128°
【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．
【解析】①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+38°＝128°；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣38°＝52°．
故选：D．
6．（2019秋•江苏省镇江期中）如图，△ABC中，点D为BC上一点，且AB＝AC＝CD，则图中∠1和∠2的数量关系是（ ）
A．2∠1+3∠2＝180°B．2∠1+∠2＝90°
C．2∠1＝3∠2D．∠1+3∠2＝90°
【分析】先根据AB＝AC＝CD可求出∠2＝∠C，∠ADC＝∠CAD，再根据三角形内角和定理可得2∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣∠2，由三角形内角与外角的性质可得∠ADC＝∠1+∠2，联立即可求解．
【解析】∵AB＝AC＝CD，
∴∠2＝∠C，∠ADC＝∠CAD，
又∵2∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣∠2，∠ADC＝∠1+∠2，
∴2（∠1+∠2）＝180°﹣∠2，
即2∠1+3∠2＝180°．
故选：A．
7．（2019秋•江苏省海安市期中）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为5cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）cm．
A．5B．6.5C．5或6.5D．6.5或8
【分析】分已知边5cm是腰长和底边两种情况讨论求解．
【解析】5cm是腰长时，底边为18﹣5×2＝8，
∵5+5＞8，
∴5cm、5cm、8cm能组成三角形；
5cm是底边时，腰长为12（18﹣5）＝6.5cm，
5cm、6.5cm、6.5cm能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为6.5或5cm．
故选：C．
8．（2019秋•江苏省苏州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上（不含端点B，C）的动点．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个B．3个C．2个D．1个
【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE＝EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【解析】过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BE=12BC＝4，
∴AE=52-42=3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在横线上）
9．（2020春•宜兴市期中）已知等腰三角形的一边是4，周长是18，则它的腰长为 7 ．
【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长4cm为腰或者4cm底边时．
【解析】分情况考虑：当4是腰时，则底边长是18﹣8＝10，此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；
当4是底边时，腰长是（18﹣4）×12=7，4，7，7能够组成三角形．
此时腰长是7．
故答案为：7
10．（2019秋•江苏省崇川区校级期中）一个等腰三角形的三边长分别为2x﹣1、x+1、3x﹣2，该等腰三角形的周长是 10或7 ．
【分析】首先根据等腰三角形有两边相等，分别讨论如果①当2x﹣1＝x+1时，②当2x﹣1＝3x﹣2时，③当x+1＝3x﹣2时的情况，注意检验是否能组成三角形．
【解析】①当2x﹣1＝x+1时，解x＝2，此时3，3，4，能构成三角形，周长为10．
②当2x﹣1＝3x﹣2时，解x＝1，此时1，2，1不能构成三角形，
③当x+1＝3x﹣2，解得x＝1.5，此时2，2.5，2.5能构成三角形，周长为7．
故该等腰三角形的周长是10或7．
故答案为：10或7．
11．（2019秋•江苏省东海县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC=13AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于 2 ．
【分析】由题意可求DC的长，由角平分线的性质可求解．
【解析】如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
∵AC＝8，DC=13AD，
∴DC＝2，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝2，
∴点D到AB的距离等于2，
故答案为2．
12．（2019秋•江苏省鼓楼区校级期中）如图，若∠A＝10°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于 100 °．
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【解析】∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝10°，
∴∠BCA＝∠A＝10°，
∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝10°+10°＝20°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣40°＝140°，
∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣140°﹣10°＝30°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100．
13．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D是线段CE的中点，AD⊥BC于点D．若∠B＝36°，BC＝8，则AB的长为 8 ．
【分析】连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，由等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠B＝36°，根据三角形的外角的性质得到∠AEC＝∠BAE+∠B＝72°，推出∠BAC＝∠C，于是得到结论．
【解析】连接AE，
∵AB的垂直平分线EF交BC于点E，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝36°，
∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝72°，
∵AD⊥CE，D是线段CE的中点，
∴AE＝AC，
∴∠C＝∠AEC＝72°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°，
∴∠BAC＝∠C，
∴AB＝BC＝8，
故答案为：8．
14．（2019秋•江苏省镇江期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且BD＝BE，CD＝CF，∠A＝72°，则∠FDE＝ 54 °．
【分析】首先根据三角形内角和定理，求出∠B+∠C的度数；然后根据等腰三角形的性质，表示出∠BDE+∠CDF的度数，由此可求得∠EDF的度数．
【解析】△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠A＝108°；
△BED中，BE＝BD，
∴∠BDE=12（180°﹣∠B）；
同理，得：∠CDF=12（180°﹣∠C）；
∴∠BDE+∠CDF＝180°-12（∠B+∠C）＝180°﹣∠FDE；
∴∠FDE=12（∠B+∠C）＝54°．
故答案为：54．
15．（2019秋•江苏省扬州期中）在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M、N．若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式 180°﹣2α或2α﹣180° ．
【分析】分0°＜α＜90°和90°＜α＜180°两种情况，画出图形根据线段垂直平分线的性质AE＝BE，根据等边对等角可得∠BAE＝∠B，同理可得，∠CAN＝∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，结合图形计算，得到答案．
【解析】如图①，在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得，∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°；
如图②，∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得，∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝（180°﹣α）﹣α＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α或2α﹣180°．
16．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝6，则FG的长为 1 ．
【分析】只要证明EG＝EB，DF＝DC即可解决问题．
【解析】∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵BE＝3，CD＝4，ED＝6，
∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG，即3+4＝6+FG，
∴FG＝1，
故答案为1．
17．（2019秋•江苏省沭阳县期中）已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝ 90° ．
【分析】连接EB、ED，根据直角三角形的性质得到EB＝ED，根据等腰三角形的性质得到答案．
【解析】连接EB、ED，
∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，
∴BE=12AC，
同理，DE=12AC，
∴EB＝ED，又F是BD的中点，
∴EF⊥BD，
∴∠EFO＝90°，
故答案为：90°．
18．（2019秋•江苏省苏州期中）如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝m°，D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD．当m为 110或125或140 时，△AOD是等腰三角形．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠OCB＝∠DCA，CO＝CD，证明∠DCA+∠ACO＝60°，根据等边三角形的判定定理证明△COD是等边三角形，然后分AD＝AO、DA＝DO、OD＝AO三种情况，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算．
【解析】∵△ADC≌△BOC，
∴∠ADC＝∠BOC＝m°，∠OCB＝∠DCA，CO＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，即∠OCB+∠ACO＝60°，
∴∠DCA+∠ACO＝60°，又CO＝CD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD＝∠CDO＝60°；
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣m°﹣60°＝190°﹣m°，
∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝m°﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（m°﹣60°）﹣（190°﹣m°）＝50°，
若AD＝AO，则∠ADO＝∠AOD，即m°﹣60°＝190°﹣m°，
解得：m°＝125°；
若OA＝OD，则∠ADO＝∠OAD，则m°﹣60°＝50°，
解得：m°＝110°；
若DA＝DO，则∠OAD＝∠AOD，即50°＝190°﹣m°，
解得：m°＝140°；
综上所述，当m为125或110或140时，△AOD是等腰三角形，
故答案为110或125或140．
三、解答题（本大题共10小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•江苏省建邺区校级期中）在正方形中有一条线段，请再添加一条线段，使得图形是一个轴对称图形．（要求：画出示意图，并作出对称轴）
【分析】分四种情况，分别以正方形的对角线、过正方形对边中点的直线为对称轴，即可得到所添加的线段．
【解析】如图所示：
20．（2019秋•江苏省灌云县期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格纸中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）求△ABC的面积；
（2）在图中画出与△ABC关于直线1成轴对称的△A′B′C′；
（3）在如图所示网格纸中，以AB为一边作与△ABC全等的三角形，可以作出 2 个三角形与△ABC全等．
【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去3个直角三角形的面积可计算出△ABC的面积；
（2）分别作B、C两点关于直线l的对称点，从而得到△A'B′C′；
（3）作点C关于直线AB的对称点可得到与△ABC全等的三角形，或作点C关于AB的垂直平分线的对称点得到与△ABC全等的三角形．
【解析】（1）△ABC的面积＝4×2-12×1×4-12×1×2-12×2×2＝3；
（2）如图，△A'B′C′即为所作；
（3）在AB的两侧可各作一个三角形与△ABC全等．
故答案为：2．
21．（2019秋•江苏省连云港期中）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．
（1）折叠后，DC的对应线段是 BC′ ，CF的对应线段是 FC′ ．
（2）若∠1＝55°，求∠2、∠3的度数；
（3）若AB＝6，AD＝12，求△BC′F的面积．
【分析】（1）根据翻折不变性即可解决问题．
（2）利用翻折不变性以及平行线的性质解决问题即可．
（3）证明△ABE≌△C′BF（ASA），求出△ABE的面积即可．
【解析】（1）折叠后，DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是FC′．
故答案为BC′，FC′．
（2）由翻折的性质可知：∠2＝∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠1＝55°，
∴∠3＝180°﹣2×55°＝70°．
（3）设DE＝EB＝x，
在Rt△ABE中，∵BE2＝AB2+AE2，
∴62+（12﹣x）2＝x2，
∴x=152，
∴AE＝12-152=92，
∴S△ABE=12•AB•AE=12×6×92=272，
∵∠ABC＝∠EBC′，
∴∠ABE＝∠FBC′，
∵∠A＝∠C′＝90°，AB＝BC′，
∴△ABE≌△C′BF（ASA），
∴S△BFC′＝S△ABE=272．
22．（2018秋•常州期中）在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和格点△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请分别在以下四个图中各画出1个这样的△DEF，要求四个图互不一样．
【分析】利用轴对称图形的性质结合对称轴的条数进而得出答案；
【解析】如图．
．
23．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AC的垂直平分线上．
（1）若AB＝5，BC＝7，求△ABE的周长；
（2）若∠B＝57°，∠DAE＝15°，求∠C的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝CE，于是得到结论；
（2）设∠C＝α，根据等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠C＝α，根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠DAC＝2×（15°+α），根据三角形的内角和即可得到结论．
【解析】∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝CE，
∴AE+BE＝BE+CE＝BC＝7，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BC＝12；
（2）设∠C＝α，
∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝α，
∵∠DAE＝15°，
∴∠DAC＝15°+α，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝2×（15°+α），
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴57°+α+2（15°+α）＝180°，
∴α＝31°，
∴∠C＝31°．
24．（2019秋•江苏省新吴区期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结OB，OC．若△ADE的周长为12cm，△OBC的周长为32cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连结OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC＝n°（n＞90），直接写出∠DAE的度数 （2n﹣180） °．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．
【解析】（1）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝12cm；
（2）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∵OB+OC+BC＝32cm，
∴OA＝OB＝OC＝10cm；
（3）∵∠BAC＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝n°﹣（180°﹣n°）＝2n°﹣180°．
故答案为：（2n﹣180）．
25．（2019秋•江苏省秦淮区期中）∠BAC为钝角，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，M是BC中点，求证：ME＝MD．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°，
∵M是BC中点，
∴ME＝MD=12BC．
26．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，且AB＝2AE，求∠EDC的度数．
【分析】由垂直的定义得到∠AEB＝∠BEC＝90°，根据直角三角形的性质得到∠ABE＝30°，求得∠BAE＝60°，推出△ABC是等边三角形，得到∠C＝60°，根据直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∵AB＝2AE，
∴∠ABE＝30°，
∴∠BAE＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴DE＝DC，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°．
27．（2019秋•镇江校级期中）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【分析】（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；
（2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．
【解析】（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，
＝∠ADC+60°+∠BED，
＝∠CED+60°，
＝60°+60°，
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM=12AD，BN=12BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中
AC=BC∠CAM=∠CBNAM=BN，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
28．（2019秋•鼓楼区月考期中）（1）如图△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试说明BE+CF＝EF的理由．
（2）如图，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACG，过D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，则BE、CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．
【分析】（1）根据BD平分∠ABC，可得∠ABD＝∠CDB，再利用EF∥BC，可证BE＝ED和DF＝CF，然后即可证明BE+CF＝EF．
（2）由（1）知BE＝ED，同理可得CF＝DF，然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的数量关系．
【解析】（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
同理DF＝CF，
∴BE+CF＝EF；
（2）BE﹣CF＝EF，
由（1）知BE＝ED，
∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，
∴CF＝DF，
又∵ED﹣DF＝EF，
∴BE﹣CF＝EF．
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•江苏省邳州市期中）下列手机屏幕解锁图形案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解析】A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．（2019秋•江苏省苏州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E＝35°，则∠EAC的度数是（ ）
A．40°B．65°C．70°D．75°
【分析】分别求出∠EAB，∠BAC即可解决问题．
【解析】∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵BD∥AE，
∴∠BAE＝∠ABD，∠E＝∠DBC，
∴∠BAE＝∠E＝35°，∠ABC＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠EAC＝∠BAE+∠BAC＝35°+40°＝75°，
故选：D．
3．（2019秋•江苏省睢宁县期中）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB＝BC，AB＝AC，AC＝BC去分析求解即可求得答案．
【解析】如图所示：
由勾股定理得：AB=22+22=5，
①若AB＝BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共4个点；
②若AB＝AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点；
若AC＝BC，则不存在这样格点．
∴这样的C点有5个．
故选：D．
4．（2019秋•江苏省常州期中）下列说法中正确的是（ ）
A．两个全等三角形一定成轴对称
B．全等三角形的对应边上的中线相等
C．若两个三角形全等，则对应角所对的边不一定相等
D．任意一个等腰三角形都只有一条对称轴
【分析】根据各选项提供的已知条件，结合全等三角形和轴对称的性质逐一判断．
【解析】A、两个全等三角形不一定成轴对称，不符合题意；
B、全等三角形对应边上的中线相等，符合题意；
C、若两个三角形全等，则对应角所对的边一定相等，不符合题意；
D、等边三角形有3条对称轴，不符合题意．
故选：B．
5．（2019秋•江苏省太仓市期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是38°，则顶角是（ ）
A．38°B．128°C．52°D．52°或128°
【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．
【解析】①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+38°＝128°；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣38°＝52°．
故选：D．
6．（2019秋•江苏省镇江期中）如图，△ABC中，点D为BC上一点，且AB＝AC＝CD，则图中∠1和∠2的数量关系是（ ）
A．2∠1+3∠2＝180°B．2∠1+∠2＝90°
C．2∠1＝3∠2D．∠1+3∠2＝90°
【分析】先根据AB＝AC＝CD可求出∠2＝∠C，∠ADC＝∠CAD，再根据三角形内角和定理可得2∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣∠2，由三角形内角与外角的性质可得∠ADC＝∠1+∠2，联立即可求解．
【解析】∵AB＝AC＝CD，
∴∠2＝∠C，∠ADC＝∠CAD，
又∵2∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣∠2，∠ADC＝∠1+∠2，
∴2（∠1+∠2）＝180°﹣∠2，
即2∠1+3∠2＝180°．
故选：A．
7．（2019秋•江苏省海安市期中）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为5cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）cm．
A．5B．6.5C．5或6.5D．6.5或8
【分析】分已知边5cm是腰长和底边两种情况讨论求解．
【解析】5cm是腰长时，底边为18﹣5×2＝8，
∵5+5＞8，
∴5cm、5cm、8cm能组成三角形；
5cm是底边时，腰长为12（18﹣5）＝6.5cm，
5cm、6.5cm、6.5cm能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为6.5或5cm．
故选：C．
8．（2019秋•江苏省苏州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上（不含端点B，C）的动点．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A．5个B．3个C．2个D．1个
【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE＝EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【解析】过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BE=12BC＝4，
∴AE=52-42=3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在横线上）
9．（2020春•宜兴市期中）已知等腰三角形的一边是4，周长是18，则它的腰长为 7 ．
【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长4cm为腰或者4cm底边时．
【解析】分情况考虑：当4是腰时，则底边长是18﹣8＝10，此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；
当4是底边时，腰长是（18﹣4）×12=7，4，7，7能够组成三角形．
此时腰长是7．
故答案为：7
10．（2019秋•江苏省崇川区校级期中）一个等腰三角形的三边长分别为2x﹣1、x+1、3x﹣2，该等腰三角形的周长是 10或7 ．
【分析】首先根据等腰三角形有两边相等，分别讨论如果①当2x﹣1＝x+1时，②当2x﹣1＝3x﹣2时，③当x+1＝3x﹣2时的情况，注意检验是否能组成三角形．
【解析】①当2x﹣1＝x+1时，解x＝2，此时3，3，4，能构成三角形，周长为10．
②当2x﹣1＝3x﹣2时，解x＝1，此时1，2，1不能构成三角形，
③当x+1＝3x﹣2，解得x＝1.5，此时2，2.5，2.5能构成三角形，周长为7．
故该等腰三角形的周长是10或7．
故答案为：10或7．
11．（2019秋•江苏省东海县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC=13AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于 2 ．
【分析】由题意可求DC的长，由角平分线的性质可求解．
【解析】如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
∵AC＝8，DC=13AD，
∴DC＝2，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝2，
∴点D到AB的距离等于2，
故答案为2．
12．（2019秋•江苏省鼓楼区校级期中）如图，若∠A＝10°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于 100 °．
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【解析】∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝10°，
∴∠BCA＝∠A＝10°，
∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝10°+10°＝20°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣40°＝140°，
∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣140°﹣10°＝30°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100．
13．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D是线段CE的中点，AD⊥BC于点D．若∠B＝36°，BC＝8，则AB的长为 8 ．
【分析】连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，由等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠B＝36°，根据三角形的外角的性质得到∠AEC＝∠BAE+∠B＝72°，推出∠BAC＝∠C，于是得到结论．
【解析】连接AE，
∵AB的垂直平分线EF交BC于点E，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝36°，
∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝72°，
∵AD⊥CE，D是线段CE的中点，
∴AE＝AC，
∴∠C＝∠AEC＝72°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°，
∴∠BAC＝∠C，
∴AB＝BC＝8，
故答案为：8．
14．（2019秋•江苏省镇江期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且BD＝BE，CD＝CF，∠A＝72°，则∠FDE＝ 54 °．
【分析】首先根据三角形内角和定理，求出∠B+∠C的度数；然后根据等腰三角形的性质，表示出∠BDE+∠CDF的度数，由此可求得∠EDF的度数．
【解析】△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠A＝108°；
△BED中，BE＝BD，
∴∠BDE=12（180°﹣∠B）；
同理，得：∠CDF=12（180°﹣∠C）；
∴∠BDE+∠CDF＝180°-12（∠B+∠C）＝180°﹣∠FDE；
∴∠FDE=12（∠B+∠C）＝54°．
故答案为：54．
15．（2019秋•江苏省扬州期中）在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M、N．若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式 180°﹣2α或2α﹣180° ．
【分析】分0°＜α＜90°和90°＜α＜180°两种情况，画出图形根据线段垂直平分线的性质AE＝BE，根据等边对等角可得∠BAE＝∠B，同理可得，∠CAN＝∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，结合图形计算，得到答案．
【解析】如图①，在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得，∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°；
如图②，∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得，∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝（180°﹣α）﹣α＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α或2α﹣180°．
16．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝6，则FG的长为 1 ．
【分析】只要证明EG＝EB，DF＝DC即可解决问题．
【解析】∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵BE＝3，CD＝4，ED＝6，
∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG，即3+4＝6+FG，
∴FG＝1，
故答案为1．
17．（2019秋•江苏省沭阳县期中）已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝ 90° ．
【分析】连接EB、ED，根据直角三角形的性质得到EB＝ED，根据等腰三角形的性质得到答案．
【解析】连接EB、ED，
∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，
∴BE=12AC，
同理，DE=12AC，
∴EB＝ED，又F是BD的中点，
∴EF⊥BD，
∴∠EFO＝90°，
故答案为：90°．
18．（2019秋•江苏省苏州期中）如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝m°，D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD．当m为 110或125或140 时，△AOD是等腰三角形．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠OCB＝∠DCA，CO＝CD，证明∠DCA+∠ACO＝60°，根据等边三角形的判定定理证明△COD是等边三角形，然后分AD＝AO、DA＝DO、OD＝AO三种情况，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算．
【解析】∵△ADC≌△BOC，
∴∠ADC＝∠BOC＝m°，∠OCB＝∠DCA，CO＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，即∠OCB+∠ACO＝60°，
∴∠DCA+∠ACO＝60°，又CO＝CD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD＝∠CDO＝60°；
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣m°﹣60°＝190°﹣m°，
∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝m°﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（m°﹣60°）﹣（190°﹣m°）＝50°，
若AD＝AO，则∠ADO＝∠AOD，即m°﹣60°＝190°﹣m°，
解得：m°＝125°；
若OA＝OD，则∠ADO＝∠OAD，则m°﹣60°＝50°，
解得：m°＝110°；
若DA＝DO，则∠OAD＝∠AOD，即50°＝190°﹣m°，
解得：m°＝140°；
综上所述，当m为125或110或140时，△AOD是等腰三角形，
故答案为110或125或140．
三、解答题（本大题共10小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•江苏省建邺区校级期中）在正方形中有一条线段，请再添加一条线段，使得图形是一个轴对称图形．（要求：画出示意图，并作出对称轴）
【分析】分四种情况，分别以正方形的对角线、过正方形对边中点的直线为对称轴，即可得到所添加的线段．
【解析】如图所示：
20．（2019秋•江苏省灌云县期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格纸中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）求△ABC的面积；
（2）在图中画出与△ABC关于直线1成轴对称的△A′B′C′；
（3）在如图所示网格纸中，以AB为一边作与△ABC全等的三角形，可以作出 2 个三角形与△ABC全等．
【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去3个直角三角形的面积可计算出△ABC的面积；
（2）分别作B、C两点关于直线l的对称点，从而得到△A'B′C′；
（3）作点C关于直线AB的对称点可得到与△ABC全等的三角形，或作点C关于AB的垂直平分线的对称点得到与△ABC全等的三角形．
【解析】（1）△ABC的面积＝4×2-12×1×4-12×1×2-12×2×2＝3；
（2）如图，△A'B′C′即为所作；
（3）在AB的两侧可各作一个三角形与△ABC全等．
故答案为：2．
21．（2019秋•江苏省连云港期中）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．
（1）折叠后，DC的对应线段是 BC′ ，CF的对应线段是 FC′ ．
（2）若∠1＝55°，求∠2、∠3的度数；
（3）若AB＝6，AD＝12，求△BC′F的面积．
【分析】（1）根据翻折不变性即可解决问题．
（2）利用翻折不变性以及平行线的性质解决问题即可．
（3）证明△ABE≌△C′BF（ASA），求出△ABE的面积即可．
【解析】（1）折叠后，DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是FC′．
故答案为BC′，FC′．
（2）由翻折的性质可知：∠2＝∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠1＝55°，
∴∠3＝180°﹣2×55°＝70°．
（3）设DE＝EB＝x，
在Rt△ABE中，∵BE2＝AB2+AE2，
∴62+（12﹣x）2＝x2，
∴x=152，
∴AE＝12-152=92，
∴S△ABE=12•AB•AE=12×6×92=272，
∵∠ABC＝∠EBC′，
∴∠ABE＝∠FBC′，
∵∠A＝∠C′＝90°，AB＝BC′，
∴△ABE≌△C′BF（ASA），
∴S△BFC′＝S△ABE=272．
22．（2018秋•常州期中）在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和格点△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请分别在以下四个图中各画出1个这样的△DEF，要求四个图互不一样．
【分析】利用轴对称图形的性质结合对称轴的条数进而得出答案；
【解析】如图．
．
23．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AC的垂直平分线上．
（1）若AB＝5，BC＝7，求△ABE的周长；
（2）若∠B＝57°，∠DAE＝15°，求∠C的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝CE，于是得到结论；
（2）设∠C＝α，根据等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠C＝α，根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠DAC＝2×（15°+α），根据三角形的内角和即可得到结论．
【解析】∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE＝CE，
∴AE+BE＝BE+CE＝BC＝7，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BC＝12；
（2）设∠C＝α，
∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝α，
∵∠DAE＝15°，
∴∠DAC＝15°+α，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝2×（15°+α），
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴57°+α+2（15°+α）＝180°，
∴α＝31°，
∴∠C＝31°．
24．（2019秋•江苏省新吴区期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结OB，OC．若△ADE的周长为12cm，△OBC的周长为32cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连结OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC＝n°（n＞90），直接写出∠DAE的度数 （2n﹣180） °．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．
【解析】（1）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝12cm；
（2）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∵OB+OC+BC＝32cm，
∴OA＝OB＝OC＝10cm；
（3）∵∠BAC＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝n°﹣（180°﹣n°）＝2n°﹣180°．
故答案为：（2n﹣180）．
25．（2019秋•江苏省秦淮区期中）∠BAC为钝角，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，M是BC中点，求证：ME＝MD．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°，
∵M是BC中点，
∴ME＝MD=12BC．
26．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，且AB＝2AE，求∠EDC的度数．
【分析】由垂直的定义得到∠AEB＝∠BEC＝90°，根据直角三角形的性质得到∠ABE＝30°，求得∠BAE＝60°，推出△ABC是等边三角形，得到∠C＝60°，根据直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∵AB＝2AE，
∴∠ABE＝30°，
∴∠BAE＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴DE＝DC，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°．
27．（2019秋•镇江校级期中）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【分析】（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；
（2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．
【解析】（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，
＝∠ADC+60°+∠BED，
＝∠CED+60°，
＝60°+60°，
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM=12AD，BN=12BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中
AC=BC∠CAM=∠CBNAM=BN，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
28．（2019秋•鼓楼区月考期中）（1）如图△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试说明BE+CF＝EF的理由．
（2）如图，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACG，过D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，则BE、CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．
【分析】（1）根据BD平分∠ABC，可得∠ABD＝∠CDB，再利用EF∥BC，可证BE＝ED和DF＝CF，然后即可证明BE+CF＝EF．
（2）由（1）知BE＝ED，同理可得CF＝DF，然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的数量关系．
【解析】（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
同理DF＝CF，
∴BE+CF＝EF；
（2）BE﹣CF＝EF，
由（1）知BE＝ED，
∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，
∴CF＝DF，
又∵ED﹣DF＝EF，
∴BE﹣CF＝EF．
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