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专题15.3 从分数到分式（专项练习）（巩固篇）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题15.3 从分数到分式（专项练习）（巩固篇）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共298页。试卷主要包含了分式的判断，分式的规律问题，按要求构造分式，分式有意义的条件，分式无意义的条件，分式的值为零的条件，分式的求值，分式的为整数时未知数的整数值等内容，欢迎下载使用。
专题15.3 从分数到分式（专项练习）（巩固篇）
一、 单选题
知识点一、分式的判断
1．下列各式中，分式有（ ）个
，，，，，
A．4 B．3 C．2 D．1
2．在代数式，，，中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
知识点二、分式的规律问题
4．观察下列等式：a1=n，a2=1﹣，a3=1﹣，…；根据其蕴含的规律可得（ ）
A．a2013=n B．a2013= C．a2013= D．a2013=
5．已知：，，，，……，若（a、b为正整数）符合前面式子的规律，则a+b的值是（ ）．
A．109 B．218 C．326 D．436
6．已知（且），，，……，，则等于（ ）
A． B． C． D．
知识点三、按要求构造分式
7．一件工作，甲、乙两人合作需小时完成，甲单独做需小时完成，则乙单独做完工作需要的小时是（ ）
A． B． C． D．
8．有一捆粗细均匀的钢筋总重量为千克，如果从中截下2米长的一段，称得其重量为千克，那么这捆钢筋的总长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．有游客m人，若果每n个人住一个房间，结果还有一个人无房住，这客房的间数为（ ）
A． B． C． D．
知识点四、分式有意义的条件
10．已知分式（a，b为常数）满足下列表格中的信息：
x的取值
﹣1
1
c
d
分式的取值
无意义
0
﹣1
1
其中选项错误的是（ ）
A．a＝1 B．b＝2 C．c＝ D．d＝3
11．分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．要使分式有意义，x的取值应满足（ ）
A． B． C．或 D．且
知识点五、分式无意义的条件
13．对于分式来说，当时，无意义，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
14．分式无意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．一切实数
15．已知当时，分式无意义，当时，此分式的值为0，则的值等于（ ）．
A．-6 B．-2 C．6 D．2
知识点六、分式的值为零的条件
16．已知分式的值为0，则（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1
17．分式的值为0，则（ ）
A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝±2
18．使分式的值为0的所有x的值为（ ）
A．2或 B．或1 C．2 D．1
知识点七、分式的求值
19．对于非负整数x，使得是一个正整数，则符合条件的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
20．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，－1的差倒数为，已知，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推……，的值是（ ）
A．5 B． C． D．
21．已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
知识点八、分式的值为正负时未知数的取值范围
22．已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞-4
C．x≠0 D．x＞-4且x≠0
23．使分式的值为负的条件是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞ D．x＜
24．若分式的值为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．取任意实数
知识点九、分式的为整数时未知数的整数值
25．已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（ ）
A．8 B．12 C．16 D．10
26．若为整数，则能使也为整数的的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．为整数，且的值也为整数，那么符合条件的的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、 填空题
知识点一、分式的判断
28．下列各式：（1﹣x），，，+x，，其中是分式的有_____个．
29．在代数式中，分式有_________________个．
30．下列各式，，，，，0中，是分式的有___________；是整式的有___________；是有理式的有_________．
知识点二、分式的规律问题
31．观察：，则________．
32．观察给定的分式，探索规律：
（1），，，，…其中第6个分式是__________；
（2），，，，…其中第6个分式是__________；
（3），，，，…其中第n个分式是__________（n为正整数）．
33．已知一列数a1，a2，a3，……，an，其中a1=-1，a2=，a3=，.....，an=，则a3=______，a1+a2+a3+……+a2020=____．
知识点三、按要求构造分式
34．重庆是长江上游地区的经济中心、金融中心和创新中心．某公司为了调动员工积极性，将公司员工分成了三个小组进行集分制考核：每月销售业绩第一名集x分，销售业绩第二名集y分，销售业绩第三名集0分（x＞y，且均为正整数），经过若干个月（超过4个月）考核后，第一小组集分为23分，第二小组集分为20分，第三小组集分为9分，则第一小组最多得到_____次第二名．
35．请写出一个只含有字母x的分式，当x=3时分式的值为0，你写的分式是__________．
36．甲种糖果每千克12元，乙种糖果每千克14元，丙种糖果每千克9元，从这三种糖果中分别取出a，b，c千克混合销售，比单独销售快，要使混合销售所得收入与分别销售收入相同，则混合糖果每千克应定价为_____元．
知识点四、分式有意义的条件
37．当x_____时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是_____．当x满足_____时，分式的值为负数．
38．若，则_____________．
39．要使分式有意义，那么x应满足的条件是________ ．
知识点五、分式无意义的条件
40．若分式的值不存在，则__________．
41．已知当x=-2时，分式无意义，当x=4时，此分式的值为0，则的值为____．
42．已知式子，当__________时，分式无意义，当__________时，分式的值为0．
知识点六、分式的值为零的条件
43．若分式的值为0，则x=__________．
44．分式的值为0，则______________．
45．若分式的值为零，则x的值为__________．
知识点七、分式的求值
46．已知实数满足，则的值为__________．
47．已知且，则当时，的值等于________．
48．已知x，y，z满足1，2，与3，则分式的值为 ___．
知识点八、分式的值为正负时未知数的取值范围
49．当_______时，分式的值为负．
50．分式的值为负数，则a的取值范围是___________．
51．若分式的值大于零，则 x 的取值范围是_______________
知识点九、分式的为整数时未知数的整数值
52．若分式的值为正整数，则整数x的值为________．
53．若分式值为整数，则满足条件的整数的值为_____．
54．若代数式的值为整数，则所有满足条件的整数的和是_________．
三、 解答题
知识点一、分式的判断
55．（1）请你写出五个正的真分数，____，____，____，____，____，给每个分数的分子和分母加上同一个正数得到五个新分数：____，____，____，_____，____.
（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：
一个真分数是（a、b均为正数），给其分子分母同加一个正数m，得，则两个分数的大小关系是_____.
（3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：
（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？
（5）解决问题：如图1，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的路，问原来的长方形与现在铺过小路后的长方形是否相似？为什么？
（6） 这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题.请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关例子.
知识点二、分式的规律问题
56．观察下列等式：
①； ②；
③； ④；
……
⑴猜想并写出第个算式： ；
⑵请说明你写出的等式的正确性．
⑶把上述个算式的两边分别相加，会得到下面的求和公式吗？请写出具体的推导过程．
．
⑷我们规定：分子是1，分母是正整数的分数叫做单位分数．任意一个真分数都可以表示成不同的单位分数的和的形式，且有无数多种表示方法．根据上面得出的两个结论，请将真分数表示成不同的单位分数的和的形式．（写出一种即可）
知识点三、按要求构造分式
57．阅读下面材料，并解答问题．
材料:将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解析：
由分母为，可设
则
对应任意x，上述等式均成立，，，．
．
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和．
解答：
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）当时，直接写出________，的最小值为________．
知识点四、分式有意义的条件
58．在学习第9章第1节“分式”时，小明和小丽都遇到了“当x取何值时，有意义”
小明的做法是：先化简，要使有意义，必须x﹣2≠0，即x≠2；
小丽的做法是：要使有意义，只须x2﹣4≠0，即x2≠4，所以x1≠﹣2，x2≠2．
如果你与小明和小丽是同一个学习小组，请你发表一下自己的意见．
知识点五、分式无意义的条件
59． 求分式无意义时的值
知识点六、分式的值为零的条件
60．已知分式，回答下列问题．
（1）若分式无意义，求x的取值范围；
（2）若分式的值是零，求x的值；
（3）若分式的值是正数，求x的取值范围．
知识点七、分式的求值
61．已知,，求下列各式的值：
（1）和；
（2）+．
知识点八、分式的值为正负时未知数的取值范围
62．分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式＞0时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①，得x＞3，
解不等式组②，得x＜－.
所以原分式不等式的解集为x＞3或x＜－ .
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式＜0.
知识点九、分式的为整数时未知数的整数值
63．观察下列等式： ；；；……
根据上面等式反映的规律，解答下列问题：
（1）请根据上述等式的特征，在括号内填上同一个实数： （ ）-5=（ ）；
（2）小明将上述等式的特征用字母表示为：（、为任意实数）.
①小明和同学讨论后发现：、的取值范围不能是任意实数.请你直接写出、不能取哪些实数.
②是否存在、两个实数都是整数的情况？若存在，请求出、的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．A
【分析】
分母是整式且整式中含有字母，根据这点判断即可．
【详解】
∵中的分母是3，不含字母，
∴不是分式；
∵中的分母是n，是整式，且是字母，
∴是分式；
∵中的分母是a+5，是多项式，含字母a，
∴是分式；
∵中的分母是15，不含字母，
∴不是分式；
∵中的分母是，是整式，含字母x，y，
∴是分式；
∵中的分母是，是整式，含字母a，b，
∴是分式；
共有4个，
故选A．
【点拨】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式构成的两个基本能条件是解题的关键．
2．B
【分析】
根据分式的定义逐个判断即可得．
【详解】
常数是单项式，
是多项式，
和都是分式，
综上，分式有2个，
故选：B．
【点拨】本题考查了分式的定义，掌握理解分式的定义是解题关键．
3．B
【分析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此一一判断式子即可得到答案；
【详解】
解：分母有字母，故是分式；
分母无字母，故不是分式；
均不是分式；
分母均有字母，故是分式，
综上、、是分式，共3个，
故选：B；
【点拨】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母．
4．D
【详解】
试题分析：由a1=n，得到a2=1﹣=1﹣=，a3=1﹣=1﹣=﹣=，a4=1﹣=1﹣（1﹣n）=n，以n，，为循环节依次循环，∵2013÷3=671，∴a2013=．
考点：分式的混合运算．
5．A
【分析】
通过观察已知式子可得分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，即可求解．
【详解】
解：由，，，，……，可知分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，
∴在中，b＝10，a＝102－1＝99，
∴a＋b＝109，
故选：A．
【点拨】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．
6．D
【分析】
根据题中所给已知等式先求出前4个数，发现每3个数一个循环，进而可得则a2021等于a2的值．
【详解】
解：由于a1=x+1（x≠0或x≠-1），
所以， ，
因为2021÷3=673，
所以a2021=．
故选：D．
【点拨】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
7．D
【分析】
甲、乙两人合作需小时完成，得甲乙一小时完成，甲单独做需小时完成得甲一小时完成，由此即可得乙一小时的工作效率，再用1除以工作效率即可得到答案.
【详解】
，
故选D
【点拨】此题考察分式的实际应用，根据题意列分式即可解答此题，注意是甲乙工作效率的和，需减去甲的工作效率才能得到乙的工作效率，由此求得乙单独做完工作所需要的时间.
8．B
【分析】
先求出每千克钢筋的长度，再根据“总重量×每千克钢筋的长度=总长度”进行求解即可.
【详解】
由题意可得每千克钢筋的长度为：米/千克
则这捆钢筋的总长度为：米
故选：B.
【点拨】本题主要考查列代数（分式），理解题意是关键.
9．A
【解析】
【分析】
房间数＝住进房间人数÷每个房间能住的人数；一人无房住，那么住进房间的人数为：m−1．
【详解】
住进房间的人数为：m−1，
依题意得，客房的间数为，
故选A．
【点拨】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
10．C
【分析】
将表格数据依次代入已知分式中，进行计算即可判断．
【详解】
解：A．根据表格数据可知：当x=-1时，分式无意义，即x+a=0，
所以-1+a=0，解得a=1．所以A选项不符合题意；
B．当x=1时，分式的值为0，
即，解得b=2，
所以B选项不符合题意；
C．当x=c时，分式的值为-1，
即，解得c=，
所以C选项符合题意；
D．当x=d时，分式的值为1，
即，解得d=3，
所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了分式的值、分式有意义的条件，解决本题的关键是掌握分式相关知识．
11．D
【分析】
根据分式分母不为零，计算即可
【详解】
解：根据分式有意义的条件为分母不为零得：
∴
故选:D
【点拨】本题考查分时有意义的条件，正确理解分式的定义是关键
12．D
【分析】
分式有意义的条件：分母不等于零，由此列式计算即可．
【详解】
解：由题意得：，
∴且，
故选：D．
【点拨】此题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件及掌握计算方法是解题的关键．
13．C
【分析】
根据分式无意义的条件求解即可．
【详解】
解：当分式无意义时，x-a=0,
而此时x=-1
所以，-1-a=0
解得，a=-1
故选：C
【点拨】本题考查了分式无意义的条件，能得出关于a的方程是解此题的关键．
14．C
【分析】
根据分母为零分式无意义，可得答案．
【详解】
∵分式无意义，
∴，
∴，
故选C．
【点拨】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
15．D
【分析】
当分母的值为0时，分式没有意义，据此可求出b值；当分子为0分母不为0时，分式的值为0，据此可求出a值，于是可求a+b的值．
【详解】
解：∵当时，分式无意义
∴分母-2-b=0则b=-2．
∵当时，此分式的值为0，
∴分子4-a=0解得：a=4．
∴a+b=4+(-2)=2．
故选D．
【点拨】本题考查了分式有无意义的条件和分式的值为0时的条件，掌握相关知识点是解题的关键．
16．A
【分析】
根据分式值为零的条件可得：3x2﹣3＝0，且x+1≠0，再解即可．
【详解】
解：由题可得，3x2﹣3＝0，且x+1≠0，
解得x＝±1，x≠﹣1，
∴x＝1，
故选：A．
【点拨】本题考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
17．B
【分析】
根据分式值为零的条件可得x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，
解得：x＝﹣2，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了分式值为零的条件，准确计算是解题的关键．
18．C
【分析】
先根据分式为零的条件列出不等式组，然后再求解即可．
【详解】
解：∵=0
∴，解得x=2．
故答案为C．
【点拨】本题主要考查了分式为零的条件，根据分式为零的条件列出不等式组是解答本题的关键．
19．B
【分析】
将看作一个整体，把代数式中的分子运用完全平方公式进行变形，再根据正整数的特性即可得．
【详解】
解：，
，
，
，
为非负整数，是一个正整数，
的所有可能取值为，
即符合条件的个数有4个，
故选：B．
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
20．B
【分析】
先根据新运算的定义称为a的差倒数，求出、、的值，可发现规律，再根据新运算的定义计算即可得．
【详解】
∵ ， 是的差倒数，
∴，
∵是的差倒数，是的差倒数，
∴，
∴，
根据规律可得以，，为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，
所以．
故选B．
【点拨】本题考查了有理数的加减乘除法运算，理解新运算的定义是解题关键．
21．A
【分析】
先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．
【详解】
解：∵，
∴，
∵两个不等于0的实数、满足，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键．
22．D
【分析】
若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围．
【详解】
解：∵＞0，
∴x＋4＞0，x≠0，
∴x＞−4且x≠0．
故选：D．
【点拨】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式．
23．C
【分析】
分子分母异号即可，而分子恒为正，因此令分母小于0，最终求得不等式的解集．
【详解】
∵
∴若使分式的值为负，则
解得x＞
故答案为x＞．
【点拨】本题考查了分式方程的求解，使分式的值为正即为分子分母同号，分式的值为负即为分子分母异号．
24．A
【分析】
由偶次方的性质可知x2≥0，故此x2+5＞0，由分式的值为正数可知＞0，最后解不等式即可．
【详解】
，的值为正数
解得
故选A
【点拨】本题考查了分式的值，解答本题的关键在于根据偶次方的性质得到x2+5＞0．
25．C
【分析】
首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可．
【详解】
解：﹣÷
＝﹣×
＝﹣
＝
＝，
∵a为整数，且分式的值为正整数，
∴a﹣5＝1，5，
∴a＝6，10，
∴所有符合条件的a的值的和：6+10＝16．
故选：C．
【点拨】本题考查了分式的混合运算，对分式的分子和分母能够正确分解因式是解题的关键．
26．D
【分析】
先把原分式进行变形，分离出一个常数，结合原分式的值为整数，n为整数，即可得到答案．
【详解】
∵为整数，也为整数，
又∵=，
∴n-1=±1，±2，即：n=0，2，3，-1．
∴能使也为整数的的个数有4个．
故选D．
【点拨】本题主要考查分式的值和分式的加法运算法则，掌握分式的加法运算法则，把原分式化为一个整数和一个分式的和，是解题的关键．
27．A
【分析】
根据题意可知，是2的约数，则为或，然后求出x的值，即可得到答案.
【详解】
解：∵为整数，且的值也为整数，
∴是2的约数，
∴或，
∴为、0、2、3，共4个；
故选：A.
【点拨】本题考查了分式的值，正确理解分式的意义是解题的关键．
28．2
【分析】
看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
解：（1﹣x），，，分母中都不含字母，因此它们是整式，而不是分式．
+x，，分母中含有字母，因此是分式．
分式有两个，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以，不是分式，是整式．
29．1
【分析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
解：是整式，是分式，是整式，即分式个数为1，
故答案为：1
【点拨】本题主要考查分式的定义，注意数字不是字母，判断分母的关键是分母中有字母.
30．， ，，，0 ，，，，,0
【解析】
【分析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
解：分式的有，，其分母有字母，故是分式.整式的有，，，0，它们均不是分式，是整式.各式为分式或整式，都是有理式.
【点拨】本题考查分式的定义，解题的关键注意区分是否为分式不应化简，π是常数，不是字母.
31．
【分析】
先计算得到a1、a2、a3、a4的值，得到变化规律，根据规律求解即可．
【详解】
解：，
，
，
，
观察发现，每三个一循环，
，
即第674轮的第一个，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
32．
【分析】
（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x6
（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x12，分母是 y11,
（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个分式的符号是（-1）n, 分子是b3n-1，分母是 an,
【详解】
解：（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是，
（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是，
（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个符号为（-1）n，所以，第六个分式是
【点拨】本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键
33．2 1008.5
【分析】
由各项之间的关系可以算出，然后发现题中的一列数是按照-1、、2、-1、、2、-1，-1、 、2三个数不断重复出现排列的，因为2020，所以所求和等于673个（-1+ +2）再加上-1 ．
【详解】
解：由题意得：；
∴，
．
【点拨】本题考查分式的规律探索，通过计算一列数的前面几个数去找出整列数的规律是解题关键．
34．8
【分析】
根据题意，可得一共经过了：（个）月，超过4个月，即x+y＜13，故x+y可以为：1，2，4，又因为x＞y，所以可得x＝3，y＝1，进而可以设第一小组有a个月得第一名，b个月得第二名，根据题意可以列方程组即可得解．
【详解】
解：根据题意，得
一共经过了：（个）月，
23+20+9＝52，x＞y，
∵＞4，
∴x+y＜13，
故x+y可以为：1，2，4，
又∵x＞y，故x＝3，y＝1，
∴一共有13个月，
设第一小组有a个月得第一名，b个月得第二名，根据题意，得
由①得：3a+3b≤39③
由②得，3a＝23﹣b④
将④代入③，解得b≤8，
当b＝8时，a＝5，
答：第一小组最多得到8次第二名．
故答案为：8．
【点拨】此题主要考查不等式组与分式的实际应用，解题的关键是根据题意得到相应的式子进行求解．
35．（答案不唯一）
【分析】
根据要求和分式的定义可写出.
【详解】
如，，-等等，只要分母不等于0就好.
故答案为：
【点拨】考核知识点：分式的值为0.理解分式的定义是关键.
36．
【解析】
【分析】
设混合糖果每千克应定价为x元,根据混合销售所得收入与分别销售收入相同列出方程,求出方程的解即可得到结果.
【详解】
解:设混合糖果每千克应定价为x元,
根据题意得:12a+14b+9c=(a+b+c)·x,
解得:x=,
则混合糖果每千克应定价为元,
故答案为:
【点拨】此题考查了一元一次方程的应用,弄清题意是解本题的关键.
37． 1 x<2且x≠-1
【分析】
根据分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的值为负数的条件即可解答．
【详解】
∵分式有意义，
∴，
即；
∵分式的值为0，
∴且，
∴x=1；
∵分式的值为负数，
∴x-2<0且
即x-2<0且x+1≠0，
∴x<2且x≠-1．
故答案为：；1；x<2且x≠-1．
【点拨】本题是基础题，考查了分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的值为负数的条件，熟练运用分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的值为负数的条件是解决问题的关键．
38．
【分析】
由可得可得的值，从而可得答案．
【详解】
解： ，
且
由可得
由
把代入中，
故答案为：
【点拨】本题考查的是算术平方根，绝对值的非负性，分式有意义的条件，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
39．
【分析】
根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．
【详解】
由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
40．-1
【分析】
根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．
【详解】
∵分式的值不存在，
∴x+1=0，
解得：x=-1，
故答案为：-1．
【点拨】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．
41．16
【分析】
根据分式无意义时分母的值为0，分式的值为0时，分式分子的值为0并且分母的值不为0求解即可
【详解】
∵当x=-2时，分式无意义，
∴分母x-a=-2-a=0则a=-2．
∵当x=4时，此分式的值为0，
∴分子x-b=0得4-b=0解得：b=4．
∴；
故答案为16．
【点拨】分式分母的值为0时分式没有意义，要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0
42．=1或-1 =8
【分析】
分式无意义：分母为0；分式是值为0：分子为0、分母不为0．据此可解．
【详解】
解：根据题意，得
当分母=0，即x=1或-1时，分式无意义；
当分子=0且分母≠0时，分式的值为0，即当x=8时，分式的值等于0．
故答案是：=1或-1；=8．
【点拨】本题考查了分式的值为零的条件：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可；还考查了分式有意义的条件：分式有意义，分母不为零．
43．2
【分析】
根据分子等于零且分母不等于零列出不等式组，并解答．
【详解】
解：（1）由条件得：
解得x=2．
故答案为：2
【点拨】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
44．3
【分析】
要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【详解】
解：要使分式由分子．解得：或3；
而时，分母；
当时分母，分式没有意义．
所以的值为3．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查了分式的值为零的条件，要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
45．-3
【分析】
根据分式的值为零的条件，分子为0且分母不为0即可求出x的值．
【详解】
解：由分式的值为零的条件得，，
∴x=±3且x≠3且x≠-1，
∴x=-3时，分式的值为0．
故答案为：-3．
【点拨】本题考查了分式值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
46．
【分析】
由条件得，先求出的值，再根据平方根的定义即可求出的值．
【详解】
解：∵，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了分式的求值，熟悉完全平方公式的结构特点及平方根的定义是解题的关键．
47．
【分析】
利用分式的加减运算法则与完全平方公式把原式化为：，再整体代入求值，再利用平方根的含义可得答案.
【详解】
解：因为，，
所以
，
又因为，所以，
所以，
故答案为：．
【点拨】本题考查的是由条件式求解分式的值，掌握变形的方法是解题的关键.
48．
【分析】
原分式的倒数为，根据分式的性质可化为，把已知条件可化为，代入即可得出的值，再求出值的倒数即可得出答案．
【详解】
解：原式的倒数为，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了分式的求值，熟练应用分式的性质进行合理变形是解决本题的关键．
49．且
【分析】
分式有意义，x2≠0，分式的值为负数，只有分子x-2＜0，由此求x的取值范围．
【详解】
解：依题意，得
解得x＜2且x≠0，
故答案为：x＜2且x≠0．
【点拨】本题考查了分式的值．求分式的值，必须同时满足分母不为0．
50．a<4且
【分析】
根据分式的值为负数得到不等式即可求出答案.
【详解】
∵分式的值为负数，
∴3a-12<0，,
解得a<4且
故答案为：a<4且
【点拨】此题考查分式的值的情况，根据分式的值确定未知数的取值范围，正确理解题意是解题的关键.
51．x＞-1
【分析】
根据两数相除，同号得正，异号得负，分式的分母不为0解答.
【详解】
∵
而x-1≠0
∴
∵分式的值大于零
∴x+1＞0
x＞-1
故答案为：x＞-1
【点拨】本题考查的是分式的值，掌握分式有意义的条件及判定分式值的符号的方法是关键.
52．0，1，2，5
【分析】
先求分式的值为正数时，x的取值范围，再在范围内求使分式 的值为正整数的整数x的值．
【详解】
解：当x+1＞0，即x＞-1时，分式 的值为正数，
要使分式 的值为正整数，只有x+1=1或2或 3或6，
解得x=0或1或2或5．
故答案为：0或1或2或5．
【点拨】本题考查了分式的值的探究，分式的值为正整数，需要从分式的意义，分母、分子的取值，综合考虑．
53．0或2
【分析】
根据分式有意义的情况得出的范围，再根据分式的值为整数得出分母x-1=±1求解即可．
【详解】
解：因为分式有意义，所以x-1≠0，即x≠1，
当分式值为整数时，
有x-1=±1，
解得x=0或x=2，
故答案为：0或2．
【点拨】本题考查分式的意义，分式的值，理解分式的值的意义是解决问题的关键．
54．2
【分析】
将代数式变形为4+，从而求出满足条件的整数x的值，求出答案．
【详解】
解：∵=4+，
又∵代数式的值为整数，
∴为整数，
∴x-1=1或x-1=-1，
∴x=2或0，
2+0=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了将分式变形为整数加上分式的求值问题，找出解答规律是解答本题的关键．
55．(1) ；；；；；；；；；；（2）＞；（3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；（4）答案见解析；（5）不相似，理由见解析；（6）答案见解析.
【分析】
（1）小于1的数叫做真分数；（2）根据实例易得规律；（3）抓住新分数大于原分数即可；（4）根据图形进行分析解答；（5）利用相关规律解决问题即可；（6）结合生活中的现象进行解答.
【详解】
解：（1）、、、、，、、、、；（2）；
（3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；
（4）思路1：如图2所示，
由，得，即，，可推出；
思路2：构造两个面积为1的长方形（如图3），将它们分成两部分，比较右侧的两个长方形面积可以发现：
，，
因为a、b、，且，
故 ，即
（5）不相似.因为两个长方形长与宽的比值不相等；
（6）数学问题举例：
①若是假分数，会有怎样的结论？
②a、b不是正数，或不全是正数，情况如何？
【点拨】本题实际考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
56．⑴；
⑵左边＝＝右边，
即．
⑶；
⑷，等等；
【详解】
⑴；
⑵左边＝＝右边，
即．
(3)
⑷，等等
57．（1）分式被拆分成了一个整式与一个分式的和；（2）0；8．
【分析】
（1）参照例题材料，设，然后求出m、n的值，从而即可得出答案；
（2）先根据得出，再根据不等式的运算即可得．
【详解】
（1）由分母为，可设
对应任意x，上述等式均成立
，解得
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和；
（2）由（1）得
当时，
，且当时，等号成立
则当时，取得最小值，最小值为8
故答案为：0；8．
【点拨】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式的运算法则是解题关键．
58．小丽的做法正确．
【分析】
根据分式有意义的条件：分母不等于0解答即可.
【详解】
因为当分母不为0时，分式有意义．
小明的做法错误在于他先把分式约分，
使原来的分式中字母x的取值范围扩大了．
小丽的做法正确．
【点拨】本题考查了分式有意义的条件：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
59．2或
【解析】
【分析】
分式无意义，分母为零．
【详解】
解：2+=0 即 x时，无意义；x-2=0 即 x=2时，整体无意义．
【点拨】解决本题的关键突破口是掌握分式无意义的条件就是分母为0．
60．（1）x＝；（2）x＝1；（3）＜x＜1．
【分析】
（1）分式无意义，分母值为零，进而可得2﹣3x＝0，再解即可；
（2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，再解即可；
（3）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：2﹣3x＝0，
解得：x＝；
（2）由题意得：x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，
解得：x＝1；
（3）由题意得：①，
此不等式组无解；
②，
解得：＜x＜1．
∴分式的值是正数时，＜x＜1．
【点拨】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式值为正，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件．
61．（1）5，1；（2）
【分析】
（1）把所给的式子利用完全平方公式分解后，再把两式进行相加和相减即可求解；
（2）先化简原式，再将（1）所求的和的值代入即可求解．
【详解】
（1）∵,，
∴①
②
①＋②得：
∴
①－②得：
∴
（2）+
将和代入上式可得：
原式
【点拨】本题考查完全平方公式的运用、分式的化简求值，学会利用整体代入的思想，解题的关键是熟练掌握完全平方公式求出和的值．
62．
【分析】
根据“两数相除，同号得正，异号得负”，把原分式不等式转化为两个不等式组求解即可.
【详解】
解：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②，
解不等式组①，得
所以原分式不等式的解集为
63．(1) ;(2)①x不能取-1，y不能取2；②x=0,y=0；x=1,y=1；x=-3,y=3；x=-2,y=4；
【分析】
（1）设所填数为x,则2x-5=5x；（2）①假如，则，根据分式定义可得；②由①可知或，x≠-1，y≠2，代入尝试可得.
【详解】
（1）设所填数为x,则2x-5=5x
解得x=
所以所填数是
（2）①假如
则
所以x≠-1，y≠2
即：x不能取-1，y不能取2；
②存在,
由①可知或，x≠-1，y≠2
所以x,y可取的整数是：
x=0,y=0；x=1,y=1；x=-3,y=3；x=-2,y=4；
【点拨】考核知识点：分式的值.理解分式定义是关键.
专题15.3 从分数到分式（专项练习）（巩固篇）
一、 单选题
知识点一、分式的判断
1．下列各式中，分式有（ ）个
，，，，，
A．4 B．3 C．2 D．1
2．在代数式，，，中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
知识点二、分式的规律问题
4．观察下列等式：a1=n，a2=1﹣，a3=1﹣，…；根据其蕴含的规律可得（ ）
A．a2013=n B．a2013= C．a2013= D．a2013=
5．已知：，，，，……，若（a、b为正整数）符合前面式子的规律，则a+b的值是（ ）．
A．109 B．218 C．326 D．436
6．已知（且），，，……，，则等于（ ）
A． B． C． D．
知识点三、按要求构造分式
7．一件工作，甲、乙两人合作需小时完成，甲单独做需小时完成，则乙单独做完工作需要的小时是（ ）
A． B． C． D．
8．有一捆粗细均匀的钢筋总重量为千克，如果从中截下2米长的一段，称得其重量为千克，那么这捆钢筋的总长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．有游客m人，若果每n个人住一个房间，结果还有一个人无房住，这客房的间数为（ ）
A． B． C． D．
知识点四、分式有意义的条件
10．已知分式（a，b为常数）满足下列表格中的信息：
x的取值
﹣1
1
c
d
分式的取值
无意义
0
﹣1
1
其中选项错误的是（ ）
A．a＝1 B．b＝2 C．c＝ D．d＝3
11．分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．要使分式有意义，x的取值应满足（ ）
A． B． C．或 D．且
知识点五、分式无意义的条件
13．对于分式来说，当时，无意义，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
14．分式无意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．一切实数
15．已知当时，分式无意义，当时，此分式的值为0，则的值等于（ ）．
A．-6 B．-2 C．6 D．2
知识点六、分式的值为零的条件
16．已知分式的值为0，则（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1
17．分式的值为0，则（ ）
A．x＝0 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝±2
18．使分式的值为0的所有x的值为（ ）
A．2或 B．或1 C．2 D．1
知识点七、分式的求值
19．对于非负整数x，使得是一个正整数，则符合条件的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
20．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，－1的差倒数为，已知，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推……，的值是（ ）
A．5 B． C． D．
21．已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
知识点八、分式的值为正负时未知数的取值范围
22．已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x＞-4
C．x≠0 D．x＞-4且x≠0
23．使分式的值为负的条件是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞ D．x＜
24．若分式的值为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．取任意实数
知识点九、分式的为整数时未知数的整数值
25．已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（ ）
A．8 B．12 C．16 D．10
26．若为整数，则能使也为整数的的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．为整数，且的值也为整数，那么符合条件的的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、 填空题
知识点一、分式的判断
28．下列各式：（1﹣x），，，+x，，其中是分式的有_____个．
29．在代数式中，分式有_________________个．
30．下列各式，，，，，0中，是分式的有___________；是整式的有___________；是有理式的有_________．
知识点二、分式的规律问题
31．观察：，则________．
32．观察给定的分式，探索规律：
（1），，，，…其中第6个分式是__________；
（2），，，，…其中第6个分式是__________；
（3），，，，…其中第n个分式是__________（n为正整数）．
33．已知一列数a1，a2，a3，……，an，其中a1=-1，a2=，a3=，.....，an=，则a3=______，a1+a2+a3+……+a2020=____．
知识点三、按要求构造分式
34．重庆是长江上游地区的经济中心、金融中心和创新中心．某公司为了调动员工积极性，将公司员工分成了三个小组进行集分制考核：每月销售业绩第一名集x分，销售业绩第二名集y分，销售业绩第三名集0分（x＞y，且均为正整数），经过若干个月（超过4个月）考核后，第一小组集分为23分，第二小组集分为20分，第三小组集分为9分，则第一小组最多得到_____次第二名．
35．请写出一个只含有字母x的分式，当x=3时分式的值为0，你写的分式是__________．
36．甲种糖果每千克12元，乙种糖果每千克14元，丙种糖果每千克9元，从这三种糖果中分别取出a，b，c千克混合销售，比单独销售快，要使混合销售所得收入与分别销售收入相同，则混合糖果每千克应定价为_____元．
知识点四、分式有意义的条件
37．当x_____时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是_____．当x满足_____时，分式的值为负数．
38．若，则_____________．
39．要使分式有意义，那么x应满足的条件是________ ．
知识点五、分式无意义的条件
40．若分式的值不存在，则__________．
41．已知当x=-2时，分式无意义，当x=4时，此分式的值为0，则的值为____．
42．已知式子，当__________时，分式无意义，当__________时，分式的值为0．
知识点六、分式的值为零的条件
43．若分式的值为0，则x=__________．
44．分式的值为0，则______________．
45．若分式的值为零，则x的值为__________．
知识点七、分式的求值
46．已知实数满足，则的值为__________．
47．已知且，则当时，的值等于________．
48．已知x，y，z满足1，2，与3，则分式的值为 ___．
知识点八、分式的值为正负时未知数的取值范围
49．当_______时，分式的值为负．
50．分式的值为负数，则a的取值范围是___________．
51．若分式的值大于零，则 x 的取值范围是_______________
知识点九、分式的为整数时未知数的整数值
52．若分式的值为正整数，则整数x的值为________．
53．若分式值为整数，则满足条件的整数的值为_____．
54．若代数式的值为整数，则所有满足条件的整数的和是_________．
三、 解答题
知识点一、分式的判断
55．（1）请你写出五个正的真分数，____，____，____，____，____，给每个分数的分子和分母加上同一个正数得到五个新分数：____，____，____，_____，____.
（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：
一个真分数是（a、b均为正数），给其分子分母同加一个正数m，得，则两个分数的大小关系是_____.
（3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：
（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？
（5）解决问题：如图1，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的路，问原来的长方形与现在铺过小路后的长方形是否相似？为什么？
（6） 这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题.请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关例子.
知识点二、分式的规律问题
56．观察下列等式：
①； ②；
③； ④；
……
⑴猜想并写出第个算式： ；
⑵请说明你写出的等式的正确性．
⑶把上述个算式的两边分别相加，会得到下面的求和公式吗？请写出具体的推导过程．
．
⑷我们规定：分子是1，分母是正整数的分数叫做单位分数．任意一个真分数都可以表示成不同的单位分数的和的形式，且有无数多种表示方法．根据上面得出的两个结论，请将真分数表示成不同的单位分数的和的形式．（写出一种即可）
知识点三、按要求构造分式
57．阅读下面材料，并解答问题．
材料:将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解析：
由分母为，可设
则
对应任意x，上述等式均成立，，，．
．
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和．
解答：
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）当时，直接写出________，的最小值为________．
知识点四、分式有意义的条件
58．在学习第9章第1节“分式”时，小明和小丽都遇到了“当x取何值时，有意义”
小明的做法是：先化简，要使有意义，必须x﹣2≠0，即x≠2；
小丽的做法是：要使有意义，只须x2﹣4≠0，即x2≠4，所以x1≠﹣2，x2≠2．
如果你与小明和小丽是同一个学习小组，请你发表一下自己的意见．
知识点五、分式无意义的条件
59． 求分式无意义时的值
知识点六、分式的值为零的条件
60．已知分式，回答下列问题．
（1）若分式无意义，求x的取值范围；
（2）若分式的值是零，求x的值；
（3）若分式的值是正数，求x的取值范围．
知识点七、分式的求值
61．已知,，求下列各式的值：
（1）和；
（2）+．
知识点八、分式的值为正负时未知数的取值范围
62．分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式＞0时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①，得x＞3，
解不等式组②，得x＜－.
所以原分式不等式的解集为x＞3或x＜－ .
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式＜0.
知识点九、分式的为整数时未知数的整数值
63．观察下列等式： ；；；……
根据上面等式反映的规律，解答下列问题：
（1）请根据上述等式的特征，在括号内填上同一个实数： （ ）-5=（ ）；
（2）小明将上述等式的特征用字母表示为：（、为任意实数）.
①小明和同学讨论后发现：、的取值范围不能是任意实数.请你直接写出、不能取哪些实数.
②是否存在、两个实数都是整数的情况？若存在，请求出、的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．A
【分析】
分母是整式且整式中含有字母，根据这点判断即可．
【详解】
∵中的分母是3，不含字母，
∴不是分式；
∵中的分母是n，是整式，且是字母，
∴是分式；
∵中的分母是a+5，是多项式，含字母a，
∴是分式；
∵中的分母是15，不含字母，
∴不是分式；
∵中的分母是，是整式，含字母x，y，
∴是分式；
∵中的分母是，是整式，含字母a，b，
∴是分式；
共有4个，
故选A．
【点拨】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式构成的两个基本能条件是解题的关键．
2．B
【分析】
根据分式的定义逐个判断即可得．
【详解】
常数是单项式，
是多项式，
和都是分式，
综上，分式有2个，
故选：B．
【点拨】本题考查了分式的定义，掌握理解分式的定义是解题关键．
3．B
【分析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此一一判断式子即可得到答案；
【详解】
解：分母有字母，故是分式；
分母无字母，故不是分式；
均不是分式；
分母均有字母，故是分式，
综上、、是分式，共3个，
故选：B；
【点拨】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母．
4．D
【详解】
试题分析：由a1=n，得到a2=1﹣=1﹣=，a3=1﹣=1﹣=﹣=，a4=1﹣=1﹣（1﹣n）=n，以n，，为循环节依次循环，∵2013÷3=671，∴a2013=．
考点：分式的混合运算．
5．A
【分析】
通过观察已知式子可得分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，即可求解．
【详解】
解：由，，，，……，可知分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，
∴在中，b＝10，a＝102－1＝99，
∴a＋b＝109，
故选：A．
【点拨】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．
6．D
【分析】
根据题中所给已知等式先求出前4个数，发现每3个数一个循环，进而可得则a2021等于a2的值．
【详解】
解：由于a1=x+1（x≠0或x≠-1），
所以， ，
因为2021÷3=673，
所以a2021=．
故选：D．
【点拨】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
7．D
【分析】
甲、乙两人合作需小时完成，得甲乙一小时完成，甲单独做需小时完成得甲一小时完成，由此即可得乙一小时的工作效率，再用1除以工作效率即可得到答案.
【详解】
，
故选D
【点拨】此题考察分式的实际应用，根据题意列分式即可解答此题，注意是甲乙工作效率的和，需减去甲的工作效率才能得到乙的工作效率，由此求得乙单独做完工作所需要的时间.
8．B
【分析】
先求出每千克钢筋的长度，再根据“总重量×每千克钢筋的长度=总长度”进行求解即可.
【详解】
由题意可得每千克钢筋的长度为：米/千克
则这捆钢筋的总长度为：米
故选：B.
【点拨】本题主要考查列代数（分式），理解题意是关键.
9．A
【解析】
【分析】
房间数＝住进房间人数÷每个房间能住的人数；一人无房住，那么住进房间的人数为：m−1．
【详解】
住进房间的人数为：m−1，
依题意得，客房的间数为，
故选A．
【点拨】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
10．C
【分析】
将表格数据依次代入已知分式中，进行计算即可判断．
【详解】
解：A．根据表格数据可知：当x=-1时，分式无意义，即x+a=0，
所以-1+a=0，解得a=1．所以A选项不符合题意；
B．当x=1时，分式的值为0，
即，解得b=2，
所以B选项不符合题意；
C．当x=c时，分式的值为-1，
即，解得c=，
所以C选项符合题意；
D．当x=d时，分式的值为1，
即，解得d=3，
所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了分式的值、分式有意义的条件，解决本题的关键是掌握分式相关知识．
11．D
【分析】
根据分式分母不为零，计算即可
【详解】
解：根据分式有意义的条件为分母不为零得：
∴
故选:D
【点拨】本题考查分时有意义的条件，正确理解分式的定义是关键
12．D
【分析】
分式有意义的条件：分母不等于零，由此列式计算即可．
【详解】
解：由题意得：，
∴且，
故选：D．
【点拨】此题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件及掌握计算方法是解题的关键．
13．C
【分析】
根据分式无意义的条件求解即可．
【详解】
解：当分式无意义时，x-a=0,
而此时x=-1
所以，-1-a=0
解得，a=-1
故选：C
【点拨】本题考查了分式无意义的条件，能得出关于a的方程是解此题的关键．
14．C
【分析】
根据分母为零分式无意义，可得答案．
【详解】
∵分式无意义，
∴，
∴，
故选C．
【点拨】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
15．D
【分析】
当分母的值为0时，分式没有意义，据此可求出b值；当分子为0分母不为0时，分式的值为0，据此可求出a值，于是可求a+b的值．
【详解】
解：∵当时，分式无意义
∴分母-2-b=0则b=-2．
∵当时，此分式的值为0，
∴分子4-a=0解得：a=4．
∴a+b=4+(-2)=2．
故选D．
【点拨】本题考查了分式有无意义的条件和分式的值为0时的条件，掌握相关知识点是解题的关键．
16．A
【分析】
根据分式值为零的条件可得：3x2﹣3＝0，且x+1≠0，再解即可．
【详解】
解：由题可得，3x2﹣3＝0，且x+1≠0，
解得x＝±1，x≠﹣1，
∴x＝1，
故选：A．
【点拨】本题考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
17．B
【分析】
根据分式值为零的条件可得x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，
解得：x＝﹣2，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了分式值为零的条件，准确计算是解题的关键．
18．C
【分析】
先根据分式为零的条件列出不等式组，然后再求解即可．
【详解】
解：∵=0
∴，解得x=2．
故答案为C．
【点拨】本题主要考查了分式为零的条件，根据分式为零的条件列出不等式组是解答本题的关键．
19．B
【分析】
将看作一个整体，把代数式中的分子运用完全平方公式进行变形，再根据正整数的特性即可得．
【详解】
解：，
，
，
，
为非负整数，是一个正整数，
的所有可能取值为，
即符合条件的个数有4个，
故选：B．
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
20．B
【分析】
先根据新运算的定义称为a的差倒数，求出、、的值，可发现规律，再根据新运算的定义计算即可得．
【详解】
∵ ， 是的差倒数，
∴，
∵是的差倒数，是的差倒数，
∴，
∴，
根据规律可得以，，为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，
所以．
故选B．
【点拨】本题考查了有理数的加减乘除法运算，理解新运算的定义是解题关键．
21．A
【分析】
先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．
【详解】
解：∵，
∴，
∵两个不等于0的实数、满足，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键．
22．D
【分析】
若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围．
【详解】
解：∵＞0，
∴x＋4＞0，x≠0，
∴x＞−4且x≠0．
故选：D．
【点拨】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式．
23．C
【分析】
分子分母异号即可，而分子恒为正，因此令分母小于0，最终求得不等式的解集．
【详解】
∵
∴若使分式的值为负，则
解得x＞
故答案为x＞．
【点拨】本题考查了分式方程的求解，使分式的值为正即为分子分母同号，分式的值为负即为分子分母异号．
24．A
【分析】
由偶次方的性质可知x2≥0，故此x2+5＞0，由分式的值为正数可知＞0，最后解不等式即可．
【详解】
，的值为正数
解得
故选A
【点拨】本题考查了分式的值，解答本题的关键在于根据偶次方的性质得到x2+5＞0．
25．C
【分析】
首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可．
【详解】
解：﹣÷
＝﹣×
＝﹣
＝
＝，
∵a为整数，且分式的值为正整数，
∴a﹣5＝1，5，
∴a＝6，10，
∴所有符合条件的a的值的和：6+10＝16．
故选：C．
【点拨】本题考查了分式的混合运算，对分式的分子和分母能够正确分解因式是解题的关键．
26．D
【分析】
先把原分式进行变形，分离出一个常数，结合原分式的值为整数，n为整数，即可得到答案．
【详解】
∵为整数，也为整数，
又∵=，
∴n-1=±1，±2，即：n=0，2，3，-1．
∴能使也为整数的的个数有4个．
故选D．
【点拨】本题主要考查分式的值和分式的加法运算法则，掌握分式的加法运算法则，把原分式化为一个整数和一个分式的和，是解题的关键．
27．A
【分析】
根据题意可知，是2的约数，则为或，然后求出x的值，即可得到答案.
【详解】
解：∵为整数，且的值也为整数，
∴是2的约数，
∴或，
∴为、0、2、3，共4个；
故选：A.
【点拨】本题考查了分式的值，正确理解分式的意义是解题的关键．
28．2
【分析】
看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
解：（1﹣x），，，分母中都不含字母，因此它们是整式，而不是分式．
+x，，分母中含有字母，因此是分式．
分式有两个，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以，不是分式，是整式．
29．1
【分析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
解：是整式，是分式，是整式，即分式个数为1，
故答案为：1
【点拨】本题主要考查分式的定义，注意数字不是字母，判断分母的关键是分母中有字母.
30．， ，，，0 ，，，，,0
【解析】
【分析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
解：分式的有，，其分母有字母，故是分式.整式的有，，，0，它们均不是分式，是整式.各式为分式或整式，都是有理式.
【点拨】本题考查分式的定义，解题的关键注意区分是否为分式不应化简，π是常数，不是字母.
31．
【分析】
先计算得到a1、a2、a3、a4的值，得到变化规律，根据规律求解即可．
【详解】
解：，
，
，
，
观察发现，每三个一循环，
，
即第674轮的第一个，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
32．
【分析】
（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x6
（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x12，分母是 y11,
（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个分式的符号是（-1）n, 分子是b3n-1，分母是 an,
【详解】
解：（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是，
（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是，
（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个符号为（-1）n，所以，第六个分式是
【点拨】本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键
33．2 1008.5
【分析】
由各项之间的关系可以算出，然后发现题中的一列数是按照-1、、2、-1、、2、-1，-1、 、2三个数不断重复出现排列的，因为2020，所以所求和等于673个（-1+ +2）再加上-1 ．
【详解】
解：由题意得：；
∴，
．
【点拨】本题考查分式的规律探索，通过计算一列数的前面几个数去找出整列数的规律是解题关键．
34．8
【分析】
根据题意，可得一共经过了：（个）月，超过4个月，即x+y＜13，故x+y可以为：1，2，4，又因为x＞y，所以可得x＝3，y＝1，进而可以设第一小组有a个月得第一名，b个月得第二名，根据题意可以列方程组即可得解．
【详解】
解：根据题意，得
一共经过了：（个）月，
23+20+9＝52，x＞y，
∵＞4，
∴x+y＜13，
故x+y可以为：1，2，4，
又∵x＞y，故x＝3，y＝1，
∴一共有13个月，
设第一小组有a个月得第一名，b个月得第二名，根据题意，得
由①得：3a+3b≤39③
由②得，3a＝23﹣b④
将④代入③，解得b≤8，
当b＝8时，a＝5，
答：第一小组最多得到8次第二名．
故答案为：8．
【点拨】此题主要考查不等式组与分式的实际应用，解题的关键是根据题意得到相应的式子进行求解．
35．（答案不唯一）
【分析】
根据要求和分式的定义可写出.
【详解】
如，，-等等，只要分母不等于0就好.
故答案为：
【点拨】考核知识点：分式的值为0.理解分式的定义是关键.
36．
【解析】
【分析】
设混合糖果每千克应定价为x元,根据混合销售所得收入与分别销售收入相同列出方程,求出方程的解即可得到结果.
【详解】
解:设混合糖果每千克应定价为x元,
根据题意得:12a+14b+9c=(a+b+c)·x,
解得:x=,
则混合糖果每千克应定价为元,
故答案为:
【点拨】此题考查了一元一次方程的应用,弄清题意是解本题的关键.
37． 1 x<2且x≠-1
【分析】
根据分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的值为负数的条件即可解答．
【详解】
∵分式有意义，
∴，
即；
∵分式的值为0，
∴且，
∴x=1；
∵分式的值为负数，
∴x-2<0且
即x-2<0且x+1≠0，
∴x<2且x≠-1．
故答案为：；1；x<2且x≠-1．
【点拨】本题是基础题，考查了分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的值为负数的条件，熟练运用分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的值为负数的条件是解决问题的关键．
38．
【分析】
由可得可得的值，从而可得答案．
【详解】
解： ，
且
由可得
由
把代入中，
故答案为：
【点拨】本题考查的是算术平方根，绝对值的非负性，分式有意义的条件，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
39．
【分析】
根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．
【详解】
由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
40．-1
【分析】
根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．
【详解】
∵分式的值不存在，
∴x+1=0，
解得：x=-1，
故答案为：-1．
【点拨】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．
41．16
【分析】
根据分式无意义时分母的值为0，分式的值为0时，分式分子的值为0并且分母的值不为0求解即可
【详解】
∵当x=-2时，分式无意义，
∴分母x-a=-2-a=0则a=-2．
∵当x=4时，此分式的值为0，
∴分子x-b=0得4-b=0解得：b=4．
∴；
故答案为16．
【点拨】分式分母的值为0时分式没有意义，要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0
42．=1或-1 =8
【分析】
分式无意义：分母为0；分式是值为0：分子为0、分母不为0．据此可解．
【详解】
解：根据题意，得
当分母=0，即x=1或-1时，分式无意义；
当分子=0且分母≠0时，分式的值为0，即当x=8时，分式的值等于0．
故答案是：=1或-1；=8．
【点拨】本题考查了分式的值为零的条件：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可；还考查了分式有意义的条件：分式有意义，分母不为零．
43．2
【分析】
根据分子等于零且分母不等于零列出不等式组，并解答．
【详解】
解：（1）由条件得：
解得x=2．
故答案为：2
【点拨】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
44．3
【分析】
要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【详解】
解：要使分式由分子．解得：或3；
而时，分母；
当时分母，分式没有意义．
所以的值为3．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查了分式的值为零的条件，要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
45．-3
【分析】
根据分式的值为零的条件，分子为0且分母不为0即可求出x的值．
【详解】
解：由分式的值为零的条件得，，
∴x=±3且x≠3且x≠-1，
∴x=-3时，分式的值为0．
故答案为：-3．
【点拨】本题考查了分式值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
46．
【分析】
由条件得，先求出的值，再根据平方根的定义即可求出的值．
【详解】
解：∵，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了分式的求值，熟悉完全平方公式的结构特点及平方根的定义是解题的关键．
47．
【分析】
利用分式的加减运算法则与完全平方公式把原式化为：，再整体代入求值，再利用平方根的含义可得答案.
【详解】
解：因为，，
所以
，
又因为，所以，
所以，
故答案为：．
【点拨】本题考查的是由条件式求解分式的值，掌握变形的方法是解题的关键.
48．
【分析】
原分式的倒数为，根据分式的性质可化为，把已知条件可化为，代入即可得出的值，再求出值的倒数即可得出答案．
【详解】
解：原式的倒数为，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了分式的求值，熟练应用分式的性质进行合理变形是解决本题的关键．
49．且
【分析】
分式有意义，x2≠0，分式的值为负数，只有分子x-2＜0，由此求x的取值范围．
【详解】
解：依题意，得
解得x＜2且x≠0，
故答案为：x＜2且x≠0．
【点拨】本题考查了分式的值．求分式的值，必须同时满足分母不为0．
50．a<4且
【分析】
根据分式的值为负数得到不等式即可求出答案.
【详解】
∵分式的值为负数，
∴3a-12<0，,
解得a<4且
故答案为：a<4且
【点拨】此题考查分式的值的情况，根据分式的值确定未知数的取值范围，正确理解题意是解题的关键.
51．x＞-1
【分析】
根据两数相除，同号得正，异号得负，分式的分母不为0解答.
【详解】
∵
而x-1≠0
∴
∵分式的值大于零
∴x+1＞0
x＞-1
故答案为：x＞-1
【点拨】本题考查的是分式的值，掌握分式有意义的条件及判定分式值的符号的方法是关键.
52．0，1，2，5
【分析】
先求分式的值为正数时，x的取值范围，再在范围内求使分式 的值为正整数的整数x的值．
【详解】
解：当x+1＞0，即x＞-1时，分式 的值为正数，
要使分式 的值为正整数，只有x+1=1或2或 3或6，
解得x=0或1或2或5．
故答案为：0或1或2或5．
【点拨】本题考查了分式的值的探究，分式的值为正整数，需要从分式的意义，分母、分子的取值，综合考虑．
53．0或2
【分析】
根据分式有意义的情况得出的范围，再根据分式的值为整数得出分母x-1=±1求解即可．
【详解】
解：因为分式有意义，所以x-1≠0，即x≠1，
当分式值为整数时，
有x-1=±1，
解得x=0或x=2，
故答案为：0或2．
【点拨】本题考查分式的意义，分式的值，理解分式的值的意义是解决问题的关键．
54．2
【分析】
将代数式变形为4+，从而求出满足条件的整数x的值，求出答案．
【详解】
解：∵=4+，
又∵代数式的值为整数，
∴为整数，
∴x-1=1或x-1=-1，
∴x=2或0，
2+0=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了将分式变形为整数加上分式的求值问题，找出解答规律是解答本题的关键．
55．(1) ；；；；；；；；；；（2）＞；（3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；（4）答案见解析；（5）不相似，理由见解析；（6）答案见解析.
【分析】
（1）小于1的数叫做真分数；（2）根据实例易得规律；（3）抓住新分数大于原分数即可；（4）根据图形进行分析解答；（5）利用相关规律解决问题即可；（6）结合生活中的现象进行解答.
【详解】
解：（1）、、、、，、、、、；（2）；
（3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；
（4）思路1：如图2所示，
由，得，即，，可推出；
思路2：构造两个面积为1的长方形（如图3），将它们分成两部分，比较右侧的两个长方形面积可以发现：
，，
因为a、b、，且，
故 ，即
（5）不相似.因为两个长方形长与宽的比值不相等；
（6）数学问题举例：
①若是假分数，会有怎样的结论？
②a、b不是正数，或不全是正数，情况如何？
【点拨】本题实际考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
56．⑴；
⑵左边＝＝右边，
即．
⑶；
⑷，等等；
【详解】
⑴；
⑵左边＝＝右边，
即．
(3)
⑷，等等
57．（1）分式被拆分成了一个整式与一个分式的和；（2）0；8．
【分析】
（1）参照例题材料，设，然后求出m、n的值，从而即可得出答案；
（2）先根据得出，再根据不等式的运算即可得．
【详解】
（1）由分母为，可设
对应任意x，上述等式均成立
，解得
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和；
（2）由（1）得
当时，
，且当时，等号成立
则当时，取得最小值，最小值为8
故答案为：0；8．
【点拨】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式的运算法则是解题关键．
58．小丽的做法正确．
【分析】
根据分式有意义的条件：分母不等于0解答即可.
【详解】
因为当分母不为0时，分式有意义．
小明的做法错误在于他先把分式约分，
使原来的分式中字母x的取值范围扩大了．
小丽的做法正确．
【点拨】本题考查了分式有意义的条件：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
59．2或
【解析】
【分析】
分式无意义，分母为零．
【详解】
解：2+=0 即 x时，无意义；x-2=0 即 x=2时，整体无意义．
【点拨】解决本题的关键突破口是掌握分式无意义的条件就是分母为0．
60．（1）x＝；（2）x＝1；（3）＜x＜1．
【分析】
（1）分式无意义，分母值为零，进而可得2﹣3x＝0，再解即可；
（2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，再解即可；
（3）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：2﹣3x＝0，
解得：x＝；
（2）由题意得：x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，
解得：x＝1；
（3）由题意得：①，
此不等式组无解；
②，
解得：＜x＜1．
∴分式的值是正数时，＜x＜1．
【点拨】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式值为正，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件．
61．（1）5，1；（2）
【分析】
（1）把所给的式子利用完全平方公式分解后，再把两式进行相加和相减即可求解；
（2）先化简原式，再将（1）所求的和的值代入即可求解．
【详解】
（1）∵,，
∴①
②
①＋②得：
∴
①－②得：
∴
（2）+
将和代入上式可得：
原式
【点拨】本题考查完全平方公式的运用、分式的化简求值，学会利用整体代入的思想，解题的关键是熟练掌握完全平方公式求出和的值．
62．
【分析】
根据“两数相除，同号得正，异号得负”，把原分式不等式转化为两个不等式组求解即可.
【详解】
解：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②，
解不等式组①，得
所以原分式不等式的解集为
63．(1) ;(2)①x不能取-1，y不能取2；②x=0,y=0；x=1,y=1；x=-3,y=3；x=-2,y=4；
【分析】
（1）设所填数为x,则2x-5=5x；（2）①假如，则，根据分式定义可得；②由①可知或，x≠-1，y≠2，代入尝试可得.
【详解】
（1）设所填数为x,则2x-5=5x
解得x=
所以所填数是
（2）①假如
则
所以x≠-1，y≠2
即：x不能取-1，y不能取2；
②存在,
由①可知或，x≠-1，y≠2
所以x,y可取的整数是：
x=0,y=0；x=1,y=1；x=-3,y=3；x=-2,y=4；
【点拨】考核知识点：分式的值.理解分式定义是关键.
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