2020-2021学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

2．（3分）下列命题中，是真命题的是　　

A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似 

C．矩形都相似 D．正方形都相似

3．（3分）二次函数图象上部分点的坐标如下表所示，则该函数图象的顶点坐标为　　

A． B． C． D．

4．（3分）如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且，则这个油桶的底面半径是　　

A． B． C． D．

5．（3分）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是　　

A． B． C． D．

6．（3分）如图，中，，，，是边上一点，，，垂足为点，则的长是　　

A．16 B． C．6 D．4

7．（3分）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是　　

A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形

8．（3分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，且，设旋转角为，则的大小为　　

A． B． C． D．

9．（3分）设函数，，是实数，，当时，；当时，，　　

A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则

10．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面时，水面宽．水面下降，水面宽度增加　　

A． B． C． D．

11．（3分）如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点．设，，则　　

A． B． C． D．

12．（3分）如图，抛物线的顶点坐标为，点是该抛物线上一点，若点，是该抛物线上任意一点，有下列结论：

①；

②抛物线与轴交于点，；

③若，则；

④若，则．

其中，正确结论的个数是　　

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是 　　．

14．（3分）已知正六边形的半径是3，则这个正六边形的边长是　　．

15．（3分）如图，在中，点，在边上，且．点，在边上，且，延长交的延长线于点，则的值　　．

16．（3分）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角为　　度．

17．（3分）对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则的取值范围是　　．

18．（3分）已知正方形的边长为6，是边的中点．

（1）如图①，连接，则的长为　　；

（2）如图②，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，则线段长的最小值为　　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19．（8分）已知2是方程的一个根，求常数的值及该方程的另一根．

20．（8分）已知，中，，是上的点，．

（1）如图①，求证；

（2）如图②，连接，，，，若，求，的大小．

21．（10分）已知的直径，为上一点，．

（1）如图①，点是上一点，求的大小；

（2）如图②，过点作的切线，过点作于点，与交于点，求的大小及的长．

22．（10分）一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是，求两条直角边的长．

23．（10分）如图，已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．设矩形的一边的长为，旋转形成的圆柱的侧面积为．

（1）用含的式子表示：

矩形的另一边的长为　　，旋转形成的圆柱的底面圆的周长为　　；

（2）求关于的函数解析式及自变量的取值范围；

（3）求当取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大；

（4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于，则矩形的长是　　，宽是　　．

24．（10分）在中，，，点是边的中点，连接．

（1）如图①，的大小　　（度，的长　　，的长　　；

（2）延长至点，使，将绕点逆时针旋转得到△，点，，，的对应点分别为，，，．

①图②，当时，求点到直线的距离及点到直线的距离；

②当与的一条边平行时，求点到直线的距离（直接写出结果即可）．

25．（10分）如图，点，，都在抛物线（其中上，轴，，且．

（1）当时，求抛物线的顶点坐标；

（2）求点到直线的距离（用含的式子表示）；

（3）若点到直线的距离为1，当时，的最大值为2，求的值．

2020-2021学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；

、是中心对称图形，故此选项正确；

、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；

、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．

故选：．

2．（3分）下列命题中，是真命题的是　　

A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似 

C．矩形都相似 D．正方形都相似

【解答】解：、直角三角形都相似，错误，是假命题；

、等腰三角形不一定相似，故错误，是假命题；

、矩形都相似，错误，是假命题；

、正方形都相似，正确，是真命题，

故选：．

3．（3分）二次函数图象上部分点的坐标如下表所示，则该函数图象的顶点坐标为　　

A． B． C． D．

【解答】解：、时的函数值都是3，

函数图象的对称轴为直线，

顶点坐标为．

故选：．

4．（3分）如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且，则这个油桶的底面半径是　　

A． B． C． D．

【解答】解：过点作，过点作，与相交于点，如图，

油桶与墙相切，

点为油桶的底面圆的圆心，

，

四边形为矩形，

，

矩形为正方形，

，

即这个油桶的底面半径是．

故选：．

5．（3分）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意画图如下：

共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，

则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是．

故选：．

6．（3分）如图，中，，，，是边上一点，，，垂足为点，则的长是　　

A．16 B． C．6 D．4

【解答】解：，

，

，

，

又，

，

，

，，，

，

．

故选：．

7．（3分）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是　　

A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形

【解答】解：以点为位似中心，

点对应点，

设网格中每个小方格的边长为1，

则，，，，，，，，，，

，

点对应点，点对应点，点对应点，

以点为位似中心，四边形的位似图形是四边形，

故选：．

8．（3分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，且，设旋转角为，则的大小为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设与相交于点，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

旋转角为，

故选：．

9．（3分）设函数，，是实数，，当时，；当时，，　　

A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则

【解答】解：当时，；当时，；代入函数式得：，

，

整理得：，

若，则，故错误；

若，则，故错误；

若，则，故正确；

若，则，故错误；

故选：．

10．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面时，水面宽．水面下降，水面宽度增加　　

A． B． C． D．

【解答】解：如右图建立平面直角坐标系，

设抛物线的解析式为，

由已知可得，点在此抛物线上，

则，

解得，

，

当时，

，

解得，，，

此时水面的宽度为：，

，

即水面的宽度增加，

故选：．

11．（3分）如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点．设，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

，

，

，

，

故选：．

12．（3分）如图，抛物线的顶点坐标为，点是该抛物线上一点，若点，是该抛物线上任意一点，有下列结论：

①；

②抛物线与轴交于点，；

③若，则；

④若，则．

其中，正确结论的个数是　　

A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】解：①二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，

，且，

，，

抛物线开口向上，则，

结论①正确；

②，，

，

抛物线与轴交于点，

结论②正确；

③点关于直线的对称点为，

当，则或，

结论③错误；

④当时，，

当，则，

结论④错误．

故选：．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是 　　．

【解答】解：蚂蚁获得食物的概率．

故答案为．

14．（3分）已知正六边形的半径是3，则这个正六边形的边长是　3　．

【解答】解：如图所示，连接、，

此六边形是正六边形，

，

，

是等边三角形，

，

故答案为：3．

15．（3分）如图，在中，点，在边上，且．点，在边上，且，延长交的延长线于点，则的值　　．

【解答】解：，，

，

在与中，

，

，

，

，

，

，

故答案为．

16．（3分）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角为　160　度．

【解答】解：根据弧长的公式得到：

，

解得度．

侧面展开图的圆心角为160度．

17．（3分）对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则的取值范围是　　．

【解答】解：由题意知二次函数的两个相异的不动点、是方程的两个不相等实数根，

且，

整理，得：，

由有两个不相等的实数根，且，知△，

令，画出该二次函数的草图如下：

则，

解得，

故答案为．

18．（3分）已知正方形的边长为6，是边的中点．

（1）如图①，连接，则的长为　　；

（2）如图②，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，则线段长的最小值为　　．

【解答】解：（1）正方形的边长为6，是边的中点，

，，

，

故答案为：．

（2）如图②，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，

，

，

，，

，

，

由（1）可知，

，

，

，

线段长的最小值为．

故答案为：．

三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19．（8分）已知2是方程的一个根，求常数的值及该方程的另一根．

【解答】解：将代入，得：，

解得，

所以方程为，

则，

，．

所以，另一个根为．

20．（8分）已知，中，，是上的点，．

（1）如图①，求证；

（2）如图②，连接，，，，若，求，的大小．

【解答】（1）证明：，过，

，

，

；

（2）解：四边形是圆内接四边形，

，

，

，

，

，

，

．

21．（10分）已知的直径，为上一点，．

（1）如图①，点是上一点，求的大小；

（2）如图②，过点作的切线，过点作于点，与交于点，求的大小及的长．

【解答】解：（1）连接，

为的直径，，

，

是等边三角形，

，

；

（2）连接，，

是的切线，

，

，

，

，

，

，

是等边三角形，

，

，

，

是等边三角形，

，，

，

在中，，

，

．

22．（10分）一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是，求两条直角边的长．

【解答】解：设其中一条直角边的长为，则另一条直角边的长为，

依题意得：，

整理得：，

解得：，．

当时，；

当时，．

答：两条直角边的长分别为，．

23．（10分）如图，已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．设矩形的一边的长为，旋转形成的圆柱的侧面积为．

（1）用含的式子表示：

矩形的另一边的长为　　，旋转形成的圆柱的底面圆的周长为　　；

（2）求关于的函数解析式及自变量的取值范围；

（3）求当取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大；

（4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于，则矩形的长是　　，宽是　　．

【解答】解：（1），

旋转形成的圆柱的底面圆的周长为．

故答案为：，．

（2）．

（3），

又，

时，有最大值．

（4）由题意：，

，

解得或（舍弃），

矩形的长是，宽是．

故答案为：，．

24．（10分）在中，，，点是边的中点，连接．

（1）如图①，的大小　45　（度，的长　　，的长　　；

（2）延长至点，使，将绕点逆时针旋转得到△，点，，，的对应点分别为，，，．

①图②，当时，求点到直线的距离及点到直线的距离；

②当与的一条边平行时，求点到直线的距离（直接写出结果即可）．

【解答】解：（1）在中，，，

，

，

，

点是边的中点，

，

故答案为45，，．

（2）①过点作，垂足为点，过点作，交的延长线于点，连接，

将绕点逆时针旋转得到△，

，

在△中，，

，

点到直线的距离为2，；

，，

，

，

，，，

四边形是平行四边形，

，，

，

，

，

在△中，，

，

．

点到直线的距离为；

②如图③中，当时，延长交于．

，

，

，

，

．

点到直线的距离为．

如图③中，如图当时，过点作交的延长线于，交于．

由题意四边形是矩形，，

，

点到直线的距离为5．

如图③中，当时，延长交于，可得，

，

点到直线的距离为．

综上所述，点到直线的距离为或或5．

25．（10分）如图，点，，都在抛物线（其中上，轴，，且．

（1）当时，求抛物线的顶点坐标；

（2）求点到直线的距离（用含的式子表示）；

（3）若点到直线的距离为1，当时，的最大值为2，求的值．

【解答】解：（1）当时，抛物线的解析式为，

，

顶点坐标为；

（2）如图，过点作，交的延长线于，

，

，

，

，

，

，

顶点坐标为，

，

点的横坐标为，

点在抛物线上，

，

点，

设点到直线的距离为，

，

点，

点在抛物线上，

，，

整理得：，

，

，

点到直线的距离为；

（3）点到直线的距离为1，

，

，

抛物线的解析式为．

分三种情况考虑：

①当，即时，有，

整理，得：，

解得：（舍去），（舍去）；

②当，即时，有，

解得：；

③当，即时，有，

整理，得：，

解得：（舍去），．

综上所述：的值为或．

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日期：2021/12/14 10:45:35；用户：初中数学2；邮箱：jse033@xyh.com；学号：39024123