2020-2021学年天津市和平区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年天津市和平区九上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 下列命题中，是真命题的为
A. 直角三角形都相似B. 等腰三角形都相似
C. 矩形都相似D. 正方形都相似

3. 二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点的坐标如下表所示：
x⋯−1012⋯y⋯0343⋯
则该函数图象的顶点坐标为
A. −1,0B. 0,3C. 1,4D. 2,3

4. 如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得 WY=0.5 m，并且 XY⊥WY，则这个油桶的底面半径是
A. 0.25 mB. 0.5 mC. 0.75 mD. 1 m

5. 一个仅装有球的不透明布袋里共有 4 个球（只有编号不同），编号为 1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是
A. 58B. 12C. 512D. 14

6. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=10，AC=8，E 是边 AC 上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为点 D，则 AD 的长是
A. 16B. 254C. 6D. 4

7. 如图所示的网格中，以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是
A. 四边形 NPMQB. 四边形 NPMRC. 四边形 NHMQD. 四边形 NHMR

8. 如图，在平行四边形 OABC 中，∠A=60∘，将平行四边形 OABC 绕点 O 逆时针旋转得到平行四边形 OAʹBʹCʹ，且 ∠AʹOC=90∘．设旋转角为 α0∘<α<90∘，则 α 的大小为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘

9. 设函数 y=ax−h2+k（a，h，k 是实数，a≠0），当 x=1 时，y=1；当 x=8 时，y=8，
A. 若 h=4，则 a<0B. 若 h=5，则 a>0
C. 若 h=6，则 a<0D. 若 h=7，则 a>0

10. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面 2 m 时，水面宽 4 m．如果水面下降 2.5 m，则水面宽度増加
A. 1 mB. 2 mC. 3 mD. 6 m

11. 如图，已知 BC 是 ⊙O 的直径，半径 OA⊥BC，点 D 在劣弧 AC 上（不与点 A，点 C 重合），BD 与 OA 交于点 E．设 ∠AED=α，∠AOD=β，则
A. 3α+β=180∘B. 2α+β=180∘C. 3α−β=90∘D. 2α−β=90∘

12. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为 1,−4a，点 A4,y1 是该抛物线上一点，若点 Bx2,y2 是抛物线上任意一点，有下列结论：
① 4a−2b+c>0；
②抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 −1,0，3,0；
③若 y2>y1，则 x2>4；
④若 0≤x2≤4，则 −3a≤y2≤5a．
其中，正确结论的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ．

14. 已知正六边形的半径是 3，则这个正六边形的边长是 ．

15. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 在 AC 边上，且 AE=ED=DC，点 F，M 在 AB 边上，且 FE∥MD∥BC，延长 FD 交 BC 的延长线于点 N，则 EFBN 的值 = ．

16. 已知圆锥的底面圆的半径是 40 cm，母线长 90 cm，则它的侧面展开图的圆心角的大小 = （度）．

17. 对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不动点．如果二次函数 y=x2+2x+c 有两个相异的不动点 x1，x2，且 x1<1
18. 已知正方形 ABCD 的边长为 6，O 是 BC 边的中点．
（1）如图①，连接 AO，则 AO 的长为 ．
（2）如图②，点 E 是正方形内一动点，OE=2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90∘ 得 DF，则线段 OF 长的最小值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知 2 是方程 x2−c=0 的一个根，求常数 c 的值及该方程的另一根．

20. 已知，⊙O 中，AB=BC，D 是 ⊙O 上的点，OC⊥BD．
（1）如图①，求证 AB=CD；
（2）如图②，连接 AB，BC，CD，DA，若 ∠A=70∘，求 ∠BCD，∠ADB 的大小；

21. 已知 ⊙O 的直径 AB=4，C 为 ⊙O 上一点，AC=2．
（1）如图①，点 P 是 BC 上一点，求 ∠APC 的大小．
（2）如图②，过点 C 作 ⊙O 的切线 MC ，过点 B 作 BD⊥MC 于点 D，BD 与 ⊙O 交于点 E，求 ∠DCB 的大小及 CD 的长．

22. 一个直角三角形的两条直角边的和是 7 cm，面积是 6 cm2，求两条直角边的长．

23. 如图，已知矩形 ABCD 的周长为 36 cm，矩形绕它的一条边 CD 旋转形成一个圆柱．设矩形的一边 AB 的长为 x cmx>0，旋转形成的圆柱的侧面积为 S cm2．
（1）用含 x 的式子表示：矩形的另一边 BC 的长为 cm，旋转形成的圆柱的底面圆的周长为 cm．
（2）求 S 关于 x 的函数解析式及自变量 x 的取值范围．
（3）求当 x 取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大．
（4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于 18π cm2，则矩形的长是 cm，宽是 cm．

24. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，CA=CB=2，点 P 是边 AB 的中点，连接 CP．
（1）如图①，∠B 的大小 = （度），AB 的长 = ，CP 的长 = ．
（2）延长 BC 至点 O，使 OC=2BC，将 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 α0∘<α<180∘ 得到 △AʹBʹCʹ，点 A，B，C，P 的对应点分别为 Aʹ，Bʹ，Cʹ，Pʹ．
①如图②，当 α=30∘ 时，求点 Cʹ 到直线 OB 的距离及点 Cʹ 到直线 AB 的距离．
②当 CPʹ 与 △ABC 的一条边平行时，求点 Pʹ 到直线 AC 的距离（直接写出结果即可）．

25. 如图，点 A，B，C 都在抛物线 y=ax2−2amx+am2+2m−5（其中 −14（1）当 m=1 时，求抛物线的顶点坐标，
（2）求点 C 到直线 AB 的距离（用含 a 的式子表示），
（3）若点 C 到直线 AB 的距离为 1，当 2m−5≤x≤2m−2 时，y 的最大值为 2，求 m 的值．
答案
第一部分
1. B【解析】由题可知，A，C，D中的图形通过旋转一百八十度，均不能得到原图形，故不是中心对称图形，A，C，D均错误．
而B选项旋转一百八十度可以得到原图形．
2. D【解析】A选项：直角三角形的直角对应相等，但两组锐角不一定对应相等，故A错误；
B选项：等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，故B错误；
C选项：矩形的各个角都相等，但边不一定成比例，所以不一定相似，故C错误；
D选项：正方形各角相等，各边对应成比例，相似，故D正确．
3. C【解析】由题可知，该二次函数上的点 0,3 和点 2,3 的纵坐标都相同，
∴ 易知二次函数的对称轴为 x=1，
而对称轴与二次函数图象的交点就是二次函数的定点，
∴ 该二次函数的顶点为 1,4．
4. B【解析】如图，设圆心为 O，连接 OX，OW，
由题意可知 XY，YW 为圆的切线，
所以 OW⊥WY，OX⊥XY，
且 XY⊥YW，OW=OX，
所以四边形 OXYW 为正方形，
所以 OX=WY=0.5 m，
即油桶的底面半径为 0.5 m．
5. A
【解析】根据题意画图如下：
共有 16 种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有 10 种，
则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 1016=58．
6. D【解析】∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90∘=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB，
即 AD8=510，
解得：AD=4．
7. A【解析】按照位似的作图原理，可以得到 A 的对应点为 N，B 的对应点为 P，C 的对应点为 M，D 的对应点为 Q．
8. A【解析】∵∠A=60∘，四边形 OABC 为平行四边形，
∴∠AOC=180∘−∠A=120∘（平行四边形邻角互补），
∵ 平行四边形 OAʹBʹCʹ 为平行四边形 OABC 绕 O 点逆时针旋转得到，
∴ 旋转角 α 即为 ∠AOAʹ，且 ∠AʹOC=90∘，
∴α=∠AOAʹ=∠AOC−∠AʹOC=120∘−90∘=30∘．
9. C【解析】当 x=1 时，y=1；
当 x=8 时，y=8；
代入函数式得：1=a1−h2+k,8=a8−h2+k,
∴a8−h2−a1−h2=7，
整理得：a9−2h=1，
若 h=4，则 a=1，故A错误；
若 h=5，则 a=−1，故B错误；
若 h=6，则 a=−13，故C正确；
若 h=7，则 a=−15，故D错误．
10. B
【解析】如图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为 y=ax2，
由已知可得：点 2,−2 在此抛物线上，
则 −2=a×22，解得 a=−12，
∴y=−12x2，
当 y=−4.5 时，−4.5=−12x2，
解得：x1=−3，x2=3，
∴ 此时水面的宽度为：3−−3=6，
6−4=2，
即水面的宽度增加 2 m．
11. D【解析】∵OA⊥BC，
∴∠AOB=∠AOC=90∘，
∴∠DBC=90∘−∠BEO=90∘−∠AED=90∘−α，
∴∠COD=2∠DBC=180∘−2α，
∵∠AOD+∠COD=90∘，
∴β+180∘−2α=90∘，
∴2α−β=90∘．
12. C【解析】①由题意得：抛物线对称轴为 x=1 且顶点坐标为 1,−4a，
∴−b2a=1,a+b+c=−4a, 解得：b=−2a，c=−3a，
4a−2b+c=4a−2×−2a−3a=5a，
∵ 抛物线开口向上，
∴a>0，即 5a>0，
∴4a−2b+c>0，故①正确；
②当 x=−1 时，y=a−b+c=a+2a−3a=0，
∴ 抛物线过点 −1,0，
当 x=3 时，y=9a+3b+c=9a−6a−3c=0，
∴ 抛物线过点 3,0，故②正确；
③ A 点关于对称轴 x=1 的对称点为 −2,y1，
∴ 当 y2>y1 时，x2>4 或 x2<−2，故③错误；
④当 x=4 时，y=16a+4b+c=16a−8a−3a=5a，
∵ 抛物线的对称轴为 x=1 且顶点坐标为 1,−4a，
∴ 当 x=1 时，ymin=−4a，
∴ 当 0≤x2≤4 时，−4a≤y2≤5a，故④错误．
综上：正确结论的个数是 2 个．
第二部分
13. 13
【解析】由图可知：
主树枝分了 3 个小树枝，
∴ 走每条小树枝的概率一样，
即出现的等可能的情况有 3 种，
则走有食物那条树枝的概率为 13．
14. 3
【解析】如图所示，连接 OB，OC．
∵ 此六边形是正六边形，
∴∠BOC=360∘6=60∘，
∵OB=OC=3，
∴△BOC 是等边三角形，
∴OB=OC=BC=3．
15. 14
【解析】∵FE∥BC，
∴△AFE∽△ABC，
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，
∴EF:BC=AE:AC，
相似三角形对应边成比例，
∵AE=ED=DC，
∴AE:AC=1:3，
∴EF:BC=1:3，即 BC=3EF，
∵EF∥BC，
∴△DFE∽△DNC，
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，
∴EF:CN=ED:CD，
相似三角形对应边成比例，
∵ED=DC，
∴EF=CN，
∴EFBN=14．
16. 160
【解析】根据弧长的公式 l=nπr180 得到：
80π=nπ⋅90180，
解得 n=160 度．
侧面展开图的圆心角为 160 度．
17. c<−2
【解析】由题意知二次函数 y=x2+2x+c 的两个相异的不动点 x1，x2 是方程 x2+2x+c=x 的两个不相等实数根，
且 x1<1整理，得：x2+x+c=0，
由 x2+x+c=0 有两个不相等的实数根，且 x1<1知 Δ>0，
令 y=x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：
则 1−4c>0,1+1+c<0.
解得 c<−2．
18. 35，310−2
【解析】（1）∵ 四边形 ABCD 是正方形，边长为 6，
∴AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90∘，
∵ 点 O 是 BC 的中点，
∴OB=OC=12BC=3，
在 Rt△ABO 中，AO=AB2+OB2=62+32=35．
（2）以 CD 为边向右作正方形 DCGH，取 HG 的中点 M，
连接 OD，MD，OM，FM，
∵ 四边形 ABCD 和四边形 DCGH 都是正方形，
∴DC=DH=BC=HG，∠DCB=∠CDH=∠H=90∘，
∵ 点 M 是 HG 的中点，
∴HM=MG=12HG=3，
∴OC=MH，
在 △DCO 和 △DHM 中，
DC=DH,∠DCO=∠DHM,OC=MH,
∴△DCO≌△DHMSAS，
∴OD=MD，∠CDO=∠HDM，
∵∠HDM+∠CDM=90∘，
∴∠CDO+∠CDM=90∘，
∴∠ODM=90∘，
∵ 线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90∘ 得到线段 DF，
∴DE=DF，∠EDF=90∘，
∴∠EDF=∠ODM，
∴∠EDF−∠ODF=∠ODM−∠ODF，
∴∠EDO=∠FDM，
在 △DMF 和 △DOE 中，
DM=DE,∠FDM=∠EDO,DF=DE,
∴△DMF≌△DOESAS，
∴MF=OE=2，
∴ 点 F 在以点 M 为圆心，2 为半径的圆上移动，
∴OF≤OM−MF，
∴ 当且仅当 O，F，M 三点共线时线段 OF 取得最小值，
∵OG=OC+CG=9，
∴ 在 Rt△OGM 中，OM=OG2+MG2=92+32=310，
∴OF 的最小值为 310−2．
第三部分
19. ∵x=2 是方程 x2−c=0 的一个根，
∴22−c=0，
∴c=4，
∴x2−4=0，
∴x2=4，
∴x=2 或 x=−2，
∴c 的值为 4，方程的另一根为 −2．
20. （1） ∵OC⊥BD，连接 OB，OD，OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴ 在 △OBE 和 △ODE 中，
∠OBE=∠ODE，∠BEO=∠DEO，OE=OE，
∴△OBE≌△ODEAAS，
∴∠BOC=∠DOC，
∴BC=CD（等角对等弧），
又 ∵AB=BC，
∴AB=CD．
（2） 如图所示，连接 OA，OB，OD，
∵∠BAD=70∘，
∴∠BAO+∠OBD=70∘，
∵OB=OA，OA=OD，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAD=∠ODA，
∴∠ABO+∠ODA=70∘，
∴ 在 △ABD 中，∠OBD+∠ODB=180∘−70∘−70∘=40∘，
又 ∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=20∘，
又 ∵OC⊥BD，
∴∠BOC=90∘−20∘=70∘，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠OCB=180∘−70∘×12=55∘，
∴∠BCD=2×55∘=110∘，
又 ∵AB=BC，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=70∘，
∴∠AOD=360∘−70∘−70∘−70∘=150∘，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=15∘，
∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=15∘+20∘=35∘，
∴∠BCD=110∘，∠ADB=35∘．
21. （1） 连接 OC，
∵AB 为 ⊙O 的直径，AB=2AC，
∴OA=OC=AC，
∴△AOC 是等边三角形，
∴∠AOC=60∘，
∴∠APC=12∠AOC=30∘．
（2） 连接 AE，OC 与 AE 相交于 F，
∵MC 是 ⊙O 的切线，
∴MC⊥OC，
∵BD⊥MC，
∴∠MCO=∠CDB=90∘．
∴BD∥OC．
∴∠AFO=∠AEB．
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠AEB=90∘．
∴∠AFO=90∘．
∴OC⊥AE．
∴CE=AC．
∴CE=AC=12AB=12×4=2．
∴AC=OA=OC，即 △AOC 是等边三角形．
∴∠ECO=∠ACO=60∘．
∴∠ECD=30∘．
∴CD=3．
22. 设一条直角边为 x，则另一条直角边为 7−x，
由直角三角形面积公式可得：
127−xx=6,
整理，得：
x2−7x+12=0,
解得：
x=3或x=4,
若 x=3，则 7−x=4，
若 x=4，则 7−x=3，
∴ 两条直角边分别为 3 cm 和 4 cm．
23. （1） 18−x；36−2xπ
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，周长是 36 cm，AB 的长是 x cm，
∴BC 的长是 36÷2−x=18−x cm，旋转成的圆柱的底面圆的周长 =2π18−x=36−2xπ cm．
（2） 由题意可得，
S=2π362−x⋅x=−2πx2+36πx，即 S 与 x 的函数关系式是 S=−2πx2+36πx0 （3） ∵S=−2πx2+36πx=−2πx−92+162π
∴ 当 x=9 时，圆柱的侧面积最大，最大值是 162π．
（4） 9+62；9−62
【解析】令 S=18π，则 18π=−2πx2+36πx，解得，x=9±62，
当 x=9+62 时，362−x=9−62，
当 x=9−62 时，362−x=9+62，
由上可得，矩形的长是 9+62 cm，宽是 9−62 cm
24. （1） 45；22；2
【解析】在 △ABC 中，∠ACB=90∘，CA=CB=2，
∴∠B=∠A=45∘，
sinB=CAAB=22，
∴AB=22，
∵ 点 P 是边 AB 的中点，
∴CP=12AB=2．
（2） ①过点 Cʹ 作 CʹD⊥OB，垂足为点 D，过点 Cʹ 作 CʹE⊥AB，交 BA 的延长线于点 E，连接 ACʹ，
∵ 将 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 α 得到 △AʹBʹCʹ，
∴OCʹ=OC=2BC=2×2=4，
在 Rt△OCʹD 中，∠O=30∘，
∴CʹD=12OCʹ=12×4=2，
∴ 点 Cʹ 到直线 OB 的距离为 2，
OD=OC2−CʹD2=42−22=23，
∵CʹD⊥OB，∠ACB=90∘，
∴AC∥CʹD，
∵CʹD=2，AC=2，CʹD=AC，
∴ 四边形 CʹDCA 是平行四边形，
∴CʹA=DC=OC−OD=4−23，CʹA∥DC，
∴∠EACʹ=∠B=45∘，
∠ECʹA=90∘−∠EACʹ=90∘−45∘=45∘，
∴∠EACʹ=∠ECʹA，
∴CʹE=AE，
在 Rt△ACʹE 中，
∵CʹE2+AE2=CʹA2，
∴CʹE2=CʹA22，
∴CʹE=22CʹA=224−23=22−6，
∴ 点 Cʹ 到直线 AB 的距离为 22−6．
② 4−22 或 4+32 或 5．
【解析】②如图③ −1 中，当 PʹCʹ∥AC 时，延长 PʹCʹ 交 OB 于 H．
∵PʹH∥AC，
∴∠OHCʹ=∠ACO=90∘，
∴∠OCʹH=∠BʹCʹPʹ=45∘，
∴OH=OCʹ⋅cs45∘=22，
∴CH=OC−OH=4−22，
∴ 点 Pʹ 到直线 AC 的距离为 4−22．
如图③ −2 中，如图当 PʹCʹ∥AB 时，过点 Pʹ 作 PʹH⊥OB 交 BO 的延长线于 H，交 AʹCʹ 于 T．
由题意四边形 OHTCʹ 是矩形，OH=CʹT=1，
∴CH=OC+OH=1+4=5，
∴ 点 Pʹ 到直线 AC 的距离为 5，
如图③ −3 中，当 PʹCʹ∥BC 时，延长 BʹAʹ 交 BO 于 H，
可得 OH=OBʹ⋅cs45∘=32，
∴CH=32+4，
∴ 点 Pʹ 到直线 AC 的距离为 4+32．
综上所述，点 Pʹ 到直线 AC 的距离为 4−22 或 4+32 或 5．
25. （1） ∵y=ax2−2amx+am2+2m−5=ax−m2+2m−5，
∴ 抛物线的顶点坐标为 m,2m−5，
∵m=1，
∴1,−3．
（2） 过点 C 作直线 AB 的垂线，交线段 AB 的延长线于点 D，如图所示．
∵AB∥x 轴，且 AB=4，
∴ 点 B 的坐标为 m+2,4a+2m−5．
∵∠ABC=135∘，
∴ 设 BD=t，则 CD=t，
∴ 点 C 的坐标为 m+2+t,4a+2m−5−t．
∵ 点 C 在抛物线 y=ax−m2+2m−5 上，
∴4a+2m−5−t=a2+t2+2m−5，
整理，得：at2+4a+1t=0，
解得：t1=0（舍去），t2=−4a+1a．
（3） ∵△ABC 的面积为 2，
∴−8a+2a=2，
解得：a=−15，
∴ 抛物线的解析式为 y=−15x−m2+2m−5．
分三种情况考虑：
①当 m>2m−2，即 m<2 时，有 −152m−2−m2+2m−5=2，
整理，得：m2−14m+39=0，
解得：m1=7−10（舍去），m2=7+10（舍去）；
②当 2m−5≤m≤2m−2，即 2≤m≤5 时，有 2m−5=2，
解得：m=72；
③当 m<2m−5，即 m>5 时，有 −152m−5−m2+2m−5=2，
整理，得：m2−20m+60=0，
解得：m3=10−210（舍去），m4=10+210．
综上所述：m 的值为 72 或 10+210．