数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法达标测试

3-2-2技能训练基础巩固强化

一、选择题

1．若0＜t＜1，则不等式x2－(t＋)x＋1＜0的解集是(　　)

A．{x|＜x＜t}　　　　　 B．{x|x＞或x＜t}

C．{x|x＜或x＞t}   D．{x|t＜x＜}

2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)

A．－4≤a≤4   B．－4＜a＜4

C．a≤－4或a≥4   D．a＜－4或a＞4

3．若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是(　　)

A．m＜－2或m＞2   B．－2＜m＜2

C．m≠±2   D．1＜m＜3

4．若方程7x2－(k＋13)x＋k2－k－2＝0有两个不等实根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，则实数k的取值范围是(　　)

A．－2＜k＜－1

B．3＜k＜4

C．－2＜k＜4

D．－2＜k＜－1或3＜k＜4

5．(2011·河南汤阴县一中高二期中)设对任意实数x∈[－1,1]，不等式x2＋ax－3a<0总成立．则实数a的取值范围是(　　)

A．a>0   B．a>

C．a>   D．a>0或a<－12

6．a＞0，b＞0.不等式－b＜＜a的解集为(　　)

A．{x|x＜－或x＞}

B．{x|－＜x＜}

C．{x|x＜－或x＞}

D．{x|－＜x＜0或0＜x＜}

二、填空题

7．不等式＜1的解集是________．

8．若不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．

9．若关于x的不等式(a－x)(b－x)＞0的解集为{x|x＜a或x＞b}，则实数a，b的大小关系是________．

三、解答题

10．解下列关于x的不等式．

(1)x2－(a＋1)x＋a＞0；

(2)ax2－(a＋1)x＋1＞0(a≠0)；

(3)x2－(a＋1)x＋1＞0.

能力拓展提升

一、选择题

11．二次方程x2＋(a2＋1)x＋a－2＝0，有一个根比1大，另一个根比－1小，则a的取值范围是(　　)

A．－3<a<1   B．－2<a<0

C．－1<a<0   D．0<a<2

12．函数y＝的定义域为(　　)

A．[－4,1]   B．[－4,0)

C．(0,1]   D．[－4,0)∪(0,1]

13．已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2－5ax＋4a2≤0}，A∩B＝{x|3<x≤4}，则a的值为(　　)

A．1   B．4

C．1或4   D．3

14．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为(　　)

A．[－1,1]   B．[－2,2]

C．[－2,1]   D．[－1,2]

二、填空题

15．已知不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为{x|α＜x＜β}，其中0＜α＜β，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为________

16．若关于x的不等式x2－3kx－x＋2k2＋k<0的解集中只有一个整数1，则k的取值范围________．

三、解答题

17．为促进某品牌彩电的销售，厂家设计了两套降价方案．方案①先降价x%，再降价x%，(x＞0)；方案②一次性降价2x%，问哪套方案降价幅度大？

*18.解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0.

详解答案

1[答案]　D

[解析]　化为(x－t)(x－)＜0，

∵0＜t＜1，∴＞1＞t，∴t＜x＜，

2[答案]　A

[解析]　欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则△＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4.

3[答案]　A

[解析]　∵f(x)＝－x2＋mx－1有正值，

∴△＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.

4[答案]　D

[解析]　结合f(x)＝7x2－(k＋13)x＋k2－k－2的图象知：⇔⇔⇔

⇔－2＜k＜－1或3＜k＜4.

[点评]　注意结合数轴找不等式解集的交集．

5[答案]　B

[解析]　设f(x)＝x2＋ax－3a，则由条件知

，∴，∴a>.

6[答案]　A

[解析]　∵b＞0∴－b＜0，又a＞0，∴不等式－b＜＜a化为－b＜＜0或0＜＜a.∴x＜－或x＞.

∴选A.

7[答案]　{x＜－4或x＞}

[解析]　化为＞0，化为(x＋4)(3x－1)＞0，

∴x＜－4或x＞.

8[答案]　(5,7)

[解析]　不等式|3x－b|<4⇔－4<3x－b<4⇔<x<，若不等式的整数解只有1,2,3，则b应满足0≤<1且3<≤4，即4≤b<7且5<b≤8，

∴5<b<7.

9[答案]　a＜b

10[解析]　(1)变形为(x－a)(x－1)＞0，当a＞1时，x＞a或x＜1；当a＝1时，x∈R且x≠1；当a＜1时，x＞1或x＜a.

(2)变形为(ax－1)(x－1)＞0，令＝1得a＝1.

∴当a＝1时，x∈R且x≠1；当a＞1时，0＜＜1，∴x＜或x＞1，当0＜a＜1时，x＜1或x＞；当a＜0时，＜x＜1.

(3)△＝(a＋1)2－4＝a2＋2a－3≥0，∴a≤－3或a≥1.

∴当a＝1时，x∈R且x≠1；当a＝－3时，x∈R且x≠－1；

当a＜－3或a＞1时，x＜或x＞；

当－3＜a＜1时，x∈R.

[点评]　注意从以下三个方面讨论：

①二次项系数的正负；

②判别式△的符号；

③两根的大小(特别是a＜0时).

11[答案]　C

[解析]　f(x)＝x2＋(a2＋1)x＋a－2开口向上，由题设条件，∴，∴－1<a<0.

12[答案]　D

[解析]　要使函数有意义，则需，解得－4≤x≤1且x≠0，故定义域为[－4,0)∪(0,1]．

13[答案]　A

[解析]　A＝{x|x<－1或x>3}，∵A∩B＝{x|3<x≤4}，∴x＝4是方程x2－5ax＋4a2＝0的根，∴a2－5a＋4＝0，∴a＝1或4，当a＝1时，B＝{x|x2－5x＋4≤0}＝{x|1≤x≤4}，∴A∩B＝{x|3<x≤4}成立；当a＝4时，B＝{x|x2－20x＋64≤0}＝{x|4≤x≤16}，∴A∩B＝{x|4≤x≤16}与条件矛盾，∴a＝1.

14[答案]　A

[解析]　不等式f(x)≥x2化为

(1)或(2) .

解不等式组(1)得－1≤x≤0；

解不等式组(2)得0<x≤1.

因此原不等式的解集是[－1,1]，选A.

15[答案]　{x|x>或x<}

[解析]　∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}，∴a＜0且α，β是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，

∴α＋β＝－，αβ＝，∴b＝－a(α＋β)，c＝aαβ，

∴不等式cx2＋bx＋a＜0化为：

aαβx2－a(α＋β)x＋a＜0，

即：αβx2－(α＋β)x＋1＞0，

∴(αx－1)(βx－1)＞0，

∵0＜α＜β，∴＞＞0，∴x＜或x＞.

∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为{x|x＞或x＜}．

16[答案]　(0，]

[解析]　不等式化为x2－(3k＋1)x＋k(2k＋1)<0，

由(2k＋1)－k>0得k>－1.

∴当k>－1时， k<x<2k＋1，

当k＝－1时，不等式无解．

当k<－1时，2k＋1<x<k.

∵不等式的解集中含有整数1，

∴不等式的解为k<x<2k＋1，

∵不等式的解集中的整数只有1，

∴，∴0<k≤，

又k>－1，∴k的取值范围是(0，]．

17[解析]　设原价为1个单位，t＝x%，t∈(0,1)，

实行方案①后的价格为(1－t)2，

实行方案②后的价格为(1－2t)，

(1－t)2－(1－2t)＝t2＞0，即(1－t)2＞(1－2t)，

所以方案②降价幅度大．

18[解析]　(1)a＝0时，原不等式化为x－2＜0，∴x＜2.∴原不等式解集为{x|x＜2}．

(2)当a＜0时，原不等式化为(x－2)·(x－)＜0.方程(x－2)(x－)＝0的两根为2，，又2＞，∴原不等式解集为{x|＜x＜2}．

(3)当a＞0时，原不等式化为(x－2)·(x－)＞0.方程(x－2)(x－)＝0的两根为2，.

当0＜a＜1时＞2，原不等式的解集为

{x|x＞或x＜2}．

当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，解集为{x∈R|x≠2}．

当a＞1时，2＞＞0，原不等式解集为

{x|x＞2或x＜}．

综上所述，不等式解集为：a＝0时，{x∈R|x＜2}；a＝1时，{x∈R|x≠2}；a＜0时，{x|＜x＜2}；0＜a＜1时，{x|x＞或x＜2}；a＞1时，{x|x＞2或x＜}．