《任意角和弧度制-弧度制及其应用》文字素材4（人教A版必修4）

弧度制及其应用

一、要点梳理

1．弧度制

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记做，读作弧度。

  2．弧度数

  一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。如果半径为的圆的圆心角所对弧的长为，那么，角的弧度数的绝对值是，这里，的正负由角的终边的旋转方向决定。

  3．角度与弧度之间的转化

  （1）将角度化为弧度

  ；

  。

  （2）将弧度化为角度

  ；；

  1。

注意：“弧度制”与“角度制”是度量角的两种制度。引进了弧度制，使得每一个角都对应一个实数（即这个角的弧度数），反过来每一个实数都对应一个弧度数（角的弧度数等于这个实数），从而角的集合与实数集之间建立了一一对应关系。因此角的几何表示可以在坐标系中以终边位置描述，也可以用数轴上的点描述（即其弧度数对应实数所对应的点）。

  3．弧长公式和扇形面积公式

（1）在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为

  。

 （2）在角度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为

  。

注意：①用公式求圆心角时，应注意其结果是圆心角的弧度数的绝对值，具体应用时，既要注意其大小，又要注意其正负；

②使用弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有诸多优越性，但是如果已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这样可避免计算过程或结果出错。

二、范例剖析

例1  将表示成，的形式，且。

分析：在书写角时，“弧度”两个字常省略不写，但用“角度”表示时，“度”或“0”不能省略。

解析：∵，又，

∴。

评注：要记住，如果能记住特殊角，可直接写出结果。

例2  已知，且与终边相同，求。

分析：利用终边相同的角先表示出与的关系，然后求解。

解析：由已知有，，

∴，∴。

∵，∴当、2、3、4、5时，、、、、为所求。

评注：在一定的约束条件下，求与角终边相同的角，一般地，首先将这样的角表示为的形式，然后在约束条件下确定值，进而求适合条件的角。

  例3  已知扇形的圆心角为，半径长为6。

  （1）求的弧长；

  （2）求弓形的面积。

  分析：将圆心角用弧度表示，然后利用弧长公式、扇形面积公式、三角形面积公式可得解。

  解析：（1）∵，

  ∴的弧长为。

  （2）∵，

  ，

  ∴。

  评注：记准、记熟弧长公式和扇形面积公式是解决该类问题的关键。

  三、知能展示

  1．若四边形的四个内角之比分别为1：3：5：6，则这四个内角的弧度数依次为；

  2．在1点15分时，时针与分针所成的最小正角是多少弧度？

  3．已知一扇形的圆心角为，半径等于，求扇形的面积；

  4．已知一扇形的周长为，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

  5．用长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

  参考答案：

1．，，，；

2．；

3．

4．半径时，扇形的面积最大，最大值为，此时圆心角为。

5．当扇形半径为，扇形的圆心角为2弧度时，扇形的面积最大，最大面积为。