高中数学人教版新课标A必修41.1 任意角和弧度制同步练习题

第一章　三角函数

1.1　任意角和弧度制

1.1.1　任意角

基础过关练

题组一　对任意角的概念的理解

1.下列说法正确的个数是(　　)

①大于等于0°,小于等于90°的角是锐角;

②钝角一定大于第一象限的角;

③始边与终边重合的角的度数为0°.

A.0 B.1 C.2 D.3

2.时钟走了3小时20分,则时针转过的角度为　　　,分针转过的角度为　　　　. 

3.如图,射线OA绕顶点O按逆时针方向旋转45°到OB位置,并在此基础上按顺时针方向旋转120°到达OC位置,则∠AOC=　　　　. 

题组二　终边相同的角

4.(2019山东乐陵一中一轮检测)如果角α=-21°,那么与角α终边相同的角可以表示为(　　)

A.{β|β=k·360°+21°,k∈Z}

B.{β|β=k·360°-21°,k∈Z}

C.{β|β=k·180°+21°,k∈Z}

D.{β|β=k·180°-21°,k∈Z}

5.(2019湖南娄底高一下期末)下列各角中与225°角终边相同的角是(　　)

A.585° B.315° C.135° D.45°

6.与-2020°角终边相同的最小正角是　　　　. 

题组三　角所在象限的判断

7.(2019黑龙江鹤岗一中高一期末)下列叙述正确的是(　　)

A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角

B.钝角是第二象限角

C.第二象限角比第一象限角大

D.不相等的角终边一定不同

8.(2019湖北天门、潜江高一月考)下列角的终边位于第二象限的是(　　)

A.420° B.860° C.1060° D.1260°

9.(2019陕西延安黄陵中学高一下期末)若角α=45°+k·180°,k∈Z,则角α的终边在(　　)

A.第一或第三象限 B.第一或第二象限

C.第二或第四象限 D.第三或第四象限

10.(2019福建厦门双十中学高一下月考)若α是第一象限角,则下列各角的终边位于第四象限的是(　　)

A.90°-α B.90°+α

C.360°-α D.180°+α

11.如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁同时从点A(1,0)开始按逆时针方向匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<90°),如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点,并且在第2秒时均位于第二象限,求α、β的值.

题组四　区间(域)角与角的对称问题

12.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为(　　)

A.α+β=k·360°,k∈Z

B.α+β=k·360°+180°,k∈Z

C.α-β=k·360°+180°,k∈Z

D.α-β=k·360°,k∈Z

13.若角α的终边在下图中阴影所表示的范围内(含边界),则角α组成的集合为　. 

答案全解全析

第一章　三角函数

1.1　任意角和弧度制

1.1.1　任意角

基础过关练

1.A　①错,0°角和90°角不是锐角;②错,390°角是第一象限的角,大于任何钝角α(90°<α<180°);③错,始边与终边重合的角的度数是k·360°(k∈Z).故选A.

2.答案　-100°;-1 200°

解析　从时针和分针每小时或每分钟转过的角度切入,时针每小时转30°,分针每小时转360°,每分钟转6°.时针、分针都按顺时针方向旋转,故转过的角度数都是负的,3小时20分即3小时,故时针转过的角度为3×(-30°)=-100°;分针转过的角度为3×(-360°)=-1 200°.

3.答案　-75°

解析　由任意角的定义可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+(-120°)=-75°.

4.B　终边相同的角相差360°的整数倍,故与角α=-21°终边相同的角可以表示为{β|β=k·360°-21°,k∈Z}.

5.A　因为225°=585°-360°,所以585°角与225°角终边相同.故选A.

6.答案　140°

解析　-2 020°=-6×360°+140°,∴与-2 020°角终边相同的最小正角是140°.

7.B　直角不属于任何一个象限,故A不正确;钝角的度数大于90°且小于180°,是第二象限角,故B正确;由于120°角是第二象限角,390°角是第一象限角,120°<390°,故C不正确;20°角与380°角不相等,但终边相同,故D不正确.故选B.

8.B　420°=360°+60°,终边位于第一象限;860°=2×360°+140°,终边位于第二象限;1 060°=2×360°+340°,终边位于第四象限;1 260°=3×360°+180°,终边位于x轴的非正半轴上,故选B.

9.A　当k=2m+1(m∈Z)时,α=45°+(2m+1)·180°=2m·180°+225°=m·360°+225°,故α为第三象限角;当k=2m(m∈Z)时,α=45°+2m·180°=m·360°+45°,故α为第一象限角.所以角α的终边在第一或第三象限,故选A.

10.C　若α是第一象限角,则360°·k<α<360°·k+90°(k∈Z),-360°·k-90°<-α<-360°·k(k∈Z),所以-360°·k<90°-α<-360°·k+90°(k∈Z),故角90°-α的终边位于第一象限;360°·k+90°<90°+α<360°·k+180°(k∈Z),故角90°+α的终边位于第二象限;-360°·k+270°<360°-α<-360°·k+360°(k∈Z),故角360°-α的终边位于第四象限;360°·k+180°<180°+α<360°·k+270°(k∈Z),故角180°+α的终边位于第三象限,故选C.

11.解析　根据题意可知角14α,14β均为360°角的整数倍,故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z.

∵两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限,

且0°<α<β<90°,

∴45°<α=·180°<90°,

45°<β=·180°<90°,

∴<m<,<n<.

∵α<β,∴m<n,又m,n∈Z,

∴m=2,n=3,

∴α=,β=.

12.B　解法一(特殊值法):令α=30°,β=150°,

则α+β=180°.故选B.

解法二(直接法):∵角α与角β的终边关于y轴对称,∴β=180°-α+k·360°,k∈Z,即α+β=k·360°+180°,k∈Z.故选B.

13.答案　{α|k·360°+60°≤α≤k·360°+150°,k∈Z}

解析　在0°~360°范围内,终边在阴影范围内的角是60°≤β≤150°,故满足条件的角α的集合为{α|k·360°+60°≤α≤k·360°+150°,k∈Z}.