《复数代数形式的四则运算》素材4（人教A版选修2-2）

复数中的几个结论及共应用

数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法则，是同学们不易弄清的问题，以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.

　　一、中点公式：A点对应的复数为，点对应的复数为，点为两点的中点，则点对应的复数为，即．

　　例1　四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别为，求点对应的复数．

　　解：由已知应用中点公式可得的中点对应的复数为，所以点对应的复数为．

　　二、根与系数的关系：若实系数方程的两复根为，，则有，．

　　推论：若实系数方程有两虚数根，则这两个虚数根共轭．

　　例2　方程的一个根为，求实数，的值．

　　解：已知实系数方程的一个根为，由推论知方程的另一根为，由根与系数的关系可知，．

　　三、相关运算性质：①为实数，为纯虚数；②对任意复数有；③；④，特别地有；⑤；⑥．

　　例3　设，且，求证为实数．

　　证明：由条件可知，则，

　　所以，，

　　所以为实数．

　　四、两则几何意义：①的几何意义为点到点的距离；②中所对应的点为以复数所对应的点为圆心，半径为的圆上的点．

　　例4　若，且，则的最小值为　　　　　．

解：即，对应的点为到点的距离为定值1的所有的点，即以为圆心，1为半径的圆上的点．即，为圆上的点与点之间的距离减去圆的半径，可得结果为3．

复数与平行四边形家族

菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化的途径．在求解复数问题时，要善于考察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的结构特征，往往能获得简捷明快、生动活泼的解决方法．下面略举几例，以供参考．

　　一、复数式与长方形的转化

　　例1　复数，满足，，证明：．

　　解析：设复数，在复平面上对应的点为，，由知，以，为邻边的平行四边形为矩形，，故可设，所以．

例2             已知复数，满足，，且，求与的值．

　　解析：设复数，在复平面上对应的点为，，由于，故，

　　故以，为邻边的平行四边形是矩形，从而，则；．

二、复数式与正方形的转化

　　例3　已知复数满足，且，求证：．

　　证明：设复数在复平面上对应的点为，，由条件知，以，为邻边的平行四边形为正方形，而在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以．

　　点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义，复数加法几何意义的运用是本题考查的重点．

　　三、复数式与菱形的转化

　　例4　已知，，，求．

　　解析：设复数，在复平面上对应的点为，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，，，考虑到时，；时，无意义，故使为纯虚数的充要条件是，且，．

　　复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提．通过本文我们发现深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活．