数学必修41.3 三角函数的诱导公式课堂检测

1.3 第1课时 三角函数的诱导公式1

一、选择题

1．(07·湖北)tan690°的值为(　　)

A．－　　　　　 B.

C.      D．－

[答案]　A

[解析]　tan690°＝tan(－30°＋2×360°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－，选A.

2．已知f(x)＝cos，则下列等式成立的是(　　)

A．f(2π－x)＝f(x)   B．f(2π＋x)＝f(x)

C．f(－x)＝－f(x)   D．f(－x)＝f(x)

[答案]　D

[解析]　∵f(－x)＝cos＝cos＝f(x)，∴选D.

3．函数f(x)＝cos(x∈Z)的值域为(　　)

A. 

B.

C. 

D.

[答案]　B

[解析]　对x依次赋值0,1,2,3,4，…，很容易选出．

4．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是(　　)

A．－　　　  B.　 　　

C．±　　　   D.

[答案]　B

[解析]　∵sin(π＋α)＝，∴sinα＝－，

又α是第四象限角，∴cosα＝＝，

∴cos(α－2π)＝cosα＝.

5．已知sin＝m，则cos的值等于(　　)

A．m      B．－m

C.     D．－

[答案]　C

[解析]　∵sin＝sin＝sinπ，

∴sinπ＝m，且π∈，∴cos＝.

6．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2009)＝5，则f(2010)等于(　　)

A．4　　　　B．3　　　　C．－5　 　 　D．5

[答案]　C

[解析]　∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＝－asinα－bcosβ＝5，

∴asinα＋bcosβ＝－5.

∴f(2010)＝asinα＋bcosβ＝－5.

7．(2010·全国卷Ⅰ理，2)设cos(－80°)＝k，那么tan100°＝(　　)

A.     B．－

C.     D．－

[答案]　B

[解析]　因为sin80°＝

＝＝，

所以tan100°＝－tan80°＝－＝－.

8．设tan(5π＋α)＝m(α≠kπ＋，k∈Z)，则

的值为(　　)

A.　　   B.　　

C．－1　　   D．1

[答案]　A

[解析]　∵tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m.

原式＝＝＝＝.

二、填空题

9．若sin＝，则sin＝________.

[答案]　－

[解析]　sin＝sin

＝－sin＝－.

10．若|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，则角α的取值范围是________．

[答案]　[2kπ－π，2kπ]，(k∈Z)

[解析]　∵|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，

∴|sinα|＝－sinα，∴sinα≤0，

∴2kπ－π≤α≤2kπ，k∈Z.

11．sin，cos，tan，从小到大的顺序是________．

[答案]　cos<sin<tan

[解析]　∵cos＝cos＝－cos，

tan＝tan＝tan>sin>0，

∴cos<sin<tan.

12．化简：

(1)＝________；

(2)sin2(－α)－tan(360°－α)tan(－α)－sin(180°－α)cos(360°－α)tan(180°＋α)＝________；

(3)＝________.

[答案]　(1)－tanα　(2)－tan2α　(3)tan2α

[解析]　(1)原式＝

＝－tanα.

(2)原式＝sin2α－(－tanα)·(－tanα)－sinα·cosα·tanα＝－tan2α.

(3)原式＝＝tan2α.

三、解答题

13．已知tan(π＋α)＝－，求下列各式的值．

(1)；

(2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．

[解析]　tan(π＋α)＝－⇒tanα＝－，

(1)原式＝

＝＝

＝＝－.

(2)原式＝sin(－6π＋α－π)·cos(4π＋π＋α)

＝sin(α－π)·cos(π＋α)＝－sinα·(－cosα)

＝sinα·cosα＝＝＝－.

14．化简.

[解析]　原式＝

＝－tanα.

15．已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．

[解析]　∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]

＝－cos(75°＋α)＝－，

sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)]

＝－sin(75°＋α)，

∵cos(75°＋α)＝>0，

又∵α为第三象限角，

∴sin(75°＋α)＝－

＝－＝－，

∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－＋.

16．化简：

·.

[分析]　“脱”去根号是我们的目标，这就希望根号下能成为完全平方式，注意到同角三角函数的平方关系式，利用分式的性质可以达到目标．

[解析]　原式＝·

＝

＝·

＝

[点评]　注意变形的技巧，对于.我们可以分子、分母同乘以1＋sinα，也可以分子、分母同乘以1－sinα，但分母变为“单项式”更方便些，故选择同乘以1＋sinα.

17．已知sinθ、cosθ是方程x2－(－1)x＋m＝0的两根．

(1)求m的值；

(2)求＋的值．

[解析]　(1)由韦达定理可得

由①得1＋2sinθ·cosθ＝4－2.

将②代入得m＝－，满足Δ＝(－1)2－4m≥0，

故所求m的值为－.

(2)先化简：＋＝＋

＝＋＝

＝cosθ＋sinθ＝－1.