高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式第2课时学案设计

第2课时　基本不等式的应用

1．复习巩固基本不等式．

2．能利用基本不等式求函数的最值，并会解决有关的实际应用问题．

1．重要不等式a2＋b2≥2ab

(1)不等式的证明：课本应用了图形间的面积关系推导出了a2＋b2≥______，也可用分析法证明如下：

要证明a2＋b2≥2ab，只要证明a2＋b2－2ab≥0，即证明(a－b)2≥0，这显然对a，b∈R成立，所以a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．

(2)关于不等式a2＋b2≥2ab的几点说明：

①不等式中的a，b的取值是____实数，它们既可以是具体的某个数，也可以是一个代数式．

②公式中等号成立的条件是______，如果a，b不能相等，则a2＋b2≥2ab中的等号不能成立．

③不等式a2＋b2≥2ab可以变形为ab≤，4ab≤a2＋b2＋2ab,2(a2＋b2)≥(a＋b)2等．

【做一做1】 不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)

A．a＝±1  B．a＝1

C．a＝－1  D．a＝0

2．基本不等式

如果a，b为正实数，那么≥____，当且仅当a＝b时，式中等号成立．

我们应该从以下几个方面来理解基本不等式：

(1)基本不等式反映了两个正数的和与积之间的关系，对它的准确理解应抓住两点：一是其成立的条件是a，b都是____；二是“当且仅当_____”时等号成立．

(2)它还可以描述为：

两个正实数的算术平均值大于或等于它的____平均值．

(3)基本不等式是非常重要又极为有用的不等式，它与不等式的性质构成了本章的公理体系，奠定了不等式的理论基础．

【做一做2】 已知0＜α＜π，则2sin α＋的最小值是__________．

答案：1．(1)2ab　(2)①任意　②a＝b

【做一做1】 B

2.　(1)正数　a＝b　(2)几何　

【做一做2】 2

利用基本不等式解应用题的步骤

剖析：(1)审清题意，读懂题；

(2)恰当地设未知数，通常情况下把欲求最值的变量看成函数y；

(3)建立数学模型，即从实际问题中抽象出函数的关系式，并指明函数的定义域，把实际问题转化为求函数最值的问题；

(4)在函数的定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；

(5)根据实际问题写出答案．

不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．若取不到，则必须利用函数的单调性去求函数的最值．

题型一  实际应用题

【例题1】 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)

分析：转化为求函数的最小值．

反思：在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：

①先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；

②建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；

③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

④根据实际背景写出答案．

题型二  易错辨析

【例题2】 求函数y＝的最小值．

错解：y＝＝＋

＝＋≥2，故y有最小值2.

错因分析：错解中在用基本不等式求最值时，没考虑到定理成立的条件，实际上不论x取何值，总有≠.因此本题不能用基本不等式求解．

反思：利用基本不等式求函数的最值时，若出现等号不成立时，则可借助于函数的单调性来解决．

答案：【例题1】 解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，

则f(x)＝(560＋48x)＋

＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)．

所以f(x)＝560＋48x＋

≥560＋2＝2 000，

当且仅当48x＝，

即x＝15时取等号．

因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000，

即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．

【例题2】 正解：设t＝，则y＝t＋，t≥.

可以证明y＝t＋在[，＋∞)上为增函数，

则y≥＋＝，

即ymin＝，此时t＝，则x＝0.

1函数y＝3x＋32－x的最小值为__________．

2两直角边之和为4的直角三角形面积的最大值等于__________．

3如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________ dm2.

4函数y＝(x≥5)的最小值为__________．

5已知某企业原有员工2 000人，每人每年可为企业创利3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗员工人数x不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利万元；当待岗员工人数x超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？

答案：1．6　2.2　3.56　4.

5．解：设重组后，该企业年利润为y万元．

当待岗人员不超过1%时，

由＞0，x≤2 000×1%＝20，

得0＜x≤20(x∈N)，

则y＝(2 000－x)

＝；

当待岗人员超过1%且不超过5%时，

由20＜x≤2 000×5%，得20＜x≤100(x∈N)，

则y＝(2 000－x)(3.5＋0.9)－0.5x

＝－4.9x＋8 800.

故y＝

当0＜x≤20，且x∈N时，

有，

则y＝≤－5×32＋9 000.64＝8 840.64，

当且仅当x＝，即x＝16时取等号，此时y取得最大值8 840.64；

当20＜x≤100，且x∈N时，函数y＝－4.9x＋8 800为减函数．

所以y＜－4.9×20＋8 800＝8 702.

又8 840.64＞8 702，

故当x＝16时，y有最大值8 840.64.

即要使企业年利润最大，应安排16名员工待岗．