人教版新课标A第三章 不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性第2课时导学案

第2课时　线性规划的实际应用

1．复习巩固线性规划问题．

2．能利用线性规划解决实际应用问题．

解线性规划问题的一般步骤

(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；

(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；

(3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值；

(4)答：给出正确答案．

一般地，对目标函数z＝ax＋by，若b＞0，则纵截距与z同号，因此，纵截距最大时，z也最大；若b＜0，则纵截距与z异号，因此，纵截距最大时，z反而最小．

【做一做1－1】 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元．现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则完成这项工程的线性约束条件是(　　)

A.      B.

C.      D.

【做一做1－2】 有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送一批货物，设需载重6吨的汽车x辆，载重4吨的汽车y辆，则完成这项运输任务的线性目标函数为(　　)

A．z＝6x＋4y        B．z＝5x＋4y

C．z＝x＋y         D．z＝4x＋5y

【做一做1－3】 设z＝2y－2x，其中x，y满足条件则z的最小值为__________．

答案：【做一做1－1】 B

【做一做1－2】 A

【做一做1－3】 0

解答线性规划应用题应注意的问题

剖析：(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；

(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；

(3)结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等；

(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；

(5)作图对解决线性规划问题至关重要，其关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范．但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解．

题型一  线性规划的实际应用

【例题1】 某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各产品生产量不少于15 t．已知生产甲产品1 t需煤9 t，电力4 kW·h，劳力3个；生产乙产品1 t需煤4 t，电力5 kW·h，劳力10个；甲产品每1 t利润7万元，乙产品每1 t利润12万元；但每天用煤不超过300 t，电力不超过200 kW·h，劳力只有300个．问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？

分析：将已知数据列成表，如下表所示：

设出未知量，根据资源限额建立约束条件，由利润关系建立目标函数．

反思：本题是线性规划的实际问题，基本类型为：给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大．解决这类问题的一般方法是：首先根据题意列出线性约束条件，建立目标函数；然后由约束条件画出可行域；最后在一组平行直线中，找出在可行域内到原点距离最远的直线，即可得到最优解．

题型二  易错辨析

【例题2】 某实验室需购某种化工原料106 kg，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35 kg，价格为140元；另一种是每袋24 kg，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费多少元．

错解：设分别购买两种原料x袋，y袋，

由题意可得

花费z＝140x＋120y，画出可行域如图所示．

画出直线140x＋120y＝0并平移可得点A为最优解．解得A，故当x＝，y＝0时，

zmin＝140×＋120×0＝424(元)．

错因分析：由于所求为购买物品的袋数，则x，y均为整数，故上述解法不正确．

反思：当求到的最优解不是整点最优解时，就需要对最优解进行调整，调整的基本思路就是：先求非整点最优解，再借助不定方程的知识调整最优解，最后筛选出整点最优解．确定整点最优解的方法有三种：平移直线法、特值验证法、调整优值法．

(1)平移直线法：先在可行域内打网络，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标便是整点最优解．

(2)特值验证法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得到最优解．

(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出最优解．

一般地，先考虑平移直线法和特值验证法，如果这两种方法都有困难时，再用调整优值法．

答案：【例题1】 解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x t，y t，

利润总额为z万元，那么

目标函数为z＝7x＋12y.

作出以上不等式组的可行域，如图中的阴影部分所示．

目标函数为z＝7x＋12y，

整理得y＝－x＋，

得到斜率为－，在y轴上截距为，且随z变化的一组平行直线．

由图可以得到，当直线经过可行域上点A时，截距最大，即z最大，解方程组

得点A的坐标为(20,24)，

所以zmax＝7×20＋12×24＝428(万元)，

即生产甲、乙两种产品分别为20 t,24 t时，利润总额最大．

【例题2】 正解：设分别购买两种原料x袋，y袋，

由题意得

花费z＝140x＋120y，画出可行域如图中的阴影部分所示．

画出直线140x＋120y＝0并平移，先经过可行域内A.

由于x，y均为整数，则A不是最优解．

在可行域内，点A附近的整数点有B(4,0)，C(3,1)，D(2,2)，E(1,3)，将其分别代入线性目标函数z＝140x＋120y，可得zB＝560，zC＝540，zD＝520，zE＝500，

故当x＝1，y＝3时，zmin＝500.

因此购买35 kg包装的1袋，24 kg包装的3袋，可使花费最少，最少花费为500元．

1 (2011·山东济南二模)已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为(　　)

A．－3     B.     C．－5     D．4

2(2011·北京丰台二模)已知签字笔2元一支，练习本1元一本．某学生欲购买的签字笔不少于3支，练习本不少于5本，但买签字笔和练习本的总数量不超过10，则支出的钱数最多是__________元．

3某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为__________元．

4某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润是多少？

5有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；或截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根．现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？

答案：1．D　2.15　3.2 300

4．解：设投资项目甲x万元，投资项目乙y万元，可获得利润为z万元，

则目标函数为z＝0.4x＋0. 6y.

由得A(24,36)．

由图知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．

故ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)，

即获得的最大利润为31.2万元．

5．解：设按第一种切割方式需钢条x根，按第二种切割方式需钢条y根，

根据题意，得约束条件

目标函数是z＝x＋y.

画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．

由解得

此时z＝11.4，但x，y，z都应当为正整数，

所以点(3.6,7.8)不是最优解．

经过可行域内的整点且使z最小的直线是y＝－x＋12，

即z＝12，此时满足该约束条件的(x，y)有两个：(4,8)或(3,9)，它们都是最优解．即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，可满足要求．