数学2.3 等差数列的前n项和导学案

湖北省监利县第一中学高一数学 等差数列的前n项和学案

学习目标

1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；

2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.

学习过程

一、课前准备（预习教材P42 ~ P44，找出疑惑之处）

复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？

复习2：等差数列有哪些性质？

二、新课导学

探究一：等差数列的前n项和：

创设情境：坐落于印度古都阿格的泰姬陵，是世界七大奇迹之一。传说陵寝中有一个三角形图案，

用相同大小的圆宝石镶饰，共有100层，你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗？

问题：

1. 计算1+2+…+100=?                 2. 如何求1+2+…+n=?

法1：                                 法2

新知：  数列的前n项的和：

一般地，称            为数列的前n项的和，用表示，即                  .

探究二：等差数列的前n项和公式：

① 如何求首项为，第n项为的等差数列的前n项的和?

② 如何求首项为，公差为d的等差数列的前n项的和?

动手试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和..

⑴           ⑵.

小结：

1. 用，必须具备三个条件：            .

2. 用，必须已知三个条件：           .

※典例

例1：我为了参加即将举行的校春季运动会的5000米长跑为此制定了一个7天的训练计划：问这7天一共将跑多少米？

教材

小结：解实际问题的注意：

① 从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；

② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解.

例2 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和公式吗？

变式：等差数列中，已知，，，求n.

小结：等差数列前n项和公式就是一个关于的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.

※ 动手试试

练1.一个凸多边形内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n为（    ）.   A. 12     B. 16     C. 9      D. 16或9

三、总结提升

※ 学习小结  1. 等差数列前n项和公式的两种结构形式；2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；   3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.

※ 知识拓展   1. 若数列的前n项的和（A，A、B是与n无关的常数），则数列是等差数列.

※ 当堂检测

1. 在等差数列中，，那么（    ）.

A. 12          B. 24            C. 36          D. 48

2. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（　　）.

A．5880　   　B．5684　     　C．4877　　   D．4566

3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于(　 　)

A．100    B．101           C．200        D．201

4．已知数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10等于(　　)

A．－1    B．－11          C．－13        D．－15

5. 在等差数列中，，，则        .

更上一层楼

1. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数n为（    ）

A. 24       B. 26        C. 27        D. 28

2. 有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.

§2.3 等差数列的前n项和(2)

学习目标

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；

2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；

3. 会利用等差数列通项公式与前 n项和的公式研究的最大（小）值.

学习过程

一、课前准备（预习教材P45 ~ P46，找出疑惑之处）

复习1：等差数列{}中，已知，，求和.

复习2：在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N*，其中a、b为常数，则ab＝________.

二、新课导学

探究一：等差数列的前n项和公式的结构形式：

问题：如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？

※ 典型例题

例1已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

变式：已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.

动手试试：已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项公式an；     (2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c的值．

小结：数列通项和前n项和关系为  =，由此可由求.

探究二：等差数列中的最值问题：

例2 等差数列{}中，，①从第几项起开始有  ②求的最大值。

变式：等差数列{}中，，则当取最大值时的值为（     ）

A. 16         B.8           C.9           D.10

例3 已知等差数列①求；②前几项和为？③求最大值，并找出相应的n值.

※ 动手试试

① 数列{}中，，问前多少项和最大？

② 等差数列{}中，＝－15，公差d＝3，求数列{}的前n项和的最小值.

③等差数列{}中，,问前多少项和最大？

小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.

（1）利用: 当>0，d<0，前n项和有最      值，可由≥0，且≤0，求得n的值；当<0，d>0，前n项和有最     值，可由≤0，且≥0，求得n的值

（2）利用的图像特征：由，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n的值.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 等差数列前项和公式的形式

2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法.

※ 当堂检测

1. 下列数列是等差数列的是（    ）.

A.        B.       C.     D.

2. 等差数列{}中，已知，那么（    ）.

A. 3          B. 4          C. 6           D. 12  

3. 在小于100的正整数中共有       个数被7除余2，这些数的和为         .

4. 在等差数列中，公差d＝，，则        .

5.设等差数列{}，，则下列结论错误的是（     ）

A.        B.          C.         D. 均为的最大值

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1. 若数列{}是公差为d的等差数列，求证也是等差数列.

变式  若，求数列的前n项和.

§2.3 等差数列的前n项和(3)

一、复习回顾

复习1：等差数列的定义、通项公式、性质

复习2：等差数列前项和公式及推导

二、提出问题

例1. 有一等差数列{}共有2n项，它的奇数项与偶数项之和分别是24和30，若最后一项与第一项之差是10.5，求此数列的和项数。

分析：①奇数项与偶数项项数分别是      ，       。

②奇数项与偶数项之和有什么关系？

引申：若一等差数列{}共有2n+1项，它的奇数项的和与偶数项的和之比是多少？

小结：

等差数列奇数项与偶数项的性质如下：

1°若项数为偶数2n，则 ；；

2°若项数为奇数2n＋1，则 ； ；； .

动手试试：已知某等差数列共有10项，其奇数项之和与偶数项之和分别是15和30，则公差为多少？

例2. 有两个等差数列，且满足：，求.

分析：①  与各代表什么意义？

②  中的项数5与中的有什么关系？

动手试试：等差数列的前项和分别是，且，求.

例3. . 已知数列是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，设也成等差数列，公差为          .？

动手试试：等差数列{}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（    ）.

  A. 70       B. 130         C. 140        D. 170

※ 当堂检测

1. 已知等差数列的项数n为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比是           （    ）

A、   B、   C、   D、

2. 一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为                  （    ）

A、8    B、7    C、6    D、5

3. 设Sn是等差数列的前n项和，若，则等于                    （    ）

A、1    B、－1    C、2    D、

4. 一个等差数的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32：27，则公差d等于        

5. 在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n的值

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1. 已知等差数列中，S3=21, S6=24，求数列的前n项和Tn.