高中数学人教版新课标B选修1-11.3.1推出与充分条件、必要条件一课一练

阶段性测试题一(第一章基本知能检测)

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列语句中，不表示命题的一个是(　　)

A．3>8　　　　　　　　　 B．0是自然数

C．杭州是省会城市     D．他去哪儿

[答案]　D

[解析]　选项D不涉及真假．

2．下列命题是真命题的为(　　)

A．若＝，则x＝y     B．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则＝    D．若x<y，则x2<y2

[答案]　A

[解析]　判断命题的真假，根据选项容易选出A.

3．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题和逆否命题中(　　)

A．都真       B．都假

C．否命题真      D．逆否命题真

[答案]　D

[解析]　原命题与其逆否命题同真假，原命题真，故选D.

4．命题“π≥3.14”使用的逻辑联结词的情况是(　　)

A．没有使用逻辑联结词

B．使用了逻辑联结词“且”

C．使用了逻辑联结词“或”

D．使用了逻辑联结词“非”

[答案]　C

[解析]　“π≥3.14”的意思为：

“π>3.14或π＝3.14”．故选C.

5．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则¬p是¬q的(　　)

A．充分但不必要条件

B．必要但不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　¬p：－1≤x≤1，¬q：－2≤x≤1，

¬p⇒¬q，而¬q⇒/ ¬p.

6．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题(　　)

A．是真命题      B．是假命题

C．不一定是真命题     D．不一定是假命题

[答案]　A

[解析]　一个命题的逆命题与否命题真值相同．

7．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

[解析]　∵NM，∴若a∈N，则a∈M，

当a＝时，a∈M，但a∉N，故选B.

8．a＝3是直线ax＋2y＋3a＝0和直线3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合的(　　)

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既非充分也非必要条件

[答案]　C

[解析]　当直线ax＋2y＋3a＝0和直线3x＋(a－1)y＝a－7平行时，有a(a－1)＝6，解得a＝3或a＝－2.当a＝－2时，两直线重合．

9．下列判断不正确的是(　　)

A．命题“若p则q”与“若¬q则¬p”互为逆否命题

B．“am2<bm2”是“a<b”的充要条件

C．“矩形的两条对角线相等”的否定为假

D．命题“∅{1,2}或4∈{1,2}”为真

[答案]　B

[解析]　由am2<bm2⇒a<b，但a<b⇒/ am2<bm2.

例如：m＝0时，故选B.

10．如果命题“¬(p或q)”为假命题，则(　　)

A．p、q均为真命题

B．p、q均为假命题

C．p、q中至少有一个真命题

D．p、q中至多有一个真命题

[答案]　C

[解析]　“¬(p或q)”为假，则“p或q”为真，故p、q中至少有一个为真．

11．“>”是“|x|<|y|”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　|x|<|y|⇔x2<y2，>⇔－>0

⇔>0⇔y2－x2>0⇔x2<y2.

当x2＝0，y2≠0时，x2<y2成立，但无意义，故选A.

12．“a＝”是“对任意的正数x,2x＋≥1”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　a＝⇒2x＋

＝2x＋≥2＝1.

另一方面，对任意正数x,2x＋≥1，

只要2x＋≥2＝2≥1⇒a≥，所以选A.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)

13．命题“如果ab不为零，则a，b都不为零”的逆否命题是________．

[答案]　如果a，b至少有一个为零，则ab为零

[解析]　将原命题的结论和条件进行“换位”及“换质”，即得其逆命题．

14．用“p∨q”“p∧q”“¬q”填空．

命题“－x2＋2≤2”是________形式，命题“奇数的平方不是偶数”是________形式．

[答案]　“p∨q”　“¬p”

15．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若¬p是¬q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________．

[答案]　0≤a≤

[解析]　命题p：|4x－3|≤1⇔≤x≤1；

命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0⇔a≤x≤a＋1.

∵¬p是¬q的必要而不充分条件，

∴p是q的充分而不必要条件，

则有，∴0≤a≤.

16．已知：①命题“如果xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②命题“所有模相等的向量相等”的否定；

③命题“如果m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；

④命题“如果A∩B＝A，则AB”的逆否命题．

其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．

[答案]　①②③

[解析]　①逆命题：若x，y互为倒数，则xy＝1，是真命题．

②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题．

如，a＝(1,1)，b＝(－1,1)，有|a|＝|b|＝，但a≠b.

③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0”是真命题．这是因为当m<0时Δ＝(－2)2－4m＝4－4m>0恒成立，故方程有根，所以其逆否命题也是真命题．

④若A∩B＝A，则A⊆B.故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题．

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

[解析]　逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0；真命题．

否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1；真命题．

逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0；真命题．

18．(本题满分12分)已知命题p{x|1－c<x<1＋c，c>0}，命题q(x－3)2<16，且p是q的充分而不必要条件．求c的取值范围．

[解析]　命题p对应的集合A＝{x|1－c<x<1＋c，c>0}，由(x－3)2<16可解得命题q对应的集合B＝{x|－1<x<7}，∵p是q的充分而不必要条件，∴AB，∴，

解得：0<c≤2，经检验知c＝2也符合题意，所以所求c的取值范围为0<c≤2.

19．(本题满分12分)已知命题p：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；命题q：关于x的方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，已知命题p和q中，一个为真命题，一个为假命题，求m的取值范围．

[解析]　p：解得m>2.

q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0

解得1<m<3.

∵p，q中一真一假．

∴有两种可能，即p真q假或者p假q真，

即或，

解得：m≥3或1<m≤2.

20．(本题满分12分)指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；

(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；

(3)p：a>2，q：a>5；

(4)p：a<b，q：<1.

[解析]　(1)在△ABC中，∠A>∠B⇔BC>AC.所以p是q的充要条件．

(2)a＝3⇒(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0⇒/ a＝3.所以p是q的充分而不必要条件．

(3)a>2⇒/ a>5，但a>5⇒a>2，所以p是q的必要而不充分条件．

(4)a<b⇒/ <1，且<1⇒/ a<b，所以p是q的既不充分也不必要条件．

21．(本题满分12分)已知p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R；q：a≥1.如果命题“p∨q为真，p∧q为假”，求实数a的取值范围．

[解析]　由p真可知，解得a>2，

由p∨q为真，p∧q为假知，p和q中一个为真、一个为假．

若p真q假时a不存在，若p假q真时1≤a≤2.

综上，实数a的取值范围是1≤a≤2.

22．(本题满分14分)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围．

[解析]　当0<a<1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；

当a>1时，y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．

曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同两点等价于(2a－3)2－4>0.即a<或a>.

(1)p正确，q不正确．

则a∈(0,1)∩，即a∈.

(2)p不正确，q正确．

则a∈(1，＋∞)∩，

即a∈.

综上所述，a的取值范围为∪.