2020-2021学年3.1函数的概念导学案及答案

3．2  函数关系的建立（1）

一、教学目标

1．会对一些简单的实际问题建立两个变量间的函数关系式，并能确定函数的定义域．

2．通过对实际问题的分析与解决，领会分析变量和建立函数关系的思考方法，体验函数模型建立的一般过程．初步形成把实际问题转化成数学问题的建模能力．

3．通过本节课的学习， 加深对事物运动变化和相互联系的认识，初步学会用函数的观点去观察和分析客观事物．

二、教学重点与难点

把实际问题转化成数学问题，建立函数关系，求出函数的定义域．

三、教学过程[

（一）提出问题，引入新课

数学是实际问题的抽象，而数学又可以解决实际问题．当我们要用数学方法来解决实际问题时，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来，就像我们过去学习“列方程（组）解应用题”时用到了“设、列、解”这几个步骤．我们先来看下面这一个问题．问题1．用一根长为的铁丝，制成如图所示的框架．问如何设计，使得框架的面积S最大．

（先由学生思考，再由师生讨论完成）

（二）小结步骤，思考方法如上题，设适当的自变量，建立自变量与我们要求的目标——面积之间的函关系，这一过程叫做建立函数关系，也可以叫做建立数学模型（建模）．今天我们这一节课就是通过几个实际问题来学习如何建立函数关系．

（三）尝试方法，反馈评价

问题2．如图，一个边长为、（）的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个正方形，试设立适当的自变量，将图中阴影部分的面积表示成的函数．

解题反思：从此题的解决我们得到哪些启发？

（四）分析例题，体验过程

问题3．如图，有一个圆柱形的无盖杯子，它的内表面积是，试用解析式将杯子的容积()表示成底面内半径()的函数．

（五）练习巩固，总结思路

问题4．如图，把截面直径厘米的圆形木料锯成矩形木料，设矩形的一条边长是厘米，另一条边长是厘米，试用解析式将表示成的函数．

问题5（机动）．辆货车从站匀速驶往相距千米的站，其时速都是千米/时，为安全起见，要求每两辆货车的间隔等于千米（为常数，货车长度忽略不计），将第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站所需时间表示成的函数．

（六）课堂小结，布置作业

（1）课堂小结

（2）作业布置

课本练习1、习题册习题3．2组第1、2、3、4题．

3．2  函数关系的建立（1）

教学设计说明

一、教材的地位与作用

本节课是上海市二期课改数学教材（试用本）高中一年级第一学期第3章“函数的基本性质”中的“3．2 函数关系的建立”的第一课时．本章内容是在初中学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的基础上，对函数进行更深入的研究．要求学生进一步理解函数是变量之间相互依赖关系的反映；学习用集合与对应的语言刻画函数；再从直观到解析、从具体到抽象研究函数的性质，并能从解析的角度理解有关性质

函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想和方法贯穿于整个高中数学．本节课所学习的“函数关系的建立”是函数应用问题的基础，这一节内容学习的成败，直接影响到学生的后续学习，甚至于影响到学生整个高中数学的学习效果．

对于函数关系的建立，在初中阶段，要求学生通过解决现实生活中简单实际问题的举例，体会二次函数的基本应用和函数的模型思想，知道函数是描述客观世界的变化规律的重要数学模型．在高一数学第二章不等式“2．4 基本不等式及其应用”中的“探究与实践”课题(一)“最大容积问题”()已经涉及建立函数关系．在本章中，进一步要求建立函数关系，求函数的最大、最小值；以后还要继续学习用建立指数函数、对数函数模型解决实际问题．本节课是在学生理解函数的概念及基本会求函数的定义域之后，学习建立函数关系的第一节课，能初步发展学生把函数应用于实际问题的建模能力

二、教学目标分析

《课程标准》对“函数关系的建立”这一单元的教学要求是：通过解决具有实际背景的简单问题，领会分析变量和建立函数关系的思考方法．体验函数模型建立的一般过程，加深对事物运动变化和相互联系的认识，初步会用函数的观点去分析一些自然现象和社会现象．参照这一学习要求及教学目标的三个维度，我制定了这一堂课的三条教学目标．

三、教学内容的选取

函数关系的建立所涉及的数学知识千头万绪，它与学生在初中学习“列方程（组）解应用题”有联系，因而在上课开始时适当回顾列方程解应用题的步骤，可以唤醒学生的思维，将学生的学习注意力引导到教学中来．本课都是实际问题，对学生有一定的困难，但又是学生感兴趣的，因而我在引入时不是提出一个单纯的建模问题，而是一个设计中的最优化问题，以期引发学生的思维共鸣．然后将课本上的例1稍作改变，请学生来解决，看学生能建立几种函数关系，并进行鼓励性评价，以进一步激发学生的学习积极性．

教师重点讲解的是课本例2，从此例进一步强化建立函数关系的几个步骤：

（1）认真仔细审题，设出适当的自变量；

（2）找出等量关系，列出函数的关系式；

（3）根据问题要求，作适当的变形；

（4）根据实际要求，求出函数定义域．

然后由学生完成问题4和问题5，达到巩固知识，熟练方法的目的

四、教学方法分析

本课采用师生互动，合作交流的教学方法．具体教学流程为：

从实际问题出发，说明利用函数解决实际问题，建立函数关系是很重要的，而把实际问题转化为数学问题，许多学生中存在着畏难的情绪，所以，在教学中选择适当的问题，把问题解决分解为四个步骤．如何设出适当的自变量，找出变量之间的相等关系及函数的定义域，是本课的难点．