2021学年1.2.2集合的运算教学演示课件ppt

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1．交集对于两个给定的集合A、B，由属于A又属于B的所有元素所构成的集合，叫做A和B的________，记作________．2．并集一般地，对于两个给定的集合A、B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A与B的________，记作A∪B.3．全集在研究集合与集合之间的关系时，如果________，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示．特别警示：(1)全集决定了我们所研究的其他集合都是它的子集；(2)全集选择的不同，则运算的结果就有可能不同．
4．补集如果给定集合A是全集U的一个子集，由________，叫做A在全集U中的补集，记作∁UA.5．交集的运算性质对于任何集合A、B，有(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩A＝________；(3)A∩Ø＝________；(4)A∩B________A，A∩B________B；(5)A∩B＝A⇔________.
6．并集的运算性质(1)A∪B＝B∪A；(2)A∪A＝________；(3)A∪Ø＝________；(4)A∪B________A，A∪B________B；(5)A∪B＝B⇔________.7．交集、并集、补集的关系A∩(∁UA)＝Ø；A∪(∁UA)＝U.8．常见结论(1)A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B；(2)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝Ø.
9．经验公式(1)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；(2)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)(其中card(A)表示集合A中的元素的个数)．对于(1)可理解：“并之补”等于“补之交”，“交之补”等于“补之并”．可通过Venn图加以记忆．
答案：1.交集　A∩B　2.并集3．所要研究的集合都是某一给定集合的子集4．U中不属于A的所有元素构成的集合5．A　Ø　⊆　⊆　A⊆B6．A　A　⊇　⊇　A⊆B
1．可否用Venn 图理解A与B的交集及A与B的并集的几种情况？(1)用Venn图表示A∩B有下列几种情况：(阴影部分为A∩B)　　　
④A与B相交，有公共元素，但互不包含⑤A与B分离，无公共元素
(2)用Venn图表示A∪B有下列几种情况：(阴影部分为A∪B)　　　
2．设集合U为全集，集合A，B是全集U的子集，则有以下两个重要结论：∁U(A∩B)＝∁UA∪∁UB∁U(A∪B)＝∁UA∩∁UB.这两个结论，可否通过Venn图清楚明了地表示出来呢？
(1)用Venn图表示：∁U(A∩B)＝∁UA∪∁UB.
(2)用Venn图表示：∁U(A∪B)＝∁UA∩∁UB.
答案：(1)C　(2)A分析：注意集合M、P中的元素，确定出M、P，再求M∩P.
(1)解法一：M中x＋1≥0，∴x≥－1，即M＝{x|x≥－1}．P中x－3≤0，∴x≤3，即P＝{x|x≤3}．∴M∩P＝{x|－1≤x≤3}，故选C.解法二：∵M∩P的元素不是(x，y)，∴排除A.比较B与C，取x＝－1，∵－1∈M，－1∈P.∴－1∈(M∩P)，∴排除B.比较C与D，取x＝－2，∵－2∉M，∴排除D.故选C.
评析：解法一是直接法，求交集、并集时一般需先具体确定集合再求；解法二是排除法，即抓住选择项之间的差异，采用取特殊值或举反例等办法排除错选择项，达到去伪存真的目的，此法对求解选择题很有效．
评析：本节重点是交集、并集的概念，正确理解概念是进行集合间的交、并运算的关键．关于定义需注意：①A∪B中“或”的意义与日常用语中的“或”的意义不尽相同，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，“x∈A，或x∈B”包括下列三种情况：①x∈A，但x∉B；②x∈B，但x∉A；③x∈A，且x∈B.②因为并不是任何两个集合总有公共元素，当A与B没有公共元素时，不能说A与B的交集不存在，而应说A∩B＝Ø.
变式训练 1　集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，已知A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a、m的值．解：∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A∩C＝C，∴C⊆A.∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}＝{x|(x－a＋1)(x－1)＝0}，又∵B⊆A，∴a－1＝2或a－1＝1.即a＝3或a＝2.当a＝3时，B＝{1,2}；当a＝2时，B＝{1}．
题型二 集合的运算【例2】　设U＝R，已知集合A＝{x|－5解：如下图．(1)A∩B＝{x|0≤x<5}．(2)A∪B＝{x|－5(4)如下图．∁UA＝{x|x≤－5，或x≥5}，B∩(∁UA)＝{x|5≤x<7}．(5)解法一：∵∁UB＝{x|x<0，或x≥7}，∁UA＝{x|x≤－5，或x≥5}．∴如下图．(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x≤－5，或x≥7}．解法二：(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{x|x≤－5，或x≥7}．
评析：(1)数轴法的特点是简单直观，因此，要注意将数轴画出来，只有对数轴的运用达到熟练掌握了，就可以不必画数轴了，但也应在草稿上或自己的头脑中画出数轴，避免出错．(2)要注意各个端点的画法：能取到端点的值时，用实心的点在数轴上表示；取不到端点的值时，用空心的圈在数轴上表示．(3)一定要注意A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝Ø，从而决定端点的去留．
题型三 利用韦恩图解题【例3】　已知全集U＝{不大于20的质数}，M、N是U的子集，且满足M∩(∁UN)＝{3,5}，(∁UM)∩N＝{7,19}，(∁UM)∩(∁UN)＝{2,17}，求M，N.解：∵M∩(∁UN)＝{3,5}，∴3∈M,5∈M,3∉N,5∉N.又∵(∁UM)∩N＝{7,19}，∴7∉M,19∉M,7∈N,19∈N.
又∵(∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{2,17}，∴2∉M,2∉N,17∉M,17∉N.由以上分析，画出图．又∵11∉∁U(M∪N)，∴11∈M∪N.∵11∉M∩(∁UN)，∴11∈N，或11∈M∩N.
又∵11∉(∁UM)∩N，∴11∈M，或11∈M∩N.11既不在M∩(∁UN)中，同时又不在(∁UM)∩N中，所以即11∈M∩N.同理，13∈M∩N.∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．评析：对于一些与数集有关的问题，直接凭空去想，很容易陷入误区，理不清头绪．如果采用韦恩图来分析问题，则题目会变得很直观，很容易理清思路，使问题获解．
变式训练 3　某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求出全班人数．分析：本题考查集合的运算，解题的关键是把文字语言转化成集合语言，借助于韦恩图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解．
解：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，由题意可知A、B、C 三集合中元素个数分别为27、25、27，A∩B、B∩C、A∩C、A∩B∩C 的元素个数分别为10、7、11、4.画出韦恩图，如图可知全班人数为10＋13＋12＋6＋4＋7＋3＝55(人)．
评析：(1)能正确使用一些集合符号把文字语言转化成集合语言、图形语言是我们把实际问题转化成数学问题的重要一步，它实现了实际问题向数学问题的转化．(2)一般地，用card(A)、card(B)、card(C)分别表示集合A、B、C 中元素的个数，则有card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)．
题型四 利用集合运算性质求参数的取值范围【例4】　已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|x2－ax－1＋a＝0}，C＝{x|x2－mx＋1＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求a、m的取值或取值范围．分析：可知求集合A，再由A∪B＝A⇒B⊆A，A∩C＝C⇒C⊆A，然后根据方程根的情况进行讨论．解：A＝{1,3}，B＝{x|(x－1)(x＋1－a)＝0}．∵A∪B＝A，∴B⊆A.∴a－1＝3，或a－1＝1.∴a＝4，或a＝2.又A∩C＝C，∴C⊆A.若C＝Ø，则Δ＝m2－4<0，∴－2评析：分类讨论在中学数学中有着极其重要的地位，在本章应用广泛，本题中易犯的错误是忽略对C≠Ø的讨论．
变式训练 4　已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．(1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值；(2)ØA∩B，A∩C＝Ø，求实数a的值．分析：集合A，B，C的关系比较明确，从代数角度看，它们分别是方程x2－ax＋a2－19＝0，x2－5x＋6＝0和x2＋2x－8＝0的解集．由于集合A所对应的方程含有字母，因此本题宜先考虑的B，C再由(1)中A∩B＝B∪A，(2)中Ø A∩B，A∩C＝Ø等条件出发，确定a的值．
评析：对于(1)，必须理解A∩B＝A∪B的意义(由A⊇A∩B)＝A∪B⊇B⇒A⊇B，B⊇A∩B＝A∪B⊇A ⇒B⊇A，所以A＝B)；对于(2)关键在于抓住空集这个特殊集合的含义和性质，即由ØA∩B⇒A∩B≠Ø.
题型一 集合的运算问题集合的基本运算广泛地用于函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等知识中，在高考中占有相当重要的地位，要熟练掌握交、并、补的含义及运算性质，学会用Venn图、数轴工具来解决问题．【例1】　已知集合P＝{x|x＝a2＋4a＋1，a∈R}，Q＝{y|y＝－b2＋2b＋3，b∈R}，求P∩Q和P∪∁RQ.分析：集合P，Q分别是指对应的自变量a，b在实数范围内变化时，函数值的变化范围．
解：因为x＝a2＋4a＋1＝(a＋2)2－3≥－3，所以P＝{x|x≥－3}；又因为y＝－b2＋2b＋3＝－(b－1)2＋4≤4，所以Q＝{y|y≤4}．利用数轴表示可知，P∩Q＝{x|－3≤x≤4}(如下图(1))；又因为∁RQ＝{y|y>4}，所以P∪∁RQ＝P＝{x|x≥－3}(如下图(2))．
评析：(1)在求集合的交集、并集、补集时，应首先求出各集合．本题中，虽然表示集合元素的字母不同，但它们都是数集．(2)在求集合的补集时要注意边界．(3)求数集的交集、并集、补集往往借助于数轴．
【例2】　设A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1，或x>5}，当a为何值时(1)A∩B＝Ø；(2)A∩B≠Ø；(3)A∩B＝A；(4)A∪∁RB＝∁RB.
(2)由补集的定义可知，A∩B≠Ø的反面就是A∩B＝Ø.∴当a<－1，或a>2时，A∩B≠Ø.(3)∵A∩B＝A，∴A⊆B.由下图得，a＋3<－1，或a>5.即a<－4，或a>5时，A∩B＝A.
题型二 解探索性问题【例3】　已知A＝{(x，y)|x＝n，y＝an＋b，n∈Z}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m2＋15，m∈Z}；C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}，问是否存在实数a，b使得(1)A∩B≠Ø，(2)(a，b)∈C同时成立？分析：假设存在a，b，使得(1)成立，得到a与b的关系后与a2＋b2≤144联立，然后讨论联立的不等式组．
评析：①此解法中“Δ≥0”仅是一个方程有解的必要条件，也就是说Δ≥0只能保证直线与抛物线有公共点，但这个公共点不一定是整数点，进而再利用另一个条件，由于求得的a，b不能使两曲线的交点为整数点，所以符合题意的a，b就不存在了．②解答探索性数学问题，凡是涉及“是否存在”，“是否具有某种性质”等这一类的未定结论的讨论式探索性问题，我们总是先假定结论成立，进而进行演绎推理，在推导过程中，若出现矛盾，即可否定我们的假设，则问题的另一面成立；如果推导过程流畅，没有受阻，没有矛盾成立，一直能推导到符合已知的真理(公理、定理等)或已知条件，这时我们说假设存在．
题型三 用“正难则反”的策略解题“正难则反”策略是指某一类问题从正面解决比较困难时，我们可以反面入手解决．这种“正难则反”的解题方法，运用的就是补集思想，设全集为U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.【例4】　若三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数解，求实数a的取值范围．分析：此题若从正面入手，需对各种可能情况一一讨论，非常繁琐，若考虑反面，则只有一种情况：三个方程都没有实数解，利用判别式去求解，然后取补集即可．
评析：一般地，如果一个数学问题从正面入手困难可作逆向思考则常可奏效．如含有“至多”、“至少”等条件的题目，不要忘记取其补集．1．进行集合的运算时应当注意：(1)勿忘对空集情形的讨论；(2)勿忘集合中元素的互异性；(3)对于集合A的补集进行运算，勿忘A必须是全集的子集；(4)对于含参数(或特定系数)的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍．
2．在集合运算过程中应力求做到“三化”：(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形？是表示函数的自变量的取值范围，或因变量的取值范围，还是表示方程或不等式的解集？(2)具体化：具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．(3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．
【例5】　已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠Ø，求a的取值范围．解：由B＝{x|x<0}，A∩B≠Ø可知，方程x2－4ax＋2a＋6＝0至少有一个负根，因此本题要分：有两个负根、一负根一零根、一负根一正根这三种情况求解，比较麻烦，这时，我们不妨考虑问题的反面：方程x2－4ax＋2a＋6＝0没有负根的情形．
评析：(1)对于一些解题过程繁琐，难以从正面解决的问题，不妨从问题的反面入手，探求已知和未知的联系，用间接的方法将问题解决，我们称这种解决问题的策略为“正难则反”的策略，其实质是运用了“补集思想”．(2)由于∁UA是A的补集，因此在解题时，遇到比较困难的问题，可以转化为求问题的反面，采用间接的方法将问题解决．
题型四 数学在日常生活中的应用【例6】　某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49%，电视机拥有率为85%，洗衣机拥有率为44%，至少拥有上述三种电器中两种以上的占63%，三种电器齐全的为25%，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为(　　)A．10% B．12%C．15% D．27%答案：A分析：这是一个小型应用题，把各种人群看做集合，本题就是已知全集元素个数，求其某个子集的元素个数，可借助Venn图解决．
解：不妨设调查了100户农户，U＝{被调查的100户农户}，A＝{100户中拥有电冰箱的农户}，B＝{100户中拥有电视机的农户}，C＝{100户中拥有洗衣机的农户}，由图知，A∪B∪C的元素个数为49＋85＋44－63－25＝90.∴∁U(A∪B∪C)的元素个数为100－90＝10.故选A.评析：善于用数学中的集合知识解决日常生活中的实际问题，有时可以借助韦恩图．
分析：首先假设这样的a存在，则A∪B＝Ø成立，由此推出A＝B＝Ø，则一元二次方程的判别式Δ<0，照此计算下去，结果就会显露出来．
评析：本题有两个关键点：其一，由A∪B＝Ø得A＝Ø且B＝Ø，因此，得到由判别式构成的不等式组．其二，不等式组的解法，虽然在后面我们还将专门学习“一元二次不等式解法”，但根据实数的“同号相乘得正，异号相乘得负”的性质，我们现在也能解部分一元二次不等式，但要特别注意何时取交集，何时取并集．
【例8】　我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A、B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，则有A－B＝{1,2,3}，B－A＝{6,7,8}，据此，试回答下列问题：(1)S是高一(1)班全体同学的集合，A是高一(1)班全体女同学的集合，求S—A及∁SA；
(2)在下图中用阴影表示集合A－B；(3)如果A－B＝Ø，那么集合A与B之间具有怎样的关系？