北师大版必修5第一章 数列4数列在日常经济生活中的应用教学设计及反思

一、选择题

1．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机的成本降低，现在价格为8 100元的计算机9年后的价格可降为(　　)

A．2 400　　　　　　　　 B．900

C．300       D．3 600

解析：依题意得

8 100×(1－)3＝8 100×()3＝2 400(元)．

答案：A

2．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为(　　)

A． 9        B．10

C．19        D．29

解析：1＋2＋3＋…＋n＜200，即＜200.

显然n＝19时，剩余钢管最少，此时最多用去＝190根，剩余10根．

答案：B

3．一个工厂的生产总值月平均增长率是p，那么年平均增长率为(　　)

A．(1－p)12　　　　　　　　　B．(1＋p)12

C．(1－p)12－1      D．(1＋p)12－1

解析：设第一年各月份的产值依次为a1，a2，…，a12，则第二年各月份产值依次为a1(1＋p)12，a2(1＋p)12，…，a12(1＋p)12，第一年的年产值S＝a1＋a2＋…＋a12，

第二年的年产值

S′＝a1(1＋p)12＋a2(1＋p)12＋…＋a12(1＋p)12.

年平均增长率＝＝(1＋p)12－1.

答案：D

4．某种细胞开始时有2个，一小时后分裂成4个并死去1个，两小时后分裂成6个并死去1个，三小时后分裂成10个并死去1个，…，按照这种规律进行下去，100小时后细胞的存活数是________个．(　　)

A．2100－1       B．2100＋1

C．299－1       D．299＋1

解析：根据题意可得1个，2个，3个，4个，5个…小时后分别有3,5,9,17,33，…观察可知，3＝2＋1,5＝22＋1，9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1.所以100小时后细胞存活数为299＋1个．

答案：D

二、填空题

5．我国2005年人口约为13亿，如果每年递增0.2%，则2019年人口为________亿．(不必写出具体值)

解析：自2005年起，每年的人口数成等比数列，则2019年人口为13(1＋0.2%)14亿．

答案：13(1＋0.2%)14

6．某工厂生产一种产品，原计划今年第一季度的产量逐月增加相同的件数，但实际生产中，2月份比原计划多生产了10件，3月份比原计划多生产了25件，这样三个月的产量恰成等比数列，并且3月份的产量只比原计划第一季度总产量的一半少10件，则这个厂第一季度共生产了________件这种产品．

解析：依题意知，原计划每月的产量成等差数列，设为a－d，a，a＋d(d>0)．

由已知得a－d，a＋10，a＋d＋25成等比数列．

∴

解得

∴第一季度共生产了(90－10)＋(90＋10)＋(90＋10＋25)＝305件这种产品．

答案：305

三、解答题

7．陈老师购买安居工程集资房一套需82 000元，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，陈老师已有现金28 800元，尚缺10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷．陈老师从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清，试问每月应支付多少元？

(参考数据：1.016≈1.062,1.015≈1.051)

解：法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则

a0＝10 000，

a1＝1.01a0－a，

a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，

……

a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.

由题意可知a6＝0，

即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，

a＝≈1 713.

答：每月应支付1 713元．

法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为

S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．

另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为

S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a

＝

＝a[1.016－1]×102.

由S1＝S2，得a＝≈1 713.

答：每月应支付1 713元．

8．(2011·湖南高考)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.

(1)求第n年初M的价值an的表达式；

(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．

解：(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，

an＝120－10(n－1)＝130－10n；

当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×()n－6.

因此，第n年初，M的价值an的表达式为

an＝

(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得

当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，

An＝120－5(n－1)＝125－5n；

当n≥7时，由于S6＝570，

故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)

＝570＋70××4×[1－()n－6]

＝780－210×()n－6，

An＝.

因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，

又A8＝＝82＞80，

A9＝＝76＜80，

所以须在第9年初对M更新．