高中数学北师大版必修54数列在日常经济生活中的应用学案及答案

§4　数列在日常经济生活中的应用

数列在日常经济生活中的应用

阅读教材P32～P34例3以上部分，完成下列问题：

(1)三种常见的应用模型

①零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)．

②定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和．

③分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清．

(2)常用公式

①复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝P(1＋r)n.

②产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N(1＋r)x.

③单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝P(1＋nr)．

思考：(1)数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些？

[提示]　单利和复利两种方法．

(2)建立数学模型的关键是什么？

[提示]　正确选取变量，并准确建立变量之间的数量关系．

1．现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是(　　)

A．10 000×1.0363　 B．10 000×1.0364

C．10 000×1.0365 D．10 000×1.0366

C　[由复利公式得S＝10 000×(1＋3.60%)5＝10 000×1.0365.]

2．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成本是

(　　)

A．a(1＋q%)3 B．a(1－q%)3

C． D．

C　[设现在的成本为x元，则有x(1－q%)3＝a．

∴x＝.故选C．]

3．过圆x2＋y2＝10x内一点(5,3)有k条弦的长度组成等差数列，且最短弦长为首项a1 ，最长弦长为末项ak，若公差d∈，则k的取值不可能是(　　)

A．4 B．5

C．6 D．7

A　[x2＋y2＝10x化简得(x－5)2＋y2＝25

过点(5,3)的最短弦长为8，最长弦长为10，

则由题意d＝＝∈，5≤k≤7.]

4．阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年后共得本息和为________万元．(精确到0.001)

6．246　[10年后的本息：a10＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元)．]

【例1】　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？

[解]　因购房时付150万元，

则欠款1 000万元，依题意分20次付款，

则每次付款的数额顺次构成数列{an}．

则a1＝50＋1 000×1%＝60，

a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，

a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，

a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，

…

所以an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋)．

所以{an}是以60为首项，－为公差的等差数列．

所以a10＝60－9×＝55.5.

所以第10个月应付55.5(万元)．

a20＝60－19×＝50.5.

所以S20＝×(a1＋a20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.

所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．

1．按单利计算公式

单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期．

2．按单利分期付款问题的三个关键问题

(1)规定多少时间内付清全部款额．

(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同．

(3)规定多长时间段结算一次利息，及在规定时间段内利息的计算公式．

1．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是

(　　)

A．5(1＋2＋3＋…＋12)元

B．5(1＋2＋3＋…＋11)元

C．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元

D．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元

A　[存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元，故选A．]

【例2】　某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2018年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2028年年初将所有存款和利息全部取出，一共可以取回多少钱？

[解]　设从2018年年初到2028年年初每年存入a元的本利和组成数列{an}(1≤n≤10)．

则a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)，

故数列{an}(1≤n≤10)是以a1＝a(1＋p)10为首项，q＝为公比的等比数列．

所以2028年初这个家庭应取出的钱数为

S10＝

＝[(1＋p)11－(1＋p)](元)．

1．复利问题的计算方法

复利问题可以转化为等比数列问题，第n年的本息＝本金×(1＋利率)n.

2．解决等比数列应用题的关键

(1)认真审题抓特点，仔细观察找规律．

(2)等比数列的特点是增加或减少的百分数相同．

(3)分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查．

2．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于________．

6　[每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.]

[探究问题]

1．复利与单利的区别是什么？

[提示]　(1)复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息．

(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．

2．小明存入1万元定期存款，存期5年，年利率为2%，若按单利计算，5年后共获得本息和为多少元？

若按复利计算，5年后共获得本息和多少元？

[提示]　按单利计算：5年后共获(1＋5×2%)＝1.1万元；

按复利计算：5年后共获(1＋2%)5＝1.104万元．

3．在实际问题中，涉及一组与顺序有关的数的问题时，应考虑用什么方法解决？解决此问题的关键是什么？

[提示]　在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑用数列方法解决，在利用数列方法解决实际问题时的关键是分清首项、项数等问题．

【例3】　某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案，每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元．两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(计算数据精确到千元，1.110≈2.594,1.310≈13.786)

思路探究：分清两种方案分别属于什么数列模型，然后分别建立不同数列模型解决．

[解]　方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9，所以S10＝≈42.62(万元)．又贷款本息总数为

10(1＋10%)10＝10×1.110≈25.94(万元)，

甲方案净获利

42．62－25.94≈16.7(万元)．

乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为，前10项和为

T10＝1＋＋＋…＋

＝＝32.50(万元)，

而贷款本息总数为

1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]

＝1.1×≈17.53(万元)，

乙方案净获利

32．50－17.53≈15.0(万元)．

比较两方案可得甲方案获利较多．

1．(变条件)在例3中，若该企业还有两种技术改造的方案，丙方案：一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润，丁方案：一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加利润1.5万元，两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案均按年息2%的复利计算．(参考数据：1.259≈7.45,1.2510≈9.3,1.029≈1.20,1.0210 ≈1.22)，试比较两种方案，哪种方案净获利更多？

[解]方案丙：由题意知，每年的利润an成等比数列，

且a1＝4，公比q＝1＋25%＝1.25，n＝10，

收入S丙＝＝＝132.8(万元)．

净获利W丙＝132.8－40(1＋2%)10＝132.8－48.8＝84(万元)，

方案丁：由题意，每年的利润记为数列{bn}，它是等差数列，且b1＝3，公差为1.5，n＝10，

收入S丁＝10×3＋×10×9×1.5＝30＋67.5＝97.5(万元)．

净获利：W丁＝97.5－20(1＋2%)10＝97.5－24.4＝73.1(万元)

所以方案丙净获利更多．

2．(变结论)在例3中，设甲方案可贷款n年，按此方案技术改造第n年的累计净获利能够超过100万元，求n的最小值．(参考数据：1.314≈39.374,1.315≈51.186,1.114≈3.798,1.115≈4.178)

[解]　设按照甲方案进行技术改造，n年的累计净获利超过100万元，

由题意知，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，

前n项和为Sn＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)n－1＝＝(1.3n－1)，

又贷款本息总数为10(1＋10%)n＝10×1.1n，

则甲方案的净获利为(1.3n－1)－10×1.1n，

由题意知(1.3n－1)－10×1.1n＞100，

经验证，当n＝14时，(1.314－1)－10×1.114

＝(39.374－1)－10×3.798

＝127.913－37.98＝89.933＜100，

当n＝15时，(1.315－1)－10×1.115＝(51.186－1)－10×4.178

＝167.287－41.78＝125.507＞100，

所以n的最小值为15.

1．等差、等比数列的应用题常见问题

产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题．

2．将实际问题转化为数列问题时应注意

(1)分清是等差数列还是等比数列．

(2)分清是求an，还是求Sn，特别要准确确定项数n.

(3)递推关系的发现是数列建模的重要方式．

1．等差、等比数列的应用题常见于产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方案是建立数列模型，应用数列知识解决问题．

2．银行存款中的单利是等差数列模型，本利和公式为S＝P(1＋nr)；复利是等比数列模型，本利和公式为S＝P(1＋r)n.(其中P为本金，r为利率，n为期数)

3．等额本息分期付款是等比数列求和问题；等额本金分期付款是等差数列求和问题．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在银行取款时，取到的本息是指存款得到的利息．(　　)

(2)定期自动转存模型是等差数列．(　　)

(3)在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售价．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

[提示]　(1)不正确，本息指本金与利息的和；(2)不正确，定期自动转存的模型不是等差数列；(3)不正确，分期付款的本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计．

2．某钢厂的年产值由1999年的40万吨，增加到2009年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2019年的年产值将接近(　　)

A．60万吨　　 B．61万吨

C．63万吨 D．64万吨

C　[设年增长率为x，则2009年为：40(1＋x)10＝50，则(1＋x)10＝.

2019年为：40(1＋x)20＝40×[(1＋x)10]2

＝40××＝62.5≈63(万吨)．]

3．某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足(　　)

A．b＝ B．b＝

C．b＝ D．<b<

D　[因为b(1＋1.005＋1.0052＋…＋1.00511)

＝a(1＋0.005)12，所以12b<a(1＋0.005)12，

所以b<，显然12b>a，

即<b<.]

4．1个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池．如果开始时全部开放，

以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头放水的时间恰好是第1个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水的时间是多少？

[解]　设共有n个水龙头，每个水龙头开放时间依次为x1，x2，…，xn，

由已知x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝…＝xn－xn－1，数列{xn}是等差数列，每个水龙头1 min放水，所以＝1，即Sn＝24n，即＝24n，所以(x1＋xn)＝24，x1＋xn＝48.

又因为xn＝5x1，所以6x1＝48，x1＝8，xn＝5x1＝40.

故最后关闭的水龙头放水40 min.