高中数学人教版新课标B必修21.2.3空间中的垂直关系学案

平面的基本性质与推论

一. 教学内容：

1. 平面的基本性质与推论

2. 空间中的平行关系

二. 教学目的

1、了解平面的基本性质与推论，并能运用这些公理及推论去解决有关问题，会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。

2、以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础，通过直观感知，操作确认，思辨论证，归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

三. 教学重点、难点

【重点】平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定。

【难点】自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用。

四. 知识分析

（一）平面的基本性质与推论

1. 平面的基本性质

（1）关于公理1

①三种数学语言表述：

文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。

图形语言表述：如图1所示

图1

符号语言表述：

②内容剖析：

公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，条件“线上两点在平面内”是公理的必须条件，结论“线上所有点都在面内”。这个结论阐述两个观点，一是整个直线在平面内，二是直线上所有点都在平面内。

③公理（1）的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面。

（2）关于公理2

①公理2的三种数学语言表述：

文字语言表述：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

图形语言表述：如图2所示

图2

符号语言表述：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α，使.

②内容剖析：

公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”。条件中的“三点”是条件的骨干，不会被忽视，但“不在同一直线上”这一附加条件则易被遗忘，如舍之，结论就不成立了，因此绝对不能遗忘．同时还应认识到经过一点、两点或在同一直线上的三点可有无数个平面；过不在同一直线上的四点，不一定有平面，因此要充分重视“不在同一直线上的三点”这一条件的重要性。

公理2中的“有且只有一个”含义要准确理解。这里的“有”是说图形存在。“只有一个”是说图形惟一，本公理强调的是存在和惟一两个方面。因此“有且只有一个”必须完整的使用，不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达存在性。“确定一个平面”中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两方面的，这个术语今后也会常常出现，要理解好。

③公理2的作用：

作用一是确定平面；

作用二是可用其证明点、线共面问题。

（3）关于公理3

①公理3的三种数学语言表述：

文字语言表述：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

图形语言表述：如图3所示。

图3

符号语言表述：

②公理3的剖析：

公理3的内容反映了平面与平面的位置关系。公理2的条件简言之是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线惟一”。对于本公理应强调对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线。

③公理3的作用：

其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。

2. 平面的基本性质的推论

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

请同学们想一想：

三个推论的图形语言如何表示呢？

三个推论的符号语言如何表述呢？

三个推论有何作用呢？

推论2的证明

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

已知：直线

求证：经过直线a、b有且只有一个平面α。

【证明】（1）如图4所示，在直线a,b上分别取不同于点A的点C、B，得不在同一直线上的三点A、B、C，过这三个点有且只有一个平面α（公理2）。

图4

又（公理1）

平面α是过相交直线a，b的平面。

（2）如果过直线a和b还有另一平面β，那么A,B,C三点也一定都在平面β内，这样过不在一条直线上的三点A,B,C就有两个平面 α、β了，这与公理3矛盾。所以过直线a，b的平面只有一个。

综上知，过直线a、b有且只有一个平面。

3. 用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质

（1）点与平面的位置关系：点A在平面α内，记作A∈α；点A不在α内，记作；

（2）直线与平面的位置关系：直线 m 在平面α内，记作 ;直线 m 不在平面α内，记作；

（3）平面α与平面 β相交于直线a，记作 ；

（4）直线 m 和 n 相交于点A，记作。

4. 学习时应注意的几个问题

学习本节课要注意正确的作图，恰当的作图有利于培养我们的空间想象能力．在平面几何中，辅助线一般要画成虚线，而立体几何中则不同，一般是将看不见的线画成虚线，与它是否是辅助线无关，这一点同学们一定要注意。在平时的训练中要养成多动手、勤画图的习惯，必须熟练掌握空间图形的直观图的画法—斜二测画法。

要注意重视几何语言的训练和书写，尽可能熟记有关公理及推论的几何语言的叙述。

5. 几种常见题型的解法

（1）证明直线在平面内的方法：证明直线上有两点在平面内。

（2）证明直线共面的方法：先证明其中两条直线确定一个平面，再证明其余直线都在这个平面内。

（3）证明点在直线上的方法：首先确定这条直线是哪两个平面的交线，然后证明这个点是这两个平面的公共点。

（二）平面中的平行关系

1. 平行直线

（1）空间两条直线的位置关系

①相交：在同一平面内，有且只有一个公共点；

②平行：在同一平面内，没有公共点。

（2）初中几何中的平行公理：

过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。

【说明】此结论在空间中仍成立．

（3）公理4（空间平行线的传递性）：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．即：如果直线a // b,c // b，那么a // c。

【说明】此公理是判定两直线平行的重要方法：寻找第三条直线分别与前两条直线平行。

2. 等角定理

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

需要说明的是：对于等角定理中的条件：“方向相同”。

（1）若仅将它改成“方向相反”，则这两个角也相等。

（2）若仅将它改成“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补。此定理及推论是证明角相等问题的常用方法。

3. 空间图形的平移

如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F＇的位置，则说图形F在空间做了一次平移。

注意：图形平移后与原图形全等，即对应角和对应两点间的距离保持不变。

图形平移有如下性质：

（1）平移前后的两个图形全等；

（2）对应角的大小平移前后不变；

（3）对应两点的距离平移前后不变；

（4）对应两平行直线的位置关系在平移前后不变；

（5）对应两垂直直线的位置关系在平移前后不变。

4. 证明空间两直线平行的方法

（1）利用定义

用定义证明两条直线平行，需证两件事：一是两直线在同一平面内；二是两直线没有公共点。

（2）利用公理4

用公理4证明两条直线平行，只需证一件事：就是需找到直线c，使得a // c，同时b//c，由公理4得a // b。

5. 直线与平面平行

（1）直线和平面的位置关系有三种，用公共点的个数归纳为

（2）线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

符号表示为：

（Ⅰ）该定理常表述为：“线线平行，则线面平行。”

（Ⅱ）用该定理判断直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：

①直线a不在平面α内，即 。

②直线b在平面α内，即。

③两直线a、b平行，即a // b。

这三个条件缺一不可。

（3）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行。

符号表示：若 ,则a // b, 即“线面平行，则线线平行”。

【说明】

a. 此定理可以作为直线与直线平行的判定定理

b. 定理中有3个条件：

①直线a和平面α平行，即a //α；

②平面α、β相交，即α∩β＝b；

③直线a在平面β内，即 。

三者缺一不可。

（4）线面平行定理的应用

应用线面平行的判定定理证明线面平行，关键是找到平面内与平面外相互平行的直线。

应用线面平行性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助平面，然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行。

6. 两个平面的位置关系

同平面内两条直线的位置关系相类似；可以从有无公共点来区分：

① 如果两个平面有不共线的三个公共点，那么由公理3可知：这两个平面必然重合；

② 如果两个平面有一个公共点，那么由公理2可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；

③ 如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行。

由此可知两个不重合的平面的位置关系：

（1）平行——没有公共点；

（2）相交——至少有一个公共点（或有一条公共直线）。

7. 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

已知：、，，∥，∥（如图所示）

求证：∥

证明：用反证法

假设

∥，，∥

同理有∥

由公理4知∥，这与相矛盾。

∥

注意：（1）此定理用符号表示为

（2）应用本定理的关键是：要证面面平行，转化为证线面平行，即在内找两条相交直线、都平行于。

（3）这个定理有推论：“若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。”

8. 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

已知：，平面，（如图所示）

求证：

证明：

没有公共点，而，，、没有公共点

又、，

注意：（1）本定理可作为线线平行的判定定理使用。

（2）面面平行的性质还有：

①

这条性质同时是线面平行的一种判定方法。

②夹在两平行平面间的两条平行线段相等。

③对三个平面

这是平面平行的传递性。

9. 两平面平行问题常常转化为线面平行，而线面平行又可以转化为线线平行。所以注意转化思想的应用，两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好。

【典型例题】

例1. 用符号表示下列语句，并画出图形。

（1）三个平面相交于一点P，且平面与平面交于PA，平面与平面交于PB，平面与平面交于PC。

（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC。

（3）直线a和b相交于平面内一点M。

解析：（1）符号语言表示：

，，

图形表示：如图①

（2）符号语言表示：

平面ABD平面BDC=BD，

平面ABC平面ADC=AC

图形表示：如图②

（3）符号语言表示：，。图形表示：（如下图中三个图）。

点评：理解数学符号的含义，学会并养成用符号语言和图形语言表示文字叙述语句的习惯，这在解题中会带来许多方便。

例2. 一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面。

解析：

已知：，，

求证：直线，，，共面。

方法一：，、确定一个平面

，

，，故

又，、确定一个平面，同理可证

且，

过两条相交直线、有且只有一个平面，故与重合

即直线，，，共面。

方法二：由方法一得，，共面，也就是说在、确定的平面内

同理可证在、确定的平面内

过和只能确定一个平面

，，，共面

点评：先将已知和求证改写成符号语言，要证明诸线共面，一种方法是先由、确定一个平面，由公理1证明、也在此平面内；另一种方法是先由、确定一个平面，、确定另一平面，再证两平面重合。

例3. 已知在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于P、Q、R三点。

求证：P，Q，R三点在同一条直线上。

解析：如图所示，，

，，

是平面与平面ABC的交线，

，

且平面ABC，

，P，Q，R三点共线。

点评：要证明P，Q，R三点共线，只需证明P，Q，R三点在平面和平面ABC的交线上，可先用任意两点确定交线所对应的直线，再证明第三点也在该直线上。

例4. 如图，两个三角形ABC和的对应顶点的连线、交于同一点O，且

（1）求证：，，；

（2）求的值。

解析：用平面几何知识可以证明两条直线平行；用等角定理可以证明两个角相等，从而可以证明两个三角形相似。

（1）与交于点O，且

同理 ，

（2），且和、和方向相反

同理

因此 ，且

点评：判断或证明线线平行常用的方法有：

（1）用平面几何中证明两条直线平行的方法；

（2）利用公理4（若a∥c，c∥b，则a∥b）；

（3）利用线面平行性质定理（若，则a∥b）；

（4）利用面面平行的性质定理（若α∥β，，则a∥b）。

例5. 已知四面体ABCD中，M、N分别是和的重心。

求证：（1）面ABD；（2）面CMN

分析：首先根据条件画出图形，如图所示，证明线面平行最常用的方法是利用判定定理，利用反推的思想，要证面ABD，只要证明MN平行于面ABD内的某一条直线即可。根据M、N分别为的重心的条件，连接CM、CN并延长分别交AB、AD于G、H，连接GH。若有，则结论可证，或连接AM、AN并延长交BC、CD于E、F，连接EF，若有，，结论可证。

解析：（1）如图所示，连接CM、CN并延长分别交AB、AD于G、H，连接GH、MN

∵M、N分别为的重心

∴MN∥GH

又面ABD，面ABD

∴MN∥面ABD

（2）连接AM、AN并延长分别交BC、CD于E、F，连结EF

同理MN∥EF

又E、F分别为BC、CD的中点

∴BD∥EF

∴BD∥MN

又面CMN，CMN

∴BD∥面CMN

点评：证明线面平行的常用方法有两种，其一是利用定义，一般借助反证法去完成；其二是利用判定定理，思路一般是从结论入手，用反推的思想方法分析出解题思路，然后完成证明过程。

例6. 已知AB、CD是夹在两个平行平面、之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点。

求证：平面

解析：分AB、CD是否共面两种情况。

（1）若AB、CD在同一平面内，则平面ABCD与、的交线分别为BD、AC

又因为，所以。又M、N分别为AB、CD的中点，

所以，又平面，所以平面。

（2）若AB、CD不共面，如图，过A作交于E，取AE中点P，连接MP、PN、BE、ED。

因为，所以AE、CD确定平面AEDC

则平面AEDC与、的交线分别为ED、AC

因为，所以

又P、N分别为AE、CD中点

所以，从而

同理可证 ，所以

所以平面

又平面MPN，所以

点评：（1）本题容易疏忽AB、CD是否共面，把AB、CD看成同一平面内的线段，直接用平面几何知识得证。

（2）本题是平面几何中梯形中位线在空间的推广。

例7. 如图，在正方体中，M、N、E、F分别是棱、、、的中点。

求证：平面平面。

解析：连接MF

因为M、F分别是、的中点，且四边形是正方形

所以，

又，

所以四边形AMFD是平行四边形

所以AM∥DF

因为平面EFDB，平面EFDB

所以AM∥平面EFDB

同理可证：AN∥平面EFDB

又AM、AN平面AMN，

所以平面AMN∥平面EFDB

点评：证明面面平行的关键是在一个平面里找到都与另一个平面平行的两条相交直线。

【模拟试题】

1. 直线a、b、c交于一点，经过这3条直线的平面（ ）

A. 有0个B. 有1个

C. 有无数个D. 可以有0个，也可以有1个

2. 过不共面的4个点中的3个点的平面共有（ ）

A. 0个B. 3个C. 4个D. 无数个

3. 下列推理，错误的是（ ）

A.

B.

C.  

D. 线α与β重合

4. 空间两个角的两边对应平行，其中一个角等于60°，则另一个角的大小为（ ）

A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120°

5. 下列说法正确的是（ ）

A. 直线m平行于平面α内的无数直线，则m //α

B. 若直线则a //α

C. 若直线a // b，bα，则a //α

D. 若直线a // b，bα，直线a就平行于平面α内的无数条直线

6. 在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是（）

A. 平行B. 相交C. 直线在平面内D. 不能确定

7. 下列命题中正确的是（ ）

A.  

B.

C. 平行于同一条直线的两个平面平行

D. 平面α内有无数条直线与平面β平行，则α//β

8. AB、ADα，CB、CDβ，E∈AB,F∈BC,G∈CD,H∈DA, 若直线EH与FG相交于P，则P点必在直线___________上。

9. 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M, N 分别是棱A1B1， B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝____________

10. 在△ABC中，AB＝AC=6，∠A＝60°，G是重心，过G的平面α与BC平行，，则MN＝______________

11. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内。

12. 如图，O是长方体ABCD－A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O//平面A1C1D。

13. 已知两条直线a，b异面，，且a//β，b//α，求证：α//β

【试题答案】

1～7：DCCDDAB

8. BD9.10. 4

11. 已知：直线l1、l2、l3、l4两两相交且不共点（如图）

求证：直线l1、l2、l3、l4在同一平面内

证明：因为直线l1与l2相交，所以由推论2知l1与l2确定一个平面α

又直线l3与l1、l2都相交，不妨设l1∩l3于点C，l3∩l2于点D，则

因为C∈l3、D∈l3,所以由公理1知l3α，同理，直线l3α

所以直线l1、l2、l3、l4在同一平面内

12. 连结B1、D1，交A1C1于点O1，连结O1D，则B1O1与OD平行且相等，从而四边形B1O1DO是平行四边形，所以OB1//O1D。

又因为OB1平面A1C1D，O1D平面A1C1D，

所以B1O//平面A1C1D

13. 在平面α内的直线a上任取一点A。

因为a、b异面，所以Ab。

过A，b确定平面γ交α于c，

同理在b上任取一点B，过B、a确定平面δ交β于d

可得d // a，又b // α，d // α，

所以α//β