人教版新课标B必修2第二章 平面解析几何初步综合与测试教学设计

这是一份人教版新课标B必修2第二章 平面解析几何初步综合与测试教学设计，共7页。教案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．如果a2＋b2＝eq \f(1,2)c2，那么直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
[答案] C
[解析] 圆的半径r＝1，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝eq \f(|c|,\r(a2＋b2))＝eq \f(|c|,\f(1,4)|c|)＝4>1.故选C.
2．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为eq \r(2)的点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] 圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0的圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝2eq \r(2)，如图所示，圆心C到直线x＋y＋1＝0的距离为eq \r(2)，故过圆心C与直线x＋y＋1＝0平行的直线l与圆的两个交点A、B到直线x＋y＋1＝0的距离为eq \r(2).又圆的半径r＝2eq \r(2)，故过圆心C作直线x＋y＋1＝0的垂线，并延长与圆的交点C′到直线x＋y＋1＝0的距离为eq \r(2)，故选C.
3．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上均有可能
[答案] B
[解析] 几何法：圆心(0,0)到直线距离小于1，
∴eq \f(1,\r(a2＋b2))<1，∴a2＋b2>1，
∴点P(a，b)在圆x2＋y2＝1外．
4．与圆x2＋(y－2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有( )
A．6条 B．4条
C．3条 D．2条
[答案] C
[解析] 在两轴上截距相等，分两种情形：
①过原点，截距都是0，设为y＝kx，由(0,2)到y＝kx距离为eq \r(2)，
∴eq \f(2,\r(1＋k2))＝eq \r(2)，∴k＝±1.
②不过原点设截距均为a，则方程为x＋y＝a.
同样可得：eq \f(|2－a|,\r(2))＝eq \r(2)，∴a＝4，共有3条．
5．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长是( )
A.eq \r(6) B.eq \f(5\r(2),2)
C．1 D.eq \r(2)
[答案] A
[解析] 圆心C(2，－2)，半径r＝eq \r(2)，
弦心距eq \f(|2＋2－5|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
∴弦长为2eq \r((\r(2))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \r(6).
6．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦为最短的直线的方程为( )
A．3x－y－5＝0
B．x＋3y－5＝0
C．3x－y－1＝0
D．x＋3y－1＝0
[答案] B
[解析] 经过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最短的弦是与过该点的直径垂直的直线，
已知圆心(1，－2)，故过(2,1)的直径的斜率为k＝eq \f(1－(－2),2－1)＝3，因此与这条直径垂直的直线的斜率为－eq \f(1,3)，其方程为y－1＝－eq \f(1,3)(x－2)，即为x＋3y－5＝0.
7．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋eq \f(5,2)＝0相切的直线方程为( )
A．y＝－3x或y＝eq \f(1,3)x
B．y＝3x或y＝－eq \f(1,3)x
C．y＝－3x或y＝－eq \f(1,3)x
D．y＝3x或y＝eq \f(1,3)x
[答案] A
[解析] 设所求直线方程为y＝kx，圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝eq \f(5,2)，∴圆心为(2，－1)，半径r＝eq \r(\f(5,2))＝eq \f(\r(10),2)，由题意，得eq \f(|2k＋1|,\r(k2＋1))＝eq \f(\r(10),2)，解得k＝－3或eq \f(1,3).
8．以点P(－4,3)为圆心的圆与直线2x＋y－5＝0相离，则圆P的半径r的取值范围是( )
A．(0,2) B．(0，eq \r(5))
C．(0,2eq \r(5)) D．(0,10)
[答案] C
[解析] P到直线的距离d＝eq \f(|－8＋3－5|,\r(5))＝2eq \r(5)，
∵圆与直线相离，∴0二、填空题
9．圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为________．
[答案] 4＋eq \f(3\r(2),2)
[解析] 圆心到直线x－y＝3的距离为eq \f(3,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，
∴圆心x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为4＋eq \f(3\r(2),2).
10．自点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，则切线长等于________．
[答案] 3
[解析] 设切线长为l，圆心C(2,3)，|AC|＝eq \r(10)，
圆的半径r＝1，∴l2＝|AC|2－r2＝9，∴l＝3.
11．若经过点P(5m＋1,12m)可以作出圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，则实数m的取值范围是__________．
[答案] m>eq \f(1,13)或m<－eq \f(1,13)
[解析] 这是换一个角度考察点与圆的位置关系，过点P可作出圆的两条切线，∴P在圆外，∴(5m)2＋(12m)2>1，∴m2>eq \f(1,169)，∴m>eq \f(1,13)或m<－eq \f(1,13).
12．过点(1，eq \r(2))的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.
[答案] eq \f(\r(2),2)
[解析] ∵(1－2)2＋(eq \r(2))2＝3<4，∴点A(1，eq \r(2))在圆内部．当劣弧所对的圆心角最小时，相应弦长最短，此时圆心C(2,0)与点A(1，eq \r(2))的连线垂直于直线l，
∵kAC＝－eq \r(2)，∴kl＝eq \f(\r(2),2).
三、解答题
13．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程：
(1)经过点P(eq \r(3)，1)；
(2)经过点Q(3,0)；
(3)斜率为－1.
[解析] (1)∵(eq \r(3))2＋12＝4，∴点P(eq \r(3)，1)在圆上，
故所求切线方程为eq \r(3)x＋y＝4.
(2)∵32＋02>4，∴点Q在圆外．
设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0.
∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，
∴eq \f(|－3k|,\r(1＋k2))＝2，k＝±eq \f(2,5)eq \r(5)，
∴所求切线方程为y＝±eq \f(2,5)eq \r(5)(x－3)，
即2x±eq \r(5)y－6＝0.
(3)设圆的切线方程为y＝－x＋b，代入圆的方程，整理得
2x2－2by＋b2－4＝0，∵直线与圆相切，
∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0.解得b＝±2eq \r(2).
∴所求切线方程为x＋y±2eq \r(2)＝0.
14．当m为何值时，直线mx－y－m－1＝0与圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0相交、相切、相离？
[解析] 解法一：(代数法)
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝mx－m－1,x2＋y2－4x－2y＋1＝0))，得
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，
Δ＝4m(3m＋4)，
当Δ＝0，即m＝0或－eq \f(4,3)时，直线与圆相切，
当Δ>0时，即m>0或m<－eq \f(4,3)时，直线与圆相交，
当Δ<0，即－eq \f(4,3)解法二：(几何法)
由已知得圆心坐标为(2,1)，半径r＝2，圆心到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝eq \f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq \f(|m－2|,\r(1＋m2))，
当d＝2，即m＝0或－eq \f(4,3)时，直线与圆相切；
当d>2，即－eq \f(4,3)当d<2，即m>0或m<－eq \f(4,3)时，直线与圆相交．
15．求证：不论k为何值，直线l：kx－y－4k＋3＝0与曲线C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0恒有两个交点．
[解析] 解法一：将直线l与曲线C的方程联立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx－y－4k＋3＝0， ①,x2＋y2－6x－8y＋21＝0， ②))
消去y，得(1＋k2)x2－2(4k2＋k＋3)x＋2(8k2＋4k＋3)＝0.③
∵Δ＝4(4k2＋k＋3)2－8(1＋k2)(8k2＋4k＋3)＝12k2－8k＋12＝12eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－\f(1,3)))2＋\f(8,9)))>0，
∴方程③有两相异实数根，
因而方程组有两个解，即说明直线l与曲线C恒有两交点．
解法二：当k变化时，由l：k(x－4)＋3－y＝0可知，直线l恒过定点A(4,3)，曲线C是半径r＝2，圆心为C(3,4)的圆．
∵|AC|＝eq \r((4－3)2＋(3－4)2)＝eq \r(2)∴直线l与曲线C恒有两个交点．
16．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2eq \r(7)，求圆C的方程．
[解析] 设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由圆C与y轴相切得|a|＝r，①
又圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，②
圆心C(a，b)到直线y＝x的距离为d＝eq \f(|a－b|,\r(2))，由于弦心距d，半径r及弦的一半构成直角三角形，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|a－b|,\r(2))))2＋(eq \r(7))2＝r2.③
联立①②③解方程组可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝3,b1＝1,r1＝3))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝－3,b2＝－1,r2＝3)).
故圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
17．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．
[解析] 解法一：设光线l所在直线的方程为y－3＝k(x＋3)，则反射点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3(1＋k),k)，0))(k存在且k≠0)．∵光线的入射角等于反射角，
∴反射线l′所在直线的方程为
y＝－keq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x＋\f(3(1＋k),k)))，即l′：y＋kx＋3(1＋k)＝0.
∵圆(x－2)2＋(y－2)2＝1与l′相切，
∴圆心到l′的距离d＝eq \f(|2＋2k＋3(1＋k)|,\r(1＋k2))＝1，
∴k＝－eq \f(3,4)或k＝－eq \f(4,3)，
∴光线l所在直线的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
解法二：已知圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，如图所示．
可设光线l所在直线方程为y－3＝k(x＋3)，
∵直线l与圆C′相切，
∴圆心C′(2，－2)到直线l的距离
d＝eq \f(|5k＋5|,\r(1＋k2))＝1.解得k＝－eq \f(3,4)或k＝－eq \f(4,3).
∴光线l所在直线的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.