2021学年第二章 平面解析几何初步综合与测试第2课时教学设计

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高考调研 · 新课标高考总复习
1．能根据两条直线斜率判定这两条直线平行或垂直或相交．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
本课知识高考要求难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现.
课前自助餐课前导读1．判定两条直线的位置关系(1)两条直线的平行①若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2.②当l1，l2都垂直于x轴且不重合时，则有l1∥l2.③若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1，l1与l2重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)．(2)两条直线的垂直①若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直．③若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2相交的条件是k1≠k2.直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的条件是A1B2≠A2B1.
答案　x＋2y－3＝0
授人以渔题型一 两直线位置关系的判定例1　已知两条直线l1：ax－y＋a＋2＝0，l2：ax＋(a2－2)y＋1＝0，当a为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．【解析】　首先由a·(a2－2)＝(－1)a得：a＝0或a＝－1或a＝1∴当a≠0且a≠－1且a≠1时两直线相交当a＝0时，代入计算知l1∥l2当a＝－1时，代入计算知l1与l2重合当a＝1时，代入计算知l1∥l2因此，(1)当a≠－1且a≠0且a≠1时，l1与l2相交；
(2)当a＝0或a＝1时，l1与l2平行；(3)当a＝－1时，l1与l2重合．探究1　判断两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系时，先解方程A1B2＝A2B1，当A1B2≠A2B1时l1与l2相交当A1B2＝A2B1时，再判定l1与l2是平行还是重合．思考题1　(1)判断下列两条直线的位置关系①l1：4x＋3y－5＝0，l2；4x－2y＋3＝0②l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＝7－8y③l1：2y＝7，l2：3y＋5＝0
(2)已知：l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2：①相交；②平行；③重合．【答案】　(1)①相交　②平行　③平行(2)①m≠3且m≠－1　②m＝－1　③m＝3题型二 利用位置关系求直线方程例2　求经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线的方程．【分析】　(1)先求两条直线的交点坐标，再由两线的垂直关系得到所求直线的斜率，最后由点斜式可得所求直线方程．
(2)因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，两条直线的斜率互为负倒数，所以可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，将两条直线的交点坐标代入求出m值，就得到所求直线方程．(3)设所求直线方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋(1＋4λ)＝0，再利用垂直关系建立λ的方程，求出λ即可得到所求直线方程．
探究2　在已知位置关系求直线方程时，灵活利用直线系较简便：几种常用的直线系方程如下：(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中A1B2－A2B1≠0，待定系数λ∈R.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.(2)过定点(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(k为参数)及x＝x0.(3)平行直线系方程：与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m为参数且m≠b)；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C，λ是参数)．
(4)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解．思考题2　过点P(1,2)引直线，使A(2,3)、B(4，－5)到它的距离相等，求这条直线的方程．【解析】　解法一　∵kAB＝－4，线段AB中点C(3，－1)，∴过P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意．
【探究】　此类题的解法就是利用点到直线的距离公式，但有时可依据条件用数形结合的思想，可简化运算过程．
(3)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M、N关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上，易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二：∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式得
探究3　以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：(1)点关于点的对称问题．利用中点坐标公式易得，如(a，b)关于(m，n)的对称点为(2m－a,2n－b)；(2)点关于线的对称点．点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单)；(3)线关于线的对称线．一般要在线上取点，可在所求直线上任取一点，也可在已知直线上取特殊点对称；(4)特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类似关于y＝x的对称问题采用代入法，如(1,3)关于y＝x＋1的对称点为(3－1,1＋1)，即(2,2)．
思考题3　在△ABC中，BC边上的高所在直线l1的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线l2的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A、C的坐标．
1．求两直线交点坐标就是解方程组．即把几何问题转化为代数问题．2．要理解“点点距”、“点线距”、“线线距”之间的联系及各公式的特点．特别提示：求两平行线间的距离时，一定化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式．3．注意归纳题目类型．体会题目所蕴含的数学思想方法．如数形结合的思想；方程与函数的思想；分类讨论的思想．