人教版新课标B2.3.3直线与圆的位置关系教学设计

直线与圆的实际应用问题分类解析

直线与圆是解析几何中两种最常见的图形，在生活中的应用十分广泛.解答有关应用题时，通常根据题目的实际情况建立坐标系，通过建立直线方程及圆的方程，再利用直线与圆的基本知识及直线与圆的位置关系求解.下面就直线与圆的方程知识在社会生活及生产中的实际应用举例分析.

一、直线方程的应用

例1某高速路检查站有一地镑秤，它主要由一根弹簧组成，压上10吨重的货车时，长50cm，若所货车的重量每增加2吨，弹簧就缩短1cm，问当某辆货车的重量为30吨时，求弹簧的长度.

分析：由题意知，所压货车的重量F与弹簧的长度L是一一对应的关系，我们可以将问题转化为直线方程问题，题中挂10吨的物体时，弹簧长50cm，相当于直线上的一点(10，50)，我们只要再求出直线的方程，再求出当F＝30时，自变量L的值.

解：可将货车重量看成点的横坐标，将弹簧的长度看成点的纵坐标，这样问题转化为直线方程问题.由题意知，直线的斜率为k＝＝＝－.

又因直线过点(10，50)，所以根据点斜式可得直线方程为：L－50＝－(F－10)，即F＋2L－110＝0.

即弹簧的长度L（cm）与所挂物体重量F（N）之间关系的方程是F＋2L－110＝0.

令F＝30，可得L＝40cm.故当某辆货车的重量为30吨时，弹簧的长度为40cm.

点拨：这是一道利用直线方程解决实际问题的题目.做题时我们要认真分析已知条件，将实际问题转化为我们所熟悉的数学问题.特别要注意本题所涉及的直线的斜率为负值.

二、两条直线位置关系的应用

例1到了“10.1黄金周”，甲、乙两个同学准备结伴郊游，但只有一辆自行车，因此两人约定：甲骑车，乙步行，甲到某处后将车留下改为步行，乙到达留车处换成骑车，当乙适当超过甲时，乙将车留下改为步行，……如此反复轮换.已知两人骑车的速度为15km/h，步行的速度为5km/h，从起点到目的地的距离为15km，问最少需要多少时间两人都能到达目的地？

分析：最后两人要同时到达，即是最后两人相遇，因此可以从寻求证两人相遇时满足的条件着手，转化为平面坐标内直线问题来解决.

解：如图所示，以时间t为横轴，路程S为纵轴建立直角坐标系，则

第一次转换前骑车和步行的直线方程分别为：l1：S＝15t，l2：S＝5t，

设甲先骑车到A1后改为步行，乙步行到到B1换成骑车，因为甲留车处恰为乙骑车处，所以A1和B1距起点的距离相等，即A1B1∥t轴，且A1、B1必分别在l1、l2上，

又设两人第一次相遇在C1，则因A1C1为步行，B1C1为乙骑车，

∴A1C1∥l2，B1C1∥l1，从而四边形OA1C1B1为平行四边形.

再设第一次换车时距离起点的路程为S1，则A1(，S1)，B(，S1).

在平行四边形OA1C1B1中，由OC1与A1B1的中点相同可求得C1的坐标为(，2S1)，

于是直线OC的斜率为k＝＝.

同理，设第二次换车时距起点的路程为S2，第二次相遇在C2，则

根据A2B2∥t轴，A1A2∥l2，B1B2∥l1，C1为A1A2和B1B2的中点可求得A2(，S2)，B(，S2)，

再根据四边形C1B2C2A2是平行四边形，可以求得C2的坐标为C2((S2－S1)，2(S2－S1))，

于是，直线OC2的斜率为＝，

如此下去，均可求得两人各次相遇的点C1，C2，C3，…，Cn必定都在直线S＝t上，

又由题意知，欲使两人都能到达目的地的时间最短，必须两人同时到达，

即某一次的相遇点Cn恰好落在目的地，

因此，所求的最短时间t应满足关系式t＝15，解之，得t＝=2(h).

答：最少需要2小时都能到达目的地.

点拨：从上面的解答过程可以看出，所求最短时间与两人骑车、步行的改换次数无关，即无论两人在途中将骑车与步行怎样改来换去，只要是两人同时到达目的地，所需时间均为2小时.

三﹑点与圆的位置关系的应用

例1有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用如下：单位距离A地的运费是B地运费的3倍.已知A、B两地的距离为10km，顾客选A地或B地购买这件商品的标准为包括运费和价格的总费用较低.求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.

分析：通过建立直角坐标系，利用等式A地运费＋价格＝B地运费＋价格，建立等式可以发现A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状为圆，再利用点与圆的位置关系可确定购货地点.

解：以A、B所确定的直线为x轴，A、B的中点O为坐标原点，建立坐标系，如图所示，根据题意，有A(－5,0)，B(5,0)，设某地P的坐标为(x,y)，并设A地运费为3a元/km，B地运费为a元/km，

因此，当由P地到A、B两地购货总费用相等时，有A地运费＋价格＝B地运费＋价格，

所以3a＝a，因为a＞0，所以3＝，

两边平方整理，得(x＋)2＋y2＝()2.

(1)当P点在(－,0)为圆心，为半径的圆上时，居民到A、B两地购货总费用相等.

(2)当P点在上述圆内时，(x＋)2＋y2＜()2，

[9(x＋5)2＋9y2]－[(x－5)2＋y2]＝8[(x＋)2＋y2－()2]＜0，所以3＜，

故此时到A地购货最合算.

(3)当P点在上述圆外时，同理可知，此时到B地购货最合算.

点评：以点(－,0)为圆心，为半径的圆就是A、B两地售货区域的分界线，掌握了这一分界线不仅对进货者有利，而且使商家能有效掌握售货情况.

四、直线与圆的位置关系的应用

例2某城市规划交通，拟在半径为50m的高架圆形道东侧某处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引伸一条直道接到距圆形道圆心正北150m处的道路上.试建立适当坐标系，写出引伸直道的方程，并计算出口应开在圆形道何处？

分析：通过建立直角坐标系，把实际的问题(高架圆形道东侧某处开一个出口，以与圆形道相切)转化为数学的问题(在点C处引圆O的切线，求切点P的坐标)，利用直线与圆的位置关系加以分析求解.

解析：以圆形道圆心O原点，正北方向为y轴正向，建立直角坐标系，如图，则圆形道的方程为x2＋y2＝502，引伸直与北向道路的交接点C坐标为(0,150)，

设出口开在圆形道的点P处，问题的几何表述是：在点C处引圆O的切线，求切点P的坐标，

设点P坐标为(x0,y0)，因为P是PC与圆O相切的切点，则PC方程可以表示为x0x＋y0y＝502，

因为点C在PC上，以其坐标(0,150)代入得150y0＝2500，y0＝，

因为P在圆O上，以其坐标(x0,y0)代入圆方程，又得x＋()2＝502，x0＝±，

据实际问题，因为点P在圆心O的东侧，故应取x0＝，

所以引伸直道在所建坐标系中的方程为(2x＋y)＝502，即2x＋y＝150，出口点P在所建坐标系中的坐标为(,).

点评：转化思想是实际问题数学化的重要解题思想，通过转化实际问题转化为纯粹的数学问题，再利用数学知识加以求解.而在转化过程中要结合实际问题中的具体要求，达到实际问题数学化，又不脱离现实实际.