高中数学人教版新课标B必修22.3.3直线与圆的位置关系教案设计

2.3.3  直线与圆的位置关系

一、选择题

1．如果a2＋b2＝c2，那么直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)

A．相交    B．相切

C．相离    D．相交或相切

[答案]　C

[解析]　圆的半径r＝1，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝4>1.故选C.

2．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)

A．1个    B．2个

C．3个    D．4个

[答案]　C

[解析]　圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0的圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝2，如图所示，圆心C到直线x＋y＋1＝0的距离为，故过圆心C与直线x＋y＋1＝0平行的直线l与圆的两个交点A、B到直线x＋y＋1＝0的距离为.又圆的半径r＝2，故过圆心C作直线x＋y＋1＝0的垂线，并延长与圆的交点C′到直线x＋y＋1＝0的距离为，故选C.

3．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是(　　)

A．在圆上    B．在圆外

C．在圆内    D．以上均有可能

[答案]　B

[解析]　几何法：圆心(0,0)到直线距离小于1，

∴<1，∴a2＋b2>1，

∴点P(a，b)在圆x2＋y2＝1外．

4．与圆x2＋(y－2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有(　　)

A．6条    B．4条

C．3条    D．2条

[答案]　C

[解析]　在两轴上截距相等，分两种情形：

①过原点，截距都是0，设为y＝kx，由(0,2)到y＝kx距离为，

∴＝，∴k＝±1.

②不过原点设截距均为a，则方程为x＋y＝a.

同样可得：＝，∴a＝4，共有3条．

5．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长是(　　)

A.　　 　  B. 　　 　

C．1　 　 　 D.

[答案]　A

[解析]　圆心C(2，－2)，半径r＝，

弦心距＝，

∴弦长为2＝.

6．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦为最短的直线的方程为(　　)

A．3x－y－5＝0   

B．x＋3y－5＝0

C．3x－y－1＝0 

D．x＋3y－1＝0

[答案]　B

[解析]　经过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最短的弦是与过该点的直径垂直的直线，

已知圆心(1，－2)，故过(2,1)的直径的斜率为k＝＝3，因此与这条直径垂直的直线的斜率为－，其方程为y－1＝－(x－2)，即为x＋3y－5＝0.

7．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切的直线方程为(　　)

A．y＝－3x或y＝x 

B．y＝3x或y＝－x

C．y＝－3x或y＝－x 

D．y＝3x或y＝x

[答案]　A

[解析]　设所求直线方程为y＝kx，圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝，∴圆心为(2，－1)，半径r＝＝，由题意，得＝，解得k＝－3或.

8．以点P(－4,3)为圆心的圆与直线2x＋y－5＝0相离，则圆P的半径r的取值范围是(　　)

A．(0,2)    B．(0，)

C．(0,2)    D．(0,10)

[答案]　C

[解析]　P到直线的距离d＝＝2，

∵圆与直线相离，∴0<r<2.

二、填空题

9．圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为________．

[答案]　4＋

[解析]　圆心到直线x－y＝3的距离为＝，

∴圆心x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为4＋.

10．自点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，则切线长等于________．

[答案]　3

[解析]　设切线长为l，圆心C(2,3)，|AC|＝，

圆的半径r＝1，∴l2＝|AC|2－r2＝9，∴l＝3.

11．若经过点P(5m＋1,12m)可以作出圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，则实数m的取值范围是__________．

[答案]　m>或m<－

[解析]　这是换一个角度考察点与圆的位置关系，过点P可作出圆的两条切线，∴P在圆外，∴(5m)2＋(12m)2>1，∴m2>，∴m>或m<－.

12．过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.

[答案]　

[解析]　∵(1－2)2＋()2＝3<4，∴点A(1，)在圆内部．当劣弧所对的圆心角最小时，相应弦长最短，此时圆心C(2,0)与点A(1，)的连线垂直于直线l，

∵kAC＝－，∴kl＝.

三、解答题

13．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程：

(1)经过点P(，1)；

(2)经过点Q(3,0)；

(3)斜率为－1.

[解析]　(1)∵()2＋12＝4，∴点P(，1)在圆上，

故所求切线方程为x＋y＝4.

(2)∵32＋02>4，∴点Q在圆外．

设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0.

∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，

∴＝2，k＝±，

∴所求切线方程为y＝±(x－3)，

即2x±y－6＝0.

(3)设圆的切线方程为y＝－x＋b，代入圆的方程，整理得

2x2－2by＋b2－4＝0，∵直线与圆相切，

∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0.解得b＝±2.

∴所求切线方程为x＋y±2＝0.

14．当m为何值时，直线mx－y－m－1＝0与圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0相交、相切、相离？

[解析]　解法一：(代数法)

由，得

(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，

Δ＝4m(3m＋4)，

当Δ＝0，即m＝0或－时，直线与圆相切，

当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，

当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离．

解法二：(几何法)

由已知得圆心坐标为(2,1)，半径r＝2，圆心到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝，

当d＝2，即m＝0或－时，直线与圆相切；

当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离；

当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交．

15．求证：不论k为何值，直线l：kx－y－4k＋3＝0与曲线C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0恒有两个交点．

[解析]　解法一：将直线l与曲线C的方程联立，得

消去y，得(1＋k2)x2－2(4k2＋k＋3)x＋2(8k2＋4k＋3)＝0.③　　　

∵Δ＝4(4k2＋k＋3)2－8(1＋k2)(8k2＋4k＋3)＝12k2－8k＋12＝12>0，

∴方程③有两相异实数根，

因而方程组有两个解，即说明直线l与曲线C恒有两交点．

解法二：当k变化时，由l：k(x－4)＋3－y＝0可知，直线l恒过定点A(4,3)，曲线C是半径r＝2，圆心为C(3,4)的圆．

∵|AC|＝＝<r，

∴直线l与曲线C恒有两个交点．

16．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．

[解析]　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

由圆C与y轴相切得|a|＝r，①

又圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，②

圆心C(a，b)到直线y＝x的距离为d＝，由于弦心距d，半径r及弦的一半构成直角三角形，∴2＋()2＝r2.③

联立①②③解方程组可得，或.

故圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.

17．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．

[解析]　解法一：设光线l所在直线的方程为y－3＝k(x＋3)，则反射点的坐标为(k存在且k≠0)．∵光线的入射角等于反射角，

∴反射线l′所在直线的方程为

y＝－k，即l′：y＋kx＋3(1＋k)＝0.

∵圆(x－2)2＋(y－2)2＝1与l′相切，

∴圆心到l′的距离d＝＝1，

∴k＝－或k＝－，

∴光线l所在直线的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.

解法二：已知圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，如图所示．

可设光线l所在直线方程为y－3＝k(x＋3)，

∵直线l与圆C′相切，

∴圆心C′(2，－2)到直线l的距离

d＝＝1.解得k＝－或k＝－.

∴光线l所在直线的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.