数学必修23.3三角函数的图像与性质教案设计

4.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(学案)

时间：2007.10.18 地点：第二电教室 班级：高三（13） 教者：杨拴运

教学目标：通过对07年考纲中“三角函数图像与性质”内容的解读和命题趋势的了解，同时对06、07两年全国高考试题中涉及到的有关函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质问题的分析和点评，帮助学生在高考复习中能够明确目标，少走弯路，提高复习的命中率。

教学重点、难点：函数y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）的图象、性质，及图象与解析式间的互求。

教学方法：诱思探究教学法

思维方法：数形结合，数形转化

教学用具：多媒体课件

教学过程：

解读考纲和命题趋势

解读考纲

考试要求：（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义．

　　（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示．

　　（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．

命题趋势

三角函数的考查近年主要表现在对三角函数的图像与性质的考查。高考题型大致可以分为如下几类问题：与三角函数单调性有关的问题，与三角函数 图像有关（平移、解析时与图像的互求）的问题，应用同角变换和诱导公式，有求三角函数的值及化简、等式的证明的问题，与周期性和对称性有关的问题，三角形 中的问题等。

知识归纳

⑴一般地，函数y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左（当 φ>0时）或向右（当φ<0时）平行移动|φ|个单位长度 （得y=sin(x+φ)图）,，再把所得各点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的倍（纵坐标不变）（得 y=sin(ωx+φ)图,），再把所得各点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<1时）到原来的Ａ倍（横坐标不变）．

（若先伸缩，再平移时移多少？）

(2)振幅Ａ、周期、相位ωx+φ、初相φ。

(3) y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴是: ωx+φ=kπ+,即 k∈Z.对称中心为:(,0), k∈Z.

(4)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）的

单调递增区间是:ωx+φ∈[2 kπ-,2 kπ+], k∈Z.

单调递减区间是ωx+φ∈[2 kπ+,2 kπ+], k∈Z.

（5）特别提示：

y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中A>0,ω>0）中A、ω、φ对图形变换的作用。

（6）y=cos(ωx+φ)也类似。

习题讲解

（一）图像的平移问题

例1（07湖北）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（　　）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

练习1（07山东）要得到函数的图象，只需将函数的图象是（ ）

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

练习2:若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后将整个图形沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到曲线与的图象相同，求f(x)的表达式（说明具体过程）

〖思维点拨〗本题要注意的是图形变换也是互逆的，但要注意移的方向。

（二）解析式与图像的互求

例2（06四川）下列函数中，图像的一部分如图所示，则解析式为（ ）

A. B.

C. D.

练习3（07宁夏、海南）．函数在区间的简图是（　　）

练习4如图某地一天从６时至１４时的温度变化

曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b

求这段时间的最大温差．

写出这段曲线的函数解析式．

〖思维点拨〗本题虽是实际问题，但实质还是y=Asin(ωx+φ)+b由图得解析式问题。

（三）性质与图像

例3（07考纲模拟题）已知函数.

求函数的最小正周期和最大值；

画出函数在区间的图像。

练习5（07天津17题）已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．

〖思维点拨〗利用三角函数的性质。

课堂小结

对于三角函数的变换问题，要注意y=sin(x+φ)→y=sin(ωx+φ)与

y=sinωx→y=sin(ωx+φ)的区别，不同名的要先化为同名。

2、由图象求解析式 y=Asin(ωx+φ)+b时一般先确定平衡位置，再确定A，ω的大小，确定φ时要用特殊点代入。

研究高次或多个三角函数组合在一起的函数的性质时，一般先将原函数化成

y=Asin(ωx+φ)+b的形式后再研究。

布置作业

高考总复习《优化设计》第四章优化测控

六、课后反思.