沪教版高中一年级 第二学期5.1任意角及其度量同步练习题

第二十七教时

教材：复习六——解斜三角形

目的：巩固对正弦、余弦的掌握，并能较熟练地应用解决具体问题。

过程：

一、 复习：1两个定理   2两个定理能解决的问题

二、 例题：

1． 证明射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA

证一：右边 == 左边

证二：右边 = 2RsinBcosC + 2RsinCcosB=2Rsin(B+C)=2RsinA= a = 左边

其余两式同

2． 已知：在△ABC中，A=45，AB=，BC=2，解此三角形。

解一：

      ∴当C = 60时,  B = 75   ∴

∴当C = 120时,  B = 15   ∴

         解二：设AC = b，由余弦定理：

即：    解得：

再由余弦定理：  ∴C = 60或120, B = 75或15

3． 在△ABC中，若，判断△ABC的形状。

解一：由正弦定理：

∴2A = 2B 或 2A = 180  2B  即：A= B 或 A + B = 90

∴△ABC为等腰或直角三角形

解二： 由题设：

化简：b2(a2 + c2  b2) = a2(b2 + c2  a2)  ∴(a2 b2)(a2 + b2  c2)=0

∴a = b或 a2 + b2 = c2   ∴△ABC为等腰或直角三角形

4． 如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得

山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为

15，向山顶前进100m后，又从点B测得

斜度为45，假设建筑物高50m，

求此山对于地平面的斜度。

解：在△ABC中，AB = 100m ,  CAB = 15,  ACB = 4515 = 30

由正弦定理：   ∴BC = 200sin15

在△DBC中，CD = 50m ,  CBD = 45,  CDB = 90 + 

由正弦定理：cos =  ∴ = 42.94

5． 一块直径为30cm的圆形铁板，已经截去直径分

别为20cm，10cm的圆形铁板各一块，现要求

在所剩余的铁板中，再截出同样大小的铁板两块，

问：这两块铁板的半径最大有多少cm？

解：设所求最大圆的半径为x，

则在△ABC中：

又在△ACD中：

∴

6． 某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船的方位角为45，与之相距10 nmail的C处，还测得该船正沿方位角105的方向以每小时9 nmail的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21 nmail的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间。

解：设所需时间为t小时，

在点B处相遇（如图）

在△ABC中，ACB = 120, 

AC = 100,  AB = 21t,  BC = 9t

由余弦定理：(21t)2 = 102 + (9t)2  2×10×9t×cos120

整理得：36t2 9t  10 = 0    解得：（舍去）

由正弦定理：

∴CAB = 2147’

7． 在湖面上高h处，测得云彩仰角为，而湖中云彩影的俯角为，

求云彩高。

解：C、C’关于点B对称，设云高CE = x，

则CD = x  h，C’D = x + h，

在Rt△ACD中，

在Rt△AC’D中，

∴    解得：

三、 作业： 《导学•创新》  §5.9   §5.10