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展开一、【例题剖析】
例1过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
解析 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得
则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得
例2若一条直线经过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且原点到它的距离为1,求该直线的方程.
解 设过两条直线交点的直线方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0,即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0.因为原点到所求直线的距离为1,
解得λ2=9,即λ=±3.故所求直线的方程为x=1或4x-3y+5=0.
二、【课程的主要内容】
方法技巧1.求直线的方程、圆的方程的方法主要有两种:直接法和待定系数法,其中待定系数法应用最广泛,它是指首先设出所求直线的方程或圆的方程,然后根据题目条件确定其中的参数值,最后代入方程即得所要求的直线方程或圆的方程.2.选择合适的直线方程、圆的方程的形式是很重要的.一般情况下,与截距有关的,可设直线的斜截式方程或截距式方程;与斜率有关的,可设直线的斜截式或点斜式方程等.与圆心和半径相关时,常设圆的标准方程,其他情况下设圆的一般方程.
变式训练1求经过点A(-2,-4)且与直线l:x+3y=26相切于点B(8,6)的圆C的一般方程.
解 设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为点A(-2,-4),B(8,6)在圆C上,CB⊥l,所以
故圆C的一般方程为x2+y2-11x+3y-30=0.
方法技巧1.数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,即把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题,理解问题并解决问题的思维方法.数形结合一般包括两个方面,即以“形”助“数”,以“数”解“形”.2.本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题,如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”,因此这些问题若利用直观的几何图形处理会得到很好的效果.
变式训练2(1)已知B(3,4),求圆x2+y2=4上的点与B的最大距离和最小距离.(2)已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点.求x2+y2的最大值和最小值.
(1)解 如图所示,设直线BO与圆交于P,Q两点,P'是圆上任意一点.则|BP'|+|P'O|≥|BO|=|OP|+|BP|,∴|BP'|≥|BP|.∴P是圆上与B距离最近的点.∵|BP'|≤|BO|+|OP'|=|BO|+|OQ|=|BQ|,∴Q是圆上与B距离最远的点.
∴|BP|=3,|BQ|=7.∴圆上的点与B的最大距离为7,最小距离为3.
(2)解 圆的方程化为(x-3)2+(y-2)2=1,圆心为(3,2),半径为1.
例5已知直线l:y=3x+3,求:(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标;(2)直线l1:y=x-2关于l的对称直线的方程.
把(x1,y1)代入y=x-2,整理得7x2+y2+22=0,所以l2方程为7x+y+22=0.
例6已知圆C:x2+y2+Dx-6y+1=0上有两点P,Q关于直线x-y+4=0对称.(1)求圆C的半径;(2)若OP⊥OQ,其中O为坐标原点,求直线PQ的方程;(3)直线l:(2m-1)x-(m-1)y+8m-6=0被圆C截得弦长最短时,求m的值.
所以x1·x2+(-x1+b)(-x2+b)=0.所以2x1·x2-b(x1+x2)+b2=0.则b2-6b+1+b(4-b)+b2=0,即b2-2b+1=0,解得b=1.经检验满足Δ=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0.所以直线PQ的方程为y=-x+1.
(3)直线l的方程可化为m(2x-y+8)=x-y+6,
方法技巧1.中心对称(1)两点关于点对称:设P1(x1,y1),P(a,b),则P1(x1,y1)关于P(a,b)对称的点为P2(2a-x1,2b-y1),即P为线段P1P2的中点;特别地,P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y).(2)两条直线关于点对称:设直线l1,l2关于点P对称,这时其中一条直线上任一点关于P对称的点都在另外一条直线上,并且l1∥l2,P到l1,l2的距离相等.
三、【拓展学习】
2.轴对称(1)两点关于直线对称:设P1,P2关于直线l对称,则直线P1P2与l垂直,且P1P2的中点在l上,解决这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.(2)两条直线关于直线对称:设l1,l2关于直线l对称.①当三条直线l1 ,l2,l共点时,l上任意一点到l1,l2的距离相等,并且l1,l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上;②当l1∥l2∥l时,l1到l的距离等于l2到l的距离.
3.涉及圆的对称问题,主要把握住圆心;涉及的计算公式,同直线中的计算公式.特别地,直线f(x,y)=0关于直线y=x+a的对称直线方程为f(y-a,x+a)=0,直线f(x,y)=0关于直线y=-x+a的对称直线方程为f(a-y,a-x)=0,可以很方便地求解很多对称问题.
(2)已知圆x2+y2+4x-8y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称,则a-b的取值范围是 .
答案 (1)D (2)(-∞,12)
解析 (1)设两圆的圆心分别为A,B,因此原题可转化为在直线y=x上找一个点P,使|PB|-|PA|最大,即只需作点B关于直线y=x的对称点B',显然B'的坐标是(0,2),从而可知原点即为要求的点.故|PN|-|PM|的最大值为
(2)圆方程可化为(x+2)2+(y-4)2=20-a,则圆心为(-2,4),且20-a>0,即a<20.又圆关于y=2x+b成轴对称,所以点(-2,4)在直线y=2x+b上,所以b=8,所以a-b<12.
例7已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程.分析先根据椭圆的定义列出关系式,再将其坐标化即可.
解 ∵|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的一支.又c=7,a=1,b2=48,
例8设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹.
解设动点P的坐标为(x,y).
当a=1时,P点的轨迹为直线x=0,即y轴.
变式训练4(1)设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程是( )A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2C.y2=2x D.y2=-2x(2)过双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程.
(2)解 设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1),则点N的坐标为(2x-x1,2y-y1).因为点N在直线x+y=2上,所以2x-x1+2y-y1=2.①又因为PQ垂直于直线x+y=2,
将③④代入⑤,得动点P的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0.
例9已知中心在坐标原点的双曲线C与抛物线x2=2py(p>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF⊥y轴,则双曲线的离心率为( )
解析 因为双曲线与抛物线有相同的焦点,所以2c=p.①设双曲线的另一焦点为F1,则AF=p,FF1=p,
变式训练5(1)2019年1月3日10点26分(北京时间),“嫦娥四号”探测器成功着陆月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近的预选着陆区,并通过“鹊桥”中继星传回了月背影像图,揭开了古老月背的神秘面纱.如图所示,假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用e1和e2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率,则( )
A.e1>e2B.e1
(2)如图所示.根据余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|AB|·|BF|cs∠ABF,即|BF|2-16|BF|+64=0,得|BF|=8.又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB|·|BF|cs∠ABF,得|OF|=5.根据椭圆的对称性|AF|+|BF|=2a=14,得a=7.
(3)由圆x2+y2=a2+b2,得x2+y2=c2,∴圆过焦点F1和F2.∴∠F1PF2=90°.又2∠PF1F2=∠PF2F1,
消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.依题意得Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即3+4k2=m2.
即x0(1-t)+t2-4t+3=0.由x0的任意性,得1-t=0且t2-4t+3=0,解得t=1.综上可知,以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).
方法技巧圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
变式训练6已知抛物线C的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点A(1,2)为抛物线C上一点.(1)求抛物线C的方程;(2)若点B(1,-2)在抛物线C上,过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ,若kBP·kBQ=-2,求证:直线PQ过定点.
(2)证明 因为点B(1,-2)在抛物线C上,所以由(1)可得抛物线C的方程是y2=4x.易知直线BP,BQ的斜率均存在,设直线BP的方程为y+2=k(x-1),将直线BP的方程代入y2=4x,消去y,得k2x2-(2k2+4k+4)x+(k+2)2=0.设P(x1,y1),则
在上述方程中,令x=3,解得y=2,所以直线PQ恒过定点(3,2).
(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值,并说明理由.
(1)证明 ∵k1,k2均存在,∴x1x2≠0.
②当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+b.联立得方程组
消去y并整理得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0,其中Δ=(8kb)2-4(4k2+1)(4b2-4)=16(1+4k2-b2)>0,即b2<1+4k2.
综合①②,△POQ的面积S为定值1.
方法技巧圆锥曲线中定值问题的两大解法①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;②引起变量法:其解题流程为
变式训练7已知直线l过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,且垂直于抛物线的对称轴,l与抛物线两交点间的距离为2.(1)求抛物线C的方程;(2)若点P(2,2),过点(-2,4)的直线m与抛物线C相交于A,B两点,设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2.求证:k1k2为定值,并求出此定值.
(1)解 由题意可知,2p=2,解得p=1,则抛物线的方程为x2=2y.
(2)证明 由题易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为y-4=k(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立抛物线x2=2y与直线y-4=k(x+2)的方程消去y得x2-2kx-4k-8=0,其中Δ=4(k2+4k+8)>0恒成立,可得x1+x2=2k,x1x2=-4k-8,则k1k2=-1.因此k1k2为定值,且该定值为-1.
解析 如图,过点M作抛物线的准线l的垂线,垂足为E.由抛物线的定义知|MF|=|ME|.当点M在抛物线上移动时,|ME|+|MA|的值在变化,显然当M移到M'时,A,M',E'三点共线,|M'E'|+|M'A|最小,此时AM'∥Ox.把y=-2代入y2=8x,
例14已知F1,F2为椭圆x2+ =1的两个焦点,AB是过焦点F1的一条动弦,求△ABF2面积的最大值.分析△ABF2的面积是由直线AB的斜率k确定的,因此可构建以k为自变量的目标函数,用代数的方法求函数的最大值.
解 由题意,知|F1F2|=2.经分析,当直线AB的斜率不存在时,不满足题意.故设直线AB的方程为y=kx+1,
方法技巧与圆锥曲线有关的最值问题,大都是些综合性问题,解法灵活,技巧性强,涉及代数、三角、几何诸方面的知识,这类问题的求解策略与方法如下:(1)平面几何法.平面几何法求最值问题,主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解.(2)目标函数法.建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题,是常规方法,其关键是选取适当的变量建立目标函数.
变式训练8(1)长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,则M点到y轴的最短距离为 .
(2)如图,点P(0,-1)是椭圆C1: =1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.①求椭圆C1的方程;②求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为y=kx-1.
当l⊥x轴时,|RS|=3.(1)求椭圆C的标准方程;(2)在x轴上是否存在一点T,使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称?若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)当直线l垂直于x轴时,显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称.当直线l不垂直于x轴时,假设存在T(t,0)满足条件,设l的方程为y=k(x-1),R(x1,y1),S(x2,y2).
其中Δ>0恒成立,由TS与TR所在直线关于x轴对称,得kTS+kTR=0(显然TS,TR的斜率存在),即
则t=4,综上所述,存在T(4,0),使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称.
方法技巧此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.
变式训练9已知动点P到定点F(1,0)和到直线x=2的距离之比为 ,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与AB相交于一点(交点位于线段AB上,且与A,B不重合).(1)求曲线E的方程;(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值?若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.
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