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2020-2021学年第4章 数列4.3 等比数列习题课件ppt
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这是一份2020-2021学年第4章 数列4.3 等比数列习题课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了等比数列的实际应用，反思感悟，知识梳理，注意点，等比数列的综合应用，随堂演练，课时对点练等内容，欢迎下载使用。
1.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.
2.理解等比数列的常用性质.
3.掌握等比数列的判定及证明方法.
一、等比数列的实际应用
二、等差数列与等比数列的转化
从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.∴n年后车的价值为an＋1＝(13.5×0.9n)万元.
某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题.
有纯酒精a(a>1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用 水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精___________升.
则第九次和第十次共取出纯酒精数量为
等差数列与等比数列的转化
问题1 若等差数列an＝2n＋1，那么数列{22n＋1}是等差或等比数列吗？
问题2 若等比数列an＝2n，则{lg an}为等差数列吗？
提示 若等比数列an＝2n，则bn＝lg an＝lg 2n＝nlg 2是关于n的一次函数，是等差数列.
1.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列 是等比数列.2.若数列{an}是公比为q(q>0)的等比数列，则数列{lgaan}是等差数列.
(1)其底数a满足a>0，且a≠1；(2)等比数列 的公比为ad；(3)等差数列{lgaan}的公差为lgaq.
已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝ ，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
依题意得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
延伸探究 已知各项均为正数的等比数列{an}满足：a4＝128，a8＝215.设bn＝lg2an，求证：数列{bn}是等差数列，并求其通项公式.
设等比数列{an}的公比为q，
∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，
又∵bn－bn－1＝lg2an－lg2an－1＝lg24＝2(n≥2)，b1＝lg2a1＝1，∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴bn＝2n－1.
在等差数列与等比数列相互转化的过程中，相当于构造了一个新的数列，需判断是否满足等比数列或等差数列的定义.
数列{an}满足lg2an－1＝lg2an＋1(n∈N*)，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n，则lg2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)的值是A.n－1 B.n＋1 C.2n－1 D.2n＋1
由lg2an－1＝lg2an＋1，即lg2an＋1－lg2an＝－1，
∵a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n，
则lg2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝n－1.
设数列{an}的公差为d，由题意知
已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值.
即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.
解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用.(2)对于解答题注意基本量及方程思想.(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题.(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系.
解得a1＝1，q＝2.
若等比数列{an}满足2a1＋a2＋a3＝a4，a5－a1＝15.(1)求数列{an}的首项a1和公比q；
(2)若an>n＋100，求n的取值范围.
由(1)可知an＝2n－1，即2n－1>n＋100，验证可得n≥8，n∈N*.
1.知识清单： (1)等比数列的实际应用. (2)等差数列与等比数列的相互转化. (3)等比数列的综合应用.2.方法归纳：公式法、构造法.3.常见误区：在应用题中，容易忽视数列的首项和项数.
1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成A.64个 B.128个 C.256个 D.255个
某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256个.
2.已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为A.100 B.－100 C.10 000 D.－10 000
∴a8＝102＝100.
3.若a，b，c成等比数列，其中a，b，c均是不为1的正数，n是大于1的整数，那么lgan，lgbn，lgcnA.是等比数列B.是等差数列C.每项取倒数成等差数列D.每项取倒数成等比数列
∵{an}为等差数列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.
1.在正项等比数列{an}中，a2a7＝4，则lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a8等于A.2 B.4 C.6 D.8
原式＝lg2(a1a2a3…a8)＝lg2(a2a7)4＝4lg24＝8.
因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，
设数列{an}的公差为d，且d≠0，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，所以a1＝2d，
3.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为A.－24 B.－3 C.3 D.8
即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝0(舍去)或d＝－2，
4.已知a1，a2，a3，…，an为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则A.a1＋a8>a4＋a5B.a1＋a80,1－q4>0，所以a1(1－q3)(1－q4)>0，所以a1＋a8>a4＋a5.所以恒有a1＋a8>a4＋a5.
由{an}是等差数列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，故a，b，c成等比数列，若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列.
∵a1正负不确定，故B错误；∵a10正负不确定，∴由a10＞b10，不能确定b10的符号，故C错误；
由于a9，a10异号，因此a9<0或a10<0，故b9<0或b10<0，且b1＝12，可得等差数列{bn}一定是递减数列，即d＜0，即有b9＞b10，故D正确.
7.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝_____.
由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.∵a1，a3，a4成等比数列，
∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.
8.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________.
9.某公司在转型改制过程中，其销售额受到严重影响，从2020年的7月销售收入128万元，9月跌至32万元，你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时候跌至每月销售收入8万元？
设每月平均下降的百分比为x，则每月的销售收入构成了等比数列{an}，a1＝128，则a2＝a1(1－x)，a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，解得x＝50%.设an＝8，an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5，即从2020年7月算起第5个月，也就是在2020年的11月该公司的销售收入跌至8万元.
10.在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0.设bn＝lg2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求证：数列{bn}是等差数列；
因为bn＝lg2an，
所以数列{bn}为等差数列且公差d＝lg2q.
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an.
因为b1＋b3＋b5＝6，所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.又因为a1>1，所以b1＝lg2a1>0，又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，
又因为d＝lg2q＝－1，
即a1＝16，所以an＝25－n(n∈N*).
因为{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，
代入可得(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，
根据等比数列的性质可得a10a11＝a9a12，所以a10·a11＝e5.令S＝ln a1＋ln a2＋…＋ln a20，则S＝ln a20＋ln a19＋…＋ln a1，于是2S＝20ln(a1a20)＝20ln(a10a11)＝20ln e5＝100，所以S＝50.
13.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝_____.
14.若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是_______________.
an＝3·(－1)n－1
由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，∴an＝－an－1(n≥2)，又a1＝3，故{an}是首项为3，公比为－1的等比数列，∴an＝3·(－1)n－1.
15.已知a1，a2，a3，…，an是各项不为零的n(n≥4)项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则n的值为A.4 B.6 C.7 D.无法确定
当n≥6时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列，又是等比数列，则该数列为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意，则n＝4或n＝5.当n＝5时，由以上分析可知，只能删掉第三项，此时a1a5＝a2a4⇒a1(a1＋4d)＝(a1＋d)(a1＋3d)⇒d＝0，不满足题意.故n＝4.验证过程如下：当n＝4时，有a1，a2，a3，a4.将此数列删去某一项得到的数列(按照原来的顺序)是等比数列.如果删去a1或a4，则等于有3个项既是等差又是等比，不满足题意.故可以知道删去的是a2或a3.
如果删去的是a2，则a1∶a3＝a3∶a4，故a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，整理得到3a1d＝4a1d＋4d2，即4d2＋a1d＝0，
如果删去的是a3，则a1∶a2＝a2∶a4，故a1(a1＋3d)＝(a1＋d)2，
而a1＝1适合上式，∴an＝n.
∴nan＋1－nan＝n，∴an＋1－an＝1，∴数列{an}是从第2项起的等差数列，且首项为a2＝2，公差为1，∴an＝2＋(n－2)×1＝n(n≥2).而a1＝1适合上式，∴an＝n.
(2)是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.
1.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.
2.理解等比数列的常用性质.
3.掌握等比数列的判定及证明方法.
一、等比数列的实际应用
二、等差数列与等比数列的转化
从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.∴n年后车的价值为an＋1＝(13.5×0.9n)万元.
某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题.
有纯酒精a(a>1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用 水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精___________升.
则第九次和第十次共取出纯酒精数量为
等差数列与等比数列的转化
问题1 若等差数列an＝2n＋1，那么数列{22n＋1}是等差或等比数列吗？
问题2 若等比数列an＝2n，则{lg an}为等差数列吗？
提示 若等比数列an＝2n，则bn＝lg an＝lg 2n＝nlg 2是关于n的一次函数，是等差数列.
1.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列 是等比数列.2.若数列{an}是公比为q(q>0)的等比数列，则数列{lgaan}是等差数列.
(1)其底数a满足a>0，且a≠1；(2)等比数列 的公比为ad；(3)等差数列{lgaan}的公差为lgaq.
已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝ ，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
依题意得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
延伸探究 已知各项均为正数的等比数列{an}满足：a4＝128，a8＝215.设bn＝lg2an，求证：数列{bn}是等差数列，并求其通项公式.
设等比数列{an}的公比为q，
∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，
又∵bn－bn－1＝lg2an－lg2an－1＝lg24＝2(n≥2)，b1＝lg2a1＝1，∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴bn＝2n－1.
在等差数列与等比数列相互转化的过程中，相当于构造了一个新的数列，需判断是否满足等比数列或等差数列的定义.
数列{an}满足lg2an－1＝lg2an＋1(n∈N*)，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n，则lg2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)的值是A.n－1 B.n＋1 C.2n－1 D.2n＋1
由lg2an－1＝lg2an＋1，即lg2an＋1－lg2an＝－1，
∵a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n，
则lg2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝n－1.
设数列{an}的公差为d，由题意知
已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值.
即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.
解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用.(2)对于解答题注意基本量及方程思想.(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题.(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系.
解得a1＝1，q＝2.
若等比数列{an}满足2a1＋a2＋a3＝a4，a5－a1＝15.(1)求数列{an}的首项a1和公比q；
(2)若an>n＋100，求n的取值范围.
由(1)可知an＝2n－1，即2n－1>n＋100，验证可得n≥8，n∈N*.
1.知识清单： (1)等比数列的实际应用. (2)等差数列与等比数列的相互转化. (3)等比数列的综合应用.2.方法归纳：公式法、构造法.3.常见误区：在应用题中，容易忽视数列的首项和项数.
1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成A.64个 B.128个 C.256个 D.255个
某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256个.
2.已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为A.100 B.－100 C.10 000 D.－10 000
∴a8＝102＝100.
3.若a，b，c成等比数列，其中a，b，c均是不为1的正数，n是大于1的整数，那么lgan，lgbn，lgcnA.是等比数列B.是等差数列C.每项取倒数成等差数列D.每项取倒数成等比数列
∵{an}为等差数列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.
1.在正项等比数列{an}中，a2a7＝4，则lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a8等于A.2 B.4 C.6 D.8
原式＝lg2(a1a2a3…a8)＝lg2(a2a7)4＝4lg24＝8.
因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，
设数列{an}的公差为d，且d≠0，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，所以a1＝2d，
3.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为A.－24 B.－3 C.3 D.8
即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝0(舍去)或d＝－2，
4.已知a1，a2，a3，…，an为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则A.a1＋a8>a4＋a5B.a1＋a8
由{an}是等差数列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，故a，b，c成等比数列，若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列.
∵a1正负不确定，故B错误；∵a10正负不确定，∴由a10＞b10，不能确定b10的符号，故C错误；
由于a9，a10异号，因此a9<0或a10<0，故b9<0或b10<0，且b1＝12，可得等差数列{bn}一定是递减数列，即d＜0，即有b9＞b10，故D正确.
7.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝_____.
由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.∵a1，a3，a4成等比数列，
∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.
8.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________.
9.某公司在转型改制过程中，其销售额受到严重影响，从2020年的7月销售收入128万元，9月跌至32万元，你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时候跌至每月销售收入8万元？
设每月平均下降的百分比为x，则每月的销售收入构成了等比数列{an}，a1＝128，则a2＝a1(1－x)，a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，解得x＝50%.设an＝8，an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5，即从2020年7月算起第5个月，也就是在2020年的11月该公司的销售收入跌至8万元.
10.在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0.设bn＝lg2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求证：数列{bn}是等差数列；
因为bn＝lg2an，
所以数列{bn}为等差数列且公差d＝lg2q.
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an.
因为b1＋b3＋b5＝6，所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.又因为a1>1，所以b1＝lg2a1>0，又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，
又因为d＝lg2q＝－1，
即a1＝16，所以an＝25－n(n∈N*).
因为{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，
代入可得(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，
根据等比数列的性质可得a10a11＝a9a12，所以a10·a11＝e5.令S＝ln a1＋ln a2＋…＋ln a20，则S＝ln a20＋ln a19＋…＋ln a1，于是2S＝20ln(a1a20)＝20ln(a10a11)＝20ln e5＝100，所以S＝50.
13.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝_____.
14.若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是_______________.
an＝3·(－1)n－1
由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，∴an＝－an－1(n≥2)，又a1＝3，故{an}是首项为3，公比为－1的等比数列，∴an＝3·(－1)n－1.
15.已知a1，a2，a3，…，an是各项不为零的n(n≥4)项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则n的值为A.4 B.6 C.7 D.无法确定
当n≥6时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列，又是等比数列，则该数列为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意，则n＝4或n＝5.当n＝5时，由以上分析可知，只能删掉第三项，此时a1a5＝a2a4⇒a1(a1＋4d)＝(a1＋d)(a1＋3d)⇒d＝0，不满足题意.故n＝4.验证过程如下：当n＝4时，有a1，a2，a3，a4.将此数列删去某一项得到的数列(按照原来的顺序)是等比数列.如果删去a1或a4，则等于有3个项既是等差又是等比，不满足题意.故可以知道删去的是a2或a3.
如果删去的是a2，则a1∶a3＝a3∶a4，故a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，整理得到3a1d＝4a1d＋4d2，即4d2＋a1d＝0，
如果删去的是a3，则a1∶a2＝a2∶a4，故a1(a1＋3d)＝(a1＋d)2，
而a1＝1适合上式，∴an＝n.
∴nan＋1－nan＝n，∴an＋1－an＝1，∴数列{an}是从第2项起的等差数列，且首项为a2＝2，公差为1，∴an＝2＋(n－2)×1＝n(n≥2).而a1＝1适合上式，∴an＝n.
(2)是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.
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