数学九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角导学案

第二十四章  圆

24.1  圆的有关性质

24.1.3  弧、弦、圆心角

学习目标：1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.

2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.

3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.

重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.

难点：理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.

一、知识链接

1.已知△AOB，作出绕O点旋转45°，60°的图形.

2.想一想 圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？

二、要点探究

探究点1：圆心角的定义

问题1 观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？

概念学习.顶点在圆心的角，叫做圆心角，如∠AOB.

判一判  判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.

如图,圆心角∠AOB 所对的弧为.圆心角∠AOB所对的弦为AB.

想一想：圆心角、弧、弦之间有什么关系？

探究点2：圆心角、弧、弦之间的关系

观察 

1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？

2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？

问题1  在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，与，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？

问题2  如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？

要点归纳：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等；

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？

辨一辨

1.等弦所对的弧相等.               (    )

2.等弧所对的弦相等.               (    )

3.圆心角相等，所对的弦相等.       (    )

探究点3：圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用

典例精析

例1  如图，AB 是⊙O 的直径，，∠COD=35°，求∠AOE 的度数.

例2  (教材P84例3)如图，在⊙O中，，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.

例3  如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，.求证：AB＝CD.

变式1  如图，在⊙O中，AD=BC，求证：DC=AB．

变式2    如图，在⊙O中，DC=AB，求证：AD=BC．  

三、课堂小结

1.如果两个圆心角相等，那么 (    )

A.这两个圆心角所对的弦相等

B.这两个圆心角所对的弧相等

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等

D.以上说法都不对

2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于        .

3.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．

(1) 如果AB=CD，那么          ，          ．

(2) 如果，那么_________，          ．

(3) 如果∠AOB=∠COD，那么          ，          ．

(4) 如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？

4.已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．

5.如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且BD∥OC，求证：．

能力提升：

如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么成立吗？CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不成立，那它们之间的关系又是什么？

1.解：图略；

2.解：是，对称中心为圆心.

课堂探究

二、要点探究

探究点1：圆心角的定义

问题1： 顶点在圆心上

判一判

①②③不是圆心角，因为三个角的顶点均不在圆心上；④是圆心角，

探究点2:圆心角、弧、弦之间的关系

观察：1. 重合，圆是中心对称图形.

2.   重合，圆是旋转对称图形，具有旋转不变性

问题1  在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么=，弦AB=弦CD.

问题2  成立.

想一想  不能去掉；如图，显然，＞，弦AB＞弦CD.

辨一辨：1.×   2.√   3.×

探究点3:圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用

典例精析

例1  解：∵，∴∠BOC=∠COD=∠DOE=35°，∴∠AOE=180°-3×35°=75°.

例2:证明：,∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形．又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.

例3：证明：∵，∴∴∴AB=CD.

变式1：证明：∵AD=BC，∴.∴∴∴DC=AB.

变式2：证明：∵DC=AB，∴∴∴∴AD=BC.

当堂检测

1.D  2.60°

3.（1）  ∠AOB=∠COD     （2）AB =CD   ∠AOB=∠COD

(3)   AB=CD

（4）解：OE=OF.理由如下：∵OE⊥AB，OF⊥CD，AE=AB，CF=CD.∵AB=CD，∴AE=CF.∵OA=OC，∴Rt△AOE=Rt△COF.∴OE=OF.

4.证明：∵AB=CD（已知），∴.∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，

即∠AOC=∠BOD．

5.证明：∵OB=OD，∴∠D=∠B，∵BD∥OC，∴∠D=∠COD，∠AOC=∠B，

∴∠AOC=∠COD，∴

能力提升

答：成立，CD=2AB不成立.如图：取的中点E，连接OE.

那么∠AOB=∠COE=∠DOE，所以 ∴，弦AB=CE=DE，

在△CDE中，CE+DE>CD，即CD＜2AB.