高中数学人教版新课标B必修1本节综合第1课时学案设计
展开学习目标 1.理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个简单集合的交集和并集.2.能使用维恩图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
知识点一 交集
1.交集
2.交集的运算性质
(1)A∩B=B∩A.
(2)A∩A=A.
(3)A∩∅=∅∩A=∅.
(4)如果A⊆B,则A∩B=A,反之也成立.
知识点二 并集
1.并集
2.并集的运算性质
(1)A∪B=B∪A.
(2)A∪A=A.
(3)A∪∅=∅∪A=A.
(4)如果A⊆B,则A∪B=B,反之也成立.
思考 (1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况?
(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和?
答案 (1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况:x∈A,但x∉B;x∈B,但x∉A;x∈A且x∈B.用维恩图表示如图所示.
(2)不等于.A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和.
1.设集合M={4,5,6,8},N={3,5,7,8},则M∪N=________.
答案 {3,4,5,6,7,8}
解析 ∵M={4,5,6,8},N={3,5,7,8},
∴M∪N={3,4,5,6,7,8}.
2.已知集合A={-1,0,1,2},B={-1,0,3},则A∩B=________.
答案 {-1,0}
解析 由A={-1,0,1,2},B={-1,0,3},
得A∩B={-1,0}.
3.已知A=(1,+∞),B=(0,+∞),则A∪B=________,A∩B=________.
答案 (0,+∞) (1,+∞)
解析 A∪B=(1,+∞)∪(0,+∞)=(0,+∞).
A∩B=(1,+∞)∩(0,+∞)=(1,+∞).
4.已知集合M=[-3,1),N=(-∞,-3),则M∩N=________,M∪N=________.
答案 ∅ (-∞,1)
解析 利用数轴表示集合M与N,
可得M∩N=∅,M∪N=(-∞,1).
一、交集的概念及应用
例1 (1)若A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{2} B.{3}
C.{-3,2} D.{-2,3}
答案 A
解析 易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},图中阴影部分表示的集合为A∩B={2}.
(2)(多选)设集合A=[-1,2],B=[0,4],则A∩B等于( )
A.[0,2] B.{x|0≤x≤2}
C.[0,4] D.{x|0≤x≤4}
答案 AB
解析 在数轴上表示出集合A与B,如图所示.
则由交集的定义知,A∩B=[0,2]={x|0≤x≤2}.
反思感悟 求集合A∩B的常用方法
(1)若A,B是列举法表示,则直接利用定义求解.
(2)若A,B的元素是方程的根,则应先解方程求出方程的根后,再求两集合的交集.
(3)若A,B是区间形式,可以利用数轴来求解,但要注意利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心圈表示.
跟踪训练1 (1)若区间A=(-2,1),B=(0,2),则集合A∩B等于( )
A.(-1,1) B.(-2,1)
C.(-2,2) D.(0,1)
答案 D
解析 如图,
因为A=(-2,1),B=(0,2),
所以A∩B=(0,1).
(2)(多选)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.6 B.8 C.12 D.14
答案 BD
解析 ∵8=3×2+2,14=3×4+2,
∴8∈A,14∈A,
∴A∩B={8,14}.
二、并集的概念及应用
例2 (1)设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则M∪N等于( )
A.{0} B.{0,2}
C.{-2,0} D.{-2,0,2}
答案 D
解析 M={x|x2+2x=0,x∈R}={0,-2},N={x|x2-2x=0,x∈R}={0,2},故M∪N={-2,0,2}.
(2)(多选)已知集合M={x|-3
A.{x|x<-5或x>-3}
B.{x|-5
D.(-5,5)
答案 AC
解析 在数轴上表示集合M,N,如图所示,
则M∪N={x|x<-5或x>-3}.
反思感悟 求集合并集的常用方法
(1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解.
(2)数形结合法:若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解.
跟踪训练2 (1)已知区间P=(-1,1),Q=(0,2),那么P∪Q等于( )
A.(-1,2) B.(0,1)
C.(-1,0) D.(1,2)
答案 A
解析 因为P=(-1,1),
Q=(0,2),画数轴如图所示,
所以P∪Q=(-1,2).
(2)(多选)点集A={(x,y)|x<0},B={(x,y)|y<0},则A∪B中的元素可能在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 BCD
解析 由题意得,A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合,所以A∪B中的元素不可能在第一象限,可能是在第二、三、四象限.
三、交集、并集运算的性质及综合运用
例3 已知区间A=(2,4),B=(a,3a)(a>0).
(1)若A∪B=B,求a的取值范围;
(2)若A∩B=∅,求a的取值范围.
解 (1)因为A∪B=B,所以A⊆B,
观察数轴可知,eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2≥a,,4≤3a,))所以eq \f(4,3)≤a≤2.
(2)A∩B=∅有两类情况:B在A的左边和B在A的右边,如图.
观察数轴可知,a≥4或3a≤2,
又a>0,所以0延伸探究
本例条件下,若A∩B=(3,4),求a的值.
解 画出数轴如图,
观察数轴可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=3,,3a≥4,))即a=3.
反思感悟 利用集合交集、并集的性质解题的方法
(1)A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=B⇔A⊆B.
(2)当集合B⊆A时,如果集合A是一个确定的集合,而集合B不确定,运算时要考虑B=∅的情况,切不可漏掉.
跟踪训练3 (1)A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a
答案 C
解析 利用数轴,若A∪B=R,则a≤-1.
(2)若集合A={x|-3≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+9},A∪B=B,则m的取值范围是________,若A∩B=A,则m的取值范围是________.
答案 {m|-2≤m≤-1} {m|-2≤m≤-1}
解析 ∵A∪B=B,∴A⊆B,如图所示,
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m-1≤-3,,2m+9≥5,))解得-2≤m≤-1.
∴m的取值范围为{m|-2≤m≤-1}.
当A∩B=A时,同样A⊆B,所以结论是一样的.
分类讨论思想方法的运用及思维的严谨性
典例 (1)已知M={2,a2-3a+5,5},N={1,a2-6a+10,3},M∩N={2,3},则a的值是( )
A.1或2 B.2或4
C.2 D.1
答案 C
解析 ∵M∩N={2,3},
∴a2-3a+5=3,
∴a=1或2.
当a=1时,N={1,5,3},M={2,3,5},不合题意;
当a=2时,N={1,2,3},M={2,3,5},符合题意.
(2)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-2x+a-1=0},若A∩B=B,则a的取值范围为________.
答案 {a|a≥2}
解析 由题意,得A={1,2}.
∵A∩B=B,∴B⊆A,
∴当B=∅时,(-2)2-4(a-1)<0,解得a>2;
当B≠∅时,当1∈B时,1-2+a-1=0,解得a=2,且此时B={1},符合题意;
当2∈B时,4-4+a-1=0,解得a=1,此时B={0,2},不合题意.
综上所述,a的取值范围是{a|a≥2}.
[素养提升] (1)经过数学运算后,要代入原集合进行检验,这一点极易被忽视.
(2)在本例(2)中,A∩B=B⇔B⊆A,B可能为空集,需分类讨论.以不重不漏的讨论和严谨的转化过程提升逻辑推理素养.
1.若集合M={-1,0,1,2},N={x|x(x-1)=0},则M∩N等于( )
A.{-1,0,1,2} B.{0,1,2}
C.{-1,0,1} D.{0,1}
答案 D
解析 N={0,1},M∩N={0,1}.
2.已知集合M={-1,0,1},P={0,1,2,3},则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{0,1} B.{0}
C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
答案 D
解析 由维恩图,可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M={-1,0,1},P={0,1,2,3},故M∪P={-1,0,1,2,3}.
3.(多选)已知集合A={x|x=4n-1,n∈N},B={y|y=2n-1,n∈N},C={-1,0,1,3,5,7,9},则集合A∩B∩C中的元素为( )
A.-1 B.3 C.5 D.7
答案 ABD
解析 -1=4×0-1=2×0-1,
3=4×1-1=2×2-1,
7=4×2-1=2×4-1.
4.若集合A={x|-1
A∪B=R,A∩B={x|-1
答案 {(3,1)}
解析 由题意,知A∩B={(x,y)|x+y=4且x-y=2}=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x,y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y=4,,x-y=2)))))),
解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+y=4,,x-y=2))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=3,,y=1,))故A∩B={(3,1)}.
1.知识清单:
(1)并集、交集的概念及运算.
(2)并集、交集运算的性质.
(3)求参数值或范围.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
3.常见误区:
由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论.
1.(多选)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则能成为A∩B的元素的是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 AD
解析 由题意得,B={1,4,7,10},所以A∩B={1,4}.
2.A,B是两个集合,则集合{x|x∈A且x∈B}可用阴影表示为( )
答案 D
解析 集合{x|x∈A且x∈B}=A∩B.
3.满足M⊆{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 由题意,得集合M含有元素a1,a2且不含元素a3,故M={a1,a2}或{a1,a2,a4}.
4.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|xA.a<2 B.a>-2
C.a>-1 D.-1答案 C
解析 A={x|-1≤x<2},B={x|x-1.
5.(多选)已知集合M={-1,1},则满足M∪N={-1,1,2}的集合N可以是( )
A.{2} B.{-1,2}
C.{1,2} D.{-1,1,2}
答案 ABCD
解析 依题意,集合N中一定含有2,然后从集合M中选择0个,1个,2个元素,都可以组成集合N.
6.若集合A={x|x>-1},B={x|-2
解析 画出数轴如图所示,故A∪B={x|x>-2}.
7.设S={x|x<-1或x>5},T={x|a
答案 2 2
解析 M={x|-1≤x≤3},集合N是全体正奇数组成的集合,则阴影部分所表示的集合为M∩N={1,3},即阴影部分所表示的集合共有2个元素.
若N={x|x=3k-1,k∈N},则M∩N={-1,2},即阴影部分所表示的集合共有2个元素.
9.已知集合A=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3-x>0,,3x+6>0)))))),集合B={x|2x-1<3},求A∩B,A∪B.
解 解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3-x>0,,3x+6>0))得-2
即B={x|x<2},
在数轴上分别表示集合A,B,如图所示.
则A∩B={x|-2
(1)求a,b的值及A,B;
(2)求(A∪B)∩C.
解 (1)∵A∩B={2},∴2∈A且2∈B,
∴4+2a+12=0,4+6+2b=0,
即a=-8,b=-5,
∴A={x|x2-8x+12=0}={2,6},B={x|x2+3x-10=0}={2,-5}.
(2)由(1)知A∪B={-5,2,6},
又C={2,-3},∴(A∪B)∩C={2}.
11.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知A={x|0≤x≤3},B={x|x≥1},则A*B等于( )
A.{x|1≤x<3} B.{x|1≤x≤3}
C.{x|0≤x<1或x>3} D.{x|0≤x≤1或x≥3}
答案 C
解析 由题意知A∪B={x|x≥0},
A∩B={x|1≤x≤3},
∴A*B={x|0≤x<1或x>3}.
12.下列表示图形中的阴影部分正确的是( )
A.(A∪C)∩(B∪C)B.(A∪B)∩(A∪C)
C.(A∪B)∩(B∪C)D.(A∪B)∩C
答案 A
解析 阴影部分完全覆盖了C部分,这样就要求交集运算的两边都含有C部分.所以A正确.
13.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.
答案 12
解析 设所求人数为x,则x+10=30-8⇒x=12.
14.已知集合A={x|x2-px-2=0},B={x|x2+qx+r=0},且A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},则p+q+r=________.
答案 -14
解析 因为A∩B={-2},
所以-2∈A且-2∈B,将x=-2代入x2-px-2=0,得p=-1,
所以A={1,-2},
因为A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},
所以B={-2,5},
所以q=-[(-2)+5]=-3,r=(-2)×5=-10,
所以p+q+r=-14.
15.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店
(1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种;
(2)这三天售出的商品最少有________种.
答案 (1)16 (2)29
解析 设三天都售出的商品有x种,第一天售出,第二天未售出,且第三天售出的商品有y种,则三天售出商品的种类关系如图所示.
由图可知:(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19-(3-x)-x=16(种).
(2)这三天售出的商品有(16-y)+y+x+(3-x)+(6+x)+(4-x)+(14-y)=43-y(种).
由于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16-y≥0,,y≥0,,14-y≥0,))所以0≤y≤14.
所以(43-y)min=43-14=29.
16.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1或x>16},分别根据下列条件求实数a的取值范围.
(1)A∩B=∅;
(2)A⊆(A∩B).
解 (1)若A=∅,则A∩B=∅成立.
此时2a+1>3a-5,即a<6.
若A≠∅,如图所示,
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a+1≤3a-5,,2a+1≥-1,,3a-5≤16,))
解得6≤a≤7.
综上,满足条件A∩B=∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}.
(2)因为A⊆(A∩B),所以A∩B=A,即A⊆B.
显然A=∅满足条件,此时a<6.
若A≠∅,如图所示,
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a+1≤3a-5,,3a-5<-1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a+1≤3a-5,,2a+1>16.))
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a+1≤3a-5,,3a-5<-1,))解得a∈∅;
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a+1≤3a-5,,2a+1>16,))解得a>eq \f(15,2).
综上,满足条件A⊆(A∩B)的实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<6或a>\f(15,2))))).
高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.3 集合的基本运算第1课时导学案: 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.3 集合的基本运算第1课时导学案,共11页。
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