高中数学第一章 集合1.2 集合之间的关系与运算本节综合第2课时导学案

这是一份高中数学第一章 集合1.2 集合之间的关系与运算本节综合第2课时导学案，共9页。学案主要包含了充分不必要，充要条件的证明，探求充要条件等内容，欢迎下载使用。

第2课时　充要条件
学习目标　1.理解充要条件的概念.2.能够判定条件的充分、必要、充要性.3.会进行简单的充要条件的证明．

知识点　充要条件
1．一般地，如果p⇒q且q⇏ p，则称p是q的充分不必要条件．
2．一般地，如果p⇏ q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
3．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.

1．“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．(　√　)
2．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　)
3．若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．(　√　)
4．q不是p的必要条件时，“p⇏ q”成立．(　√　)

一、充分不必要、必要不充分、充要条件的判断
例1　判断下列各题中，p是q的什么条件．
(1)设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：二次函数的图像开口向上，q：a>0；
(2)p：实数a能被6整除，q：实数a能被3整除；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(4)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形．
解　(1)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其图像开口向上⇔a>0，所以p是q的充要条件．
(2)∵p⇒q，q不能推出p，
∴p是q的充分不必要条件．
(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，
所以p是q的充要条件．
(4)∵p不能推出q，q⇒p，
∴p是q的必要不充分条件．
反思感悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．
跟踪训练1　(多选)在下列四个结论中，正确的有(　　)
A．设x∈R，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．“a2>b2”是“a>b”的充分不必要条件
D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
答案　AD
解析　对于结论A，∵x>2⇒x>1，但x>1⇏ x>2，故A正确；对结论B，由于不知道斜边，所以不是充要条件；C显然不正确；对于结论D，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故D正确．
二、充要条件的证明
例2　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明　充分性：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，
得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
反思感悟　充要条件的证明思路
一般地，证明“p成立的充要条件为q”；
(1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
(2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
跟踪训练2　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根，
所以Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，所以ac<0.
充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0，
所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根．
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
三、探求充要条件
例3　已知a＋b≠0，求a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件．
解　由a2＋b2－a－b＋2ab＝0，即
a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)
＝(a＋b－1)(a＋b)＝0，
又∵a＋b≠0，
∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1等价于a2＋b2－a－b＋2ab＝0.
∴在a＋b≠0的条件下，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
反思感悟　探求充要条件的两种方法
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
跟踪训练3　求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．
解　⇔
⇔⇔
所以两方程有一个公共实根的充要条件为k＝－2.

1．(多选)已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”成立的充要条件是(　　)
A．∠A＋∠C＝180° B．∠A＋∠B＝180°
C．∠B＋∠D＝180° D．∠C＋∠D＝180°
答案　AC
2．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A⇏ D.
3．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，
反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.
∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．
4．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则a2＋b2＝c2⇔△ABC为直角三角形．
5．在平面直角坐标系中，点(x,1－x)在第一象限的充要条件是________．
答案　0 解析　由题意，可得x>0，且1－x>0，∴0
1．知识清单：
(1)充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件概念的理解．
(2)充要条件的证明和探求．
(3)根据条件求参数范围．
2．方法归纳：等价转化．
3．常见误区：条件和结论辨别不清．






1．“x≠－1”是“x2－1≠0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　x2－1≠0⇔x≠1且x≠－1，因为“x≠－1”是“x≠1且x≠－1”的必要不充分条件，所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件．
2．函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是(　　)
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
答案　A
解析　函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是－＝1，即m＝－2.
3．已知p：“x＝2”，q：“x－2＝”，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　由q：“x－2＝”，解得x＝2，由q可推出p，必要性成立，反之，由p可推出q，即充分性成立．所以p是q的充要条件．
4．(多选)设U是全集，A，B是U的两个子集，则“A∩B＝A”的充要条件是(　　)
A．A⊆B B．B⊆A
C．∁UA⊇∁UB D．∁UA⊆∁UB
答案　AC
解析　由A∩B＝A可知A⊆B，反过来A⊆B，
则A∩B＝A，对C来说，实际上也是A⊆B.
5．已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x≤a}，则“A⊆B”是“a>5”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为|x|≤4⇔－4≤x≤4，
所以A＝{x|－4≤x≤4}．
又A⊆B，所以a≥4.又“a≥4”是“a>5”的必要不充分条件，故选B.
6．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件的，用序号填空：
(1)“使a，b都为0”的必要条件是________．
(2)“使a，b都不为0”的充分条件是________．
(3)“使a，b至少有一个为0”的充要条件是________．
答案　(1)①②③　(2)④　(3)①
解析　①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；
②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；
③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或
④ab>0⇔或则a，b都不为0.
7．“”是“>0”的________________．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”)
答案　充分不必要
解析　“”⇒“>0”，
“>0”⇒“或”，
所以“”是“>0”的充分不必要条件．
8．下列命题中是真命题的是________．(填序号)
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；
②“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件；
③“b2－4ac<0”是“f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的充要条件；
④“三角形的三边满足勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形”．
答案　②④
解析　①因为由x>2且y>3⇒x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件．②因为由x>1⇒|x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件．③因为由b2－4ac<0不能推出f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0，而由f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0⇒b2－4ac<0，a<0，所以“b2－4ac<0”是“f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的必要不充分条件．④三角形的三边满足勾股定理⇒此三角形为直角三角形，三角形为直角三角形⇒该三角形的三边满足勾股定理，故②④是真命题．
9．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
解　(1)∵q是r的必要条件，∴r⇒q.
∵s是r的充分条件，∴s⇒r，
∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s.
∴s是q的充要条件．
(2)由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件．
(3)∵p是r的必要条件，∴r⇒p，
∴q⇒r⇒p.又p能否推出q未知，
∴p是q的必要条件．
10．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
证明　(1)必要性：由<，得－<0，即<0，
又由x>y，得y－x<0，所以xy>0.
(2)充分性：由xy>0及x>y，
得>，即<.
综上所述，<的充要条件是xy>0.

11．“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的(　　)
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤，又“a<”能推出“a≤”，但“a≤”不能推出“a<”，即“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件．
12．(多选)一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数解的充分不必要条件可以是(　　)
A．n＝4 B．n＝－5
C．n＝－1 D．n＝－12
答案　BCD
解析　函数的图像是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－2，
要使得一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数解，则满足02＋4×0＋n<0，即n<0，
所以一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数解的充分不必要条件可以为B，C，D.
13．m＝1是函数y＝ 为二次函数的________条件，y＝为二次函数是m＝3的________条件．
答案　充分不必要　必要不充分
解析　当m＝1时，函数y＝x2为二次函数．反之，当函数为二次函数时， m2－4m＋5＝2，即m＝3或m＝1，所以m＝1是函数y＝为二次函数的充分不必要条件．y＝为二次函数是m＝3的必要不充分条件．
14．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像不过第三象限的充要条件是________．
答案　k<0且b≥0
解析　如图所示，要使一次函数y＝kx＋b(k≠0)不过第三象限，则需k<0且b≥0.


15．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max·min，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝max·min＝1×1＝1.
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，∴max＝.
又∵l＝1，∴min＝，即＝或＝，
得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．
16．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．
解　当a＝0时，x＝－符合题意．
当a≠0时，令y＝ax2＋2x＋1.
∵二次函数图像一定过点(0,1)，
①若a>0，则－<0，>0，
∴只要Δ＝4－4a≥0，
即a≤1，∴0 ②若a<0，则<0，Δ＝4－4a>0，
∴方程恒有两异号实数根．
综上所述，a≤1为所求．