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2021年广东省中山市中考数学模拟试卷 解析版
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这是一份2021年广东省中山市中考数学模拟试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省中山市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．（3分）2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A．0.215×108 B．2.15×107 C．2.15×106 D．21.5×106
2．（3分）我国的国球为乒乓球，乒乓球最早于19世纪末期起源于英国，1959年的世界乒乓球锦标赛，中国参赛运动员为中国获得了第一个世界冠军，国人非常振奋，从此乒乓球运动在中国风靡，成了事实上中国的国球的体育项目．下表是某校女子乒乓球队12名队员的年龄分布：
年龄（岁）
13
14
15
16
人数
1
5
4
2
则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（ ）
A．中位数是14 B．中位数是15 C．众数是14 D．众数是5
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到的对应点A'的坐标为（ ）
A．（2，7） B．（﹣6，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣1）
4．（3分）一个多边形的每个内角都等于144°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1980° B．1800° C．1620° D．1440°
5．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠5 B．x≠﹣5 C．x＞5 D．x＞﹣5
6．（3分）如图所示，给出下列条件：①∠B+∠BCD＝180°：②∠1＝∠2：③∠3＝∠4，④∠B＝∠5；⑤∠B＝∠D．其中，一定能判定AB∥CD的条件的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．（3分）观察图中的函数图象，则关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1
8．（3分）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．≤a＜1 B．≤a≤1 C．＜a≤1 D．a＜1
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，tanB＝，过点A作AE⊥BC于点E，现将△沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G，则△CFG的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）小明抄在作业本上的式子x⊕﹣9y2（“⊕”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
12．（4分）计算：（）2019×（）2020＝ ．
13．（4分）若|1001﹣a|+＝a，则a﹣10012＝ ．
14．（4分）若2x+y＝0，则代数式4x3+2xy（x+y）+y3的值为 ．
15．（4分）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝ °．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为 ．
17．（4分）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）已知a+b＝﹣6，ab＝5，求．
19．（6分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．
（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：
方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；
方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；
方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．
其中抽取的样本具有代表性的方案是 ．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）
（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：
样本容量
平均分
及格率
优秀率
最高分
最低分
100
93.5
100%
70%
100
80
分数段统计（学生成绩记为y＝kx+b）
分数段
0≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x＜100
频数
0
5
25
30
40
请结合表中信息解答下列问题：
①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；
②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．
20．（6分）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；
（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）已知关于x、y的方程组的解满足0＜x+y≤3．
（1）求a的取值范围；
（2）已知a+b＝4，且z＝2a﹣3b，求z的最大值．
22．（8分）如图，已知△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD＝∠A．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若E为中点，BD＝12，sin∠BED＝，求BE的长．
23．（8分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，AB＝4，反比例函数（k＞0）的图象与矩形两边AB、BC分别交于点D、点E，且BD＝2AD．
（1）求点D的坐标和k的值：
（2）求证：BE＝2CE；
（3）若点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由
25．（10分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．
2021年广东省中山市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．（3分）2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A．0.215×108 B．2.15×107 C．2.15×106 D．21.5×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将21500000用科学记数法表示为2.15×107，
故选：B．
2．（3分）我国的国球为乒乓球，乒乓球最早于19世纪末期起源于英国，1959年的世界乒乓球锦标赛，中国参赛运动员为中国获得了第一个世界冠军，国人非常振奋，从此乒乓球运动在中国风靡，成了事实上中国的国球的体育项目．下表是某校女子乒乓球队12名队员的年龄分布：
年龄（岁）
13
14
15
16
人数
1
5
4
2
则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（ ）
A．中位数是14 B．中位数是15 C．众数是14 D．众数是5
【分析】根据表中数据和中位数、众数的意义逐个判断即可．
【解答】解：观察表格可知人数最多的有5人，年龄是14岁，
故众数是14，
这组数据共12个，中位数是第6，7个数据的平均数，因而中位数是14.5，
故选：C．
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到的对应点A'的坐标为（ ）
A．（2，7） B．（﹣6，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣1）
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：∵将点A（﹣2，3）先向右平移4个单位，
∴点A的对应点A′的坐标是（﹣2+4，3），即（2，3）．
故选：C．
4．（3分）一个多边形的每个内角都等于144°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1980° B．1800° C．1620° D．1440°
【分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数＝360°÷外角的度数计算，即可得到这个多边形的内角和．
【解答】解：∵180°﹣144°＝36°，
360°÷36°＝10，
即这个多边形的边数是10，
∴这个多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°．
故选：D．
5．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠5 B．x≠﹣5 C．x＞5 D．x＞﹣5
【分析】要使分式有意义，分式的分母不能为0．
【解答】解：∵x﹣5≠0，∴x≠5；
故选：A．
6．（3分）如图所示，给出下列条件：①∠B+∠BCD＝180°：②∠1＝∠2：③∠3＝∠4，④∠B＝∠5；⑤∠B＝∠D．其中，一定能判定AB∥CD的条件的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得①能判定AB∥CD；根据内错角相等，两直线平行可得③能判定AB∥CD；根据同位角相等，两直线平行可得④能判定AB∥CD．
【解答】解：①∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥CB；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD，
⑤由∠B＝∠D，不能判定AB∥CD；
∴一定能判定AB∥CD的条件为：①③④．
故选：C．
7．（3分）观察图中的函数图象，则关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1
【分析】根据图象得出两图象的交点坐标是（1，2）和当x＜1时，ax＜bx+c，推出x＜1时，ax＜bx+c，即可得到答案．
【解答】解：由图象可知，两图象的交点坐标是（1，2），
当x＞1时，ax＞bx+c，
∴关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集为x＞1．
故选：D．
8．（3分）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．≤a＜1 B．≤a≤1 C．＜a≤1 D．a＜1
【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解集是整数，可得答案．
【解答】解：由x＞2a﹣3，
由2x≥3（x﹣2）+5，解得：2a﹣3＜x≤1，
由关于x的不等式组仅有三个整数：
解得：﹣2≤2a﹣3＜﹣1，
解得≤a＜1，
故选：A．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，tanB＝，过点A作AE⊥BC于点E，现将△沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G，则△CFG的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由tanB＝，AB＝5，可得AE＝3，BE＝4，根据将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，即有EF＝BE＝4，BF＝8，从而CF＝BF﹣BC＝3，又CD∥AB，得△ABF∽△GCF，即知＝（）2＝，而S△ABF＝BF•AE＝12，即得S△GCF＝．
【解答】解：在Rt△ABE中，tanB＝，
∴＝，
设AE＝3x，则BE＝4x，
∵AB＝5，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
∴x＝1，
∴AE＝3，BE＝4，
∵将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，
∴EF＝BE＝4，BF＝8，
在菱形ABCD中，AB＝5，
∴BC＝AB＝5，
∴CF＝BF﹣BC＝3，
∵CD∥AB，
∴△ABF∽△GCF，
∴＝（）2＝（）2＝，
而S△ABF＝BF•AE＝×8×3＝12，
∴＝＝，
∴S△GCF＝，
故选：B．
10．（3分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：A．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）小明抄在作业本上的式子x⊕﹣9y2（“⊕”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： （x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y） ．
【分析】分两种情况讨论①当⊕＝2时，②当＝⊕4时，分别因式分解．
【解答】解：①当⊕＝2时，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），
②当⊕＝4时，x4﹣9y2＝（x2+3y）（x2﹣3y），
综上所述整式分解因式的结果：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）．
12．（4分）计算：（）2019×（）2020＝ ．
【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此计算即可．
【解答】解：（）2019×（）2020＝＝．
故答案为：．
13．（4分）若|1001﹣a|+＝a，则a﹣10012＝ 1002 ．
【分析】由二次根式有意义的条件得到a≥1002，据此去绝对值并求得a的值，代入求值即可．
【解答】解：∵a﹣1002≥0，
∴a≥1002．
由|1001﹣a|+＝a，得﹣1001+a+＝a，
∴＝1001，
∴a﹣1002＝10012．
∴a﹣10012＝1002．
故答案是：1002．
14．（4分）若2x+y＝0，则代数式4x3+2xy（x+y）+y3的值为 0 ．
【分析】首先把代数式4x3+2xy（x+y）+y3的前两项利用提取公因式法因式分解，进一步整体代入2x+y＝0，继续利用提取公因式法因式分解，进一步代入求得答案即可．
【解答】解：∵2x+y＝0，
∴4x3+2xy（x+y）+y3
＝2x[2x2+y（x+y）]+y3
＝2x[x（2x+y）+y2]+y3
＝2xy2+y3
＝y2（2x+y）
＝0．
故答案为：0．
15．（4分）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝ 78 °．
【分析】连接BO并延长至D，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OC＝OB，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：连接BO并延长至D，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴OA＝OB，OC＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，
∴∠AOD＝2∠OBA，∠COD＝2∠OBC，
∴∠AOC＝2（∠OBA+∠OBC）＝2∠ABC＝78°，
故答案为：78．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为 2 ．
【分析】首先证明DB＝AD＝2CD，然后再由条件BC＝3可得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AD，
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD，
∵BC＝3，
∴CD+2CD＝3，
∴CD＝，
∴DB＝2，
故答案为：2．
17．（4分）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是 2﹣ ．
【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′＝60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′＝60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B＝120°，得到∠O′B′B＝∠O′BB′＝30°，根据图形的面积公式即可得到答案．
【解答】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′＝60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′＝60°，OO′＝OA，
∴当O′中⊙O上，
∵∠AOB＝120°，
∴∠O′OB＝60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B＝120°，
∵∠AO′B′＝120°，
∴∠B′O′B＝120°，
∴∠O′B′B＝∠O′BB′＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝S△B′OB﹣S扇形O′OB＝×2×2﹣＝2﹣，
故答案为2﹣．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）已知a+b＝﹣6，ab＝5，求．
【分析】根据题意确定a，b的取值范围，然后利用二次根式的性质进行化简．
【解答】解：∵a+b＝﹣6，ab＝5，
∴a＜0，b＜0，
∴原式＝
＝﹣
＝
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣．
19．（6分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．
（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：
方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；
方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；
方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．
其中抽取的样本具有代表性的方案是 方案三 ．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）
（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：
样本容量
平均分
及格率
优秀率
最高分
最低分
100
93.5
100%
70%
100
80
分数段统计（学生成绩记为y＝kx+b）
分数段
0≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x＜100
频数
0
5
25
30
40
请结合表中信息解答下列问题：
①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；
②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．
【分析】（1）根据抽样调查的特点判断即可．
（2）①利用样本估计总体的思想解决问题．
②利用样本的优秀率估计总体的优秀率解决问题即可．
【解答】解：（1）本具有代表性的方案是方案三，
故答案为：方案三．
（2）①样本的中位线在90≤x＜95中，
∴估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在90≤x＜95内．
②样本的优秀率＝＝70%，
1200×70%＝840（人），
答：估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数为840．
20．（6分）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；
（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．
【分析】（1）根据实数运算法则解答；
（2）根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+3＝﹣1+3；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）已知关于x、y的方程组的解满足0＜x+y≤3．
（1）求a的取值范围；
（2）已知a+b＝4，且z＝2a﹣3b，求z的最大值．
【分析】（1）先求出二元一次方程组的解，然后即可得到x+y的值，再根据0＜x+y≤3，即可得到a的取值范围；
（2）根据a+b＝4，且z＝2a﹣3b和（1）中x的取值范围，可以得到z的最大值．
【解答】解：（1）由方程组可得，，
则x+y＝2a+1，
∵0＜x+y≤3，
∴0＜2a+1≤3，
解得，；
（2）∵a+b＝4，且z＝2a﹣3b，
∴b＝4﹣a，
∴z＝2a﹣3（4﹣a）＝2a﹣12+3a＝5a﹣12，
∵，
∴，
∴z的最大值为﹣7．
22．（8分）如图，已知△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD＝∠A．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若E为中点，BD＝12，sin∠BED＝，求BE的长．
【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠CBD+∠ABD＝90°．得出∠ABC＝90°，即可得出结论．
（2）连接AE．由圆周角定理得出∠BAD＝∠BED，由三角函数定义求出直径AB＝20．证出AE＝BE．得出△AEB是等腰直角三角形．得出∠BAE＝45°，由三角函数即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠A+∠ABD＝90°．
又∵∠A＝∠CBD，
∴∠CBD+∠ABD＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∴AB⊥BC．
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC为⊙O的切线．
（2）解：连接AE．如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°．
∵∠BAD＝∠BED，
∴sin∠BAD＝sin∠BED＝．
∴在Rt△ABD中，sin∠BAD＝＝，
∵BD＝12，
∴AB＝20．
∵E为的中点，
∴AE＝BE．
∴△AEB是等腰直角三角形．
∴∠BAE＝45°．
∴BE＝AB×sin∠BAE＝20×＝10．
23．（8分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
【分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，
根据题意，得：+＝1100，
解得：x＝2.5，
经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝3．
答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，
依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，
解得：m≤1000．
答：A种粽子最多能购进1000个．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，AB＝4，反比例函数（k＞0）的图象与矩形两边AB、BC分别交于点D、点E，且BD＝2AD．
（1）求点D的坐标和k的值：
（2）求证：BE＝2CE；
（3）若点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由
【分析】（1）由矩形OABC中，AB＝4，BD＝2AD，可得3AD＝4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值；
（2）求得点E的坐标，进而得出BE，CE的长度解答即可．
（3）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP＝m，CP＝4﹣m，由∠APE＝90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．
【解答】解：（1）∵AB＝4，BD＝2AD，
∴AB＝AD+BD＝AD+2AD＝3AD＝4，
∴AD＝，
又∵OA＝3，
∴D（，3），
∵点D在双曲线y＝上，
∴k＝×3＝4；
（2）∵四边形OABC为矩形，
∴AB＝OC＝4，
∴点E的横坐标为4．
把x＝4代入y＝中，得y＝1，
∴E（4，1）；
∵B（4，3），C（4，0），
∴BE＝2，CE＝1，
∴BE＝2CE；
（3）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP＝m，CP＝4﹣m．
∵∠APE＝90°，
∴∠APO+∠EPC＝90°，
又∵∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠EPC＝∠OAP，
又∵∠AOP＝∠PCE＝90°，
∴△AOP∽△PCE，
∴，
∴，
解得：m＝1或m＝3，
∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．
25．（10分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A，点C坐标代入解析式，可求b，c的值，即可求解；
（2）设点P（a，a2+a﹣6），由PD＝2PE，可得|a2+a﹣6|＝﹣2a，可求a的值；
（3）由勾股定理可求AC，BC的长，通过证明△ACH∽△BCO，可得，可求AH，HC的长，由两点距离公式可求点H坐标，再求出直线HC的解析式，即可求点P坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣6；
（2）①设点P（a，a2+a﹣6），
∵点P位于y轴的左侧，
∴a＜0，PE＝﹣a，
∵PD＝2PE，
∴|a2+a﹣6|＝﹣2a，
∴a2+a﹣6＝﹣2a或a2+a﹣6＝2a，
解得：a1＝，a2＝（舍去）或a3＝﹣2，a4＝3（舍去）
∴PE＝2或；
②存在点P，使得∠ACP＝∠OCB，
理由如下，
∵抛物线y＝x2+x﹣6与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣6），
∴OC＝6，
∵点B（2，0），点A（﹣3，0），
∴OB＝2，OA＝3，
∴BC＝＝＝2，
AC＝＝＝3，
如图，过点A作AH⊥CP于H，
∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠ACP＝∠BCO，
∴△ACH∽△BCO，
∴，
∴＝，
∴AH＝，HC＝，
设点H（m，n），
∴（）2＝（m+3）2+n2，（）2＝m2+（n+6）2，
∴或，
∴点H（﹣，﹣）或（﹣，），
当H（﹣，﹣）时，
∵点C（0，﹣6），
∴直线HC的解析式为：y＝﹣x﹣6，
∴x2+x﹣6＝﹣x﹣6，
解得：x1＝﹣2，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标（﹣2，﹣4）；
当H（﹣，）时，
∵点C（0，﹣6），
∴直线HC的解析式为：y＝﹣7x﹣6，
∴x2+x﹣6＝﹣7x﹣6，
解得：x1＝﹣8，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标（﹣8，50）；
综上所述：点P坐标为（﹣2，﹣4）或（﹣8，50）．
2021年广东省中山市中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．（3分）2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A．0.215×108 B．2.15×107 C．2.15×106 D．21.5×106
2．（3分）我国的国球为乒乓球，乒乓球最早于19世纪末期起源于英国，1959年的世界乒乓球锦标赛，中国参赛运动员为中国获得了第一个世界冠军，国人非常振奋，从此乒乓球运动在中国风靡，成了事实上中国的国球的体育项目．下表是某校女子乒乓球队12名队员的年龄分布：
年龄（岁）
13
14
15
16
人数
1
5
4
2
则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（ ）
A．中位数是14 B．中位数是15 C．众数是14 D．众数是5
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到的对应点A'的坐标为（ ）
A．（2，7） B．（﹣6，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣1）
4．（3分）一个多边形的每个内角都等于144°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1980° B．1800° C．1620° D．1440°
5．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠5 B．x≠﹣5 C．x＞5 D．x＞﹣5
6．（3分）如图所示，给出下列条件：①∠B+∠BCD＝180°：②∠1＝∠2：③∠3＝∠4，④∠B＝∠5；⑤∠B＝∠D．其中，一定能判定AB∥CD的条件的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．（3分）观察图中的函数图象，则关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1
8．（3分）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．≤a＜1 B．≤a≤1 C．＜a≤1 D．a＜1
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，tanB＝，过点A作AE⊥BC于点E，现将△沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G，则△CFG的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）小明抄在作业本上的式子x⊕﹣9y2（“⊕”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
12．（4分）计算：（）2019×（）2020＝ ．
13．（4分）若|1001﹣a|+＝a，则a﹣10012＝ ．
14．（4分）若2x+y＝0，则代数式4x3+2xy（x+y）+y3的值为 ．
15．（4分）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝ °．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为 ．
17．（4分）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）已知a+b＝﹣6，ab＝5，求．
19．（6分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．
（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：
方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；
方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；
方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．
其中抽取的样本具有代表性的方案是 ．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）
（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：
样本容量
平均分
及格率
优秀率
最高分
最低分
100
93.5
100%
70%
100
80
分数段统计（学生成绩记为y＝kx+b）
分数段
0≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x＜100
频数
0
5
25
30
40
请结合表中信息解答下列问题：
①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；
②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．
20．（6分）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；
（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）已知关于x、y的方程组的解满足0＜x+y≤3．
（1）求a的取值范围；
（2）已知a+b＝4，且z＝2a﹣3b，求z的最大值．
22．（8分）如图，已知△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD＝∠A．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若E为中点，BD＝12，sin∠BED＝，求BE的长．
23．（8分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，AB＝4，反比例函数（k＞0）的图象与矩形两边AB、BC分别交于点D、点E，且BD＝2AD．
（1）求点D的坐标和k的值：
（2）求证：BE＝2CE；
（3）若点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由
25．（10分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．
2021年广东省中山市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．（3分）2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A．0.215×108 B．2.15×107 C．2.15×106 D．21.5×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将21500000用科学记数法表示为2.15×107，
故选：B．
2．（3分）我国的国球为乒乓球，乒乓球最早于19世纪末期起源于英国，1959年的世界乒乓球锦标赛，中国参赛运动员为中国获得了第一个世界冠军，国人非常振奋，从此乒乓球运动在中国风靡，成了事实上中国的国球的体育项目．下表是某校女子乒乓球队12名队员的年龄分布：
年龄（岁）
13
14
15
16
人数
1
5
4
2
则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（ ）
A．中位数是14 B．中位数是15 C．众数是14 D．众数是5
【分析】根据表中数据和中位数、众数的意义逐个判断即可．
【解答】解：观察表格可知人数最多的有5人，年龄是14岁，
故众数是14，
这组数据共12个，中位数是第6，7个数据的平均数，因而中位数是14.5，
故选：C．
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到的对应点A'的坐标为（ ）
A．（2，7） B．（﹣6，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣1）
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：∵将点A（﹣2，3）先向右平移4个单位，
∴点A的对应点A′的坐标是（﹣2+4，3），即（2，3）．
故选：C．
4．（3分）一个多边形的每个内角都等于144°，那么这个多边形的内角和为（ ）
A．1980° B．1800° C．1620° D．1440°
【分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数＝360°÷外角的度数计算，即可得到这个多边形的内角和．
【解答】解：∵180°﹣144°＝36°，
360°÷36°＝10，
即这个多边形的边数是10，
∴这个多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°．
故选：D．
5．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠5 B．x≠﹣5 C．x＞5 D．x＞﹣5
【分析】要使分式有意义，分式的分母不能为0．
【解答】解：∵x﹣5≠0，∴x≠5；
故选：A．
6．（3分）如图所示，给出下列条件：①∠B+∠BCD＝180°：②∠1＝∠2：③∠3＝∠4，④∠B＝∠5；⑤∠B＝∠D．其中，一定能判定AB∥CD的条件的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得①能判定AB∥CD；根据内错角相等，两直线平行可得③能判定AB∥CD；根据同位角相等，两直线平行可得④能判定AB∥CD．
【解答】解：①∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥CB；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD，
⑤由∠B＝∠D，不能判定AB∥CD；
∴一定能判定AB∥CD的条件为：①③④．
故选：C．
7．（3分）观察图中的函数图象，则关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集为（ ）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1
【分析】根据图象得出两图象的交点坐标是（1，2）和当x＜1时，ax＜bx+c，推出x＜1时，ax＜bx+c，即可得到答案．
【解答】解：由图象可知，两图象的交点坐标是（1，2），
当x＞1时，ax＞bx+c，
∴关于x的不等式ax﹣bx＞c的解集为x＞1．
故选：D．
8．（3分）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．≤a＜1 B．≤a≤1 C．＜a≤1 D．a＜1
【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解集是整数，可得答案．
【解答】解：由x＞2a﹣3，
由2x≥3（x﹣2）+5，解得：2a﹣3＜x≤1，
由关于x的不等式组仅有三个整数：
解得：﹣2≤2a﹣3＜﹣1，
解得≤a＜1，
故选：A．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，tanB＝，过点A作AE⊥BC于点E，现将△沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G，则△CFG的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由tanB＝，AB＝5，可得AE＝3，BE＝4，根据将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，即有EF＝BE＝4，BF＝8，从而CF＝BF﹣BC＝3，又CD∥AB，得△ABF∽△GCF，即知＝（）2＝，而S△ABF＝BF•AE＝12，即得S△GCF＝．
【解答】解：在Rt△ABE中，tanB＝，
∴＝，
设AE＝3x，则BE＝4x，
∵AB＝5，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
∴x＝1，
∴AE＝3，BE＝4，
∵将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，
∴EF＝BE＝4，BF＝8，
在菱形ABCD中，AB＝5，
∴BC＝AB＝5，
∴CF＝BF﹣BC＝3，
∵CD∥AB，
∴△ABF∽△GCF，
∴＝（）2＝（）2＝，
而S△ABF＝BF•AE＝×8×3＝12，
∴＝＝，
∴S△GCF＝，
故选：B．
10．（3分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：A．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）小明抄在作业本上的式子x⊕﹣9y2（“⊕”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： （x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y） ．
【分析】分两种情况讨论①当⊕＝2时，②当＝⊕4时，分别因式分解．
【解答】解：①当⊕＝2时，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），
②当⊕＝4时，x4﹣9y2＝（x2+3y）（x2﹣3y），
综上所述整式分解因式的结果：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）．
12．（4分）计算：（）2019×（）2020＝ ．
【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此计算即可．
【解答】解：（）2019×（）2020＝＝．
故答案为：．
13．（4分）若|1001﹣a|+＝a，则a﹣10012＝ 1002 ．
【分析】由二次根式有意义的条件得到a≥1002，据此去绝对值并求得a的值，代入求值即可．
【解答】解：∵a﹣1002≥0，
∴a≥1002．
由|1001﹣a|+＝a，得﹣1001+a+＝a，
∴＝1001，
∴a﹣1002＝10012．
∴a﹣10012＝1002．
故答案是：1002．
14．（4分）若2x+y＝0，则代数式4x3+2xy（x+y）+y3的值为 0 ．
【分析】首先把代数式4x3+2xy（x+y）+y3的前两项利用提取公因式法因式分解，进一步整体代入2x+y＝0，继续利用提取公因式法因式分解，进一步代入求得答案即可．
【解答】解：∵2x+y＝0，
∴4x3+2xy（x+y）+y3
＝2x[2x2+y（x+y）]+y3
＝2x[x（2x+y）+y2]+y3
＝2xy2+y3
＝y2（2x+y）
＝0．
故答案为：0．
15．（4分）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝ 78 °．
【分析】连接BO并延长至D，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OC＝OB，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：连接BO并延长至D，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴OA＝OB，OC＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，
∴∠AOD＝2∠OBA，∠COD＝2∠OBC，
∴∠AOC＝2（∠OBA+∠OBC）＝2∠ABC＝78°，
故答案为：78．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为 2 ．
【分析】首先证明DB＝AD＝2CD，然后再由条件BC＝3可得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AD，
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD，
∵BC＝3，
∴CD+2CD＝3，
∴CD＝，
∴DB＝2，
故答案为：2．
17．（4分）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是 2﹣ ．
【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′＝60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′＝60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B＝120°，得到∠O′B′B＝∠O′BB′＝30°，根据图形的面积公式即可得到答案．
【解答】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′＝60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′＝60°，OO′＝OA，
∴当O′中⊙O上，
∵∠AOB＝120°，
∴∠O′OB＝60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B＝120°，
∵∠AO′B′＝120°，
∴∠B′O′B＝120°，
∴∠O′B′B＝∠O′BB′＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝S△B′OB﹣S扇形O′OB＝×2×2﹣＝2﹣，
故答案为2﹣．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）已知a+b＝﹣6，ab＝5，求．
【分析】根据题意确定a，b的取值范围，然后利用二次根式的性质进行化简．
【解答】解：∵a+b＝﹣6，ab＝5，
∴a＜0，b＜0，
∴原式＝
＝﹣
＝
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣．
19．（6分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．
（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：
方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；
方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；
方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．
其中抽取的样本具有代表性的方案是 方案三 ．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）
（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：
样本容量
平均分
及格率
优秀率
最高分
最低分
100
93.5
100%
70%
100
80
分数段统计（学生成绩记为y＝kx+b）
分数段
0≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x＜100
频数
0
5
25
30
40
请结合表中信息解答下列问题：
①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；
②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．
【分析】（1）根据抽样调查的特点判断即可．
（2）①利用样本估计总体的思想解决问题．
②利用样本的优秀率估计总体的优秀率解决问题即可．
【解答】解：（1）本具有代表性的方案是方案三，
故答案为：方案三．
（2）①样本的中位线在90≤x＜95中，
∴估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在90≤x＜95内．
②样本的优秀率＝＝70%，
1200×70%＝840（人），
答：估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数为840．
20．（6分）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；
（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．
【分析】（1）根据实数运算法则解答；
（2）根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+3＝﹣1+3；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）已知关于x、y的方程组的解满足0＜x+y≤3．
（1）求a的取值范围；
（2）已知a+b＝4，且z＝2a﹣3b，求z的最大值．
【分析】（1）先求出二元一次方程组的解，然后即可得到x+y的值，再根据0＜x+y≤3，即可得到a的取值范围；
（2）根据a+b＝4，且z＝2a﹣3b和（1）中x的取值范围，可以得到z的最大值．
【解答】解：（1）由方程组可得，，
则x+y＝2a+1，
∵0＜x+y≤3，
∴0＜2a+1≤3，
解得，；
（2）∵a+b＝4，且z＝2a﹣3b，
∴b＝4﹣a，
∴z＝2a﹣3（4﹣a）＝2a﹣12+3a＝5a﹣12，
∵，
∴，
∴z的最大值为﹣7．
22．（8分）如图，已知△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD＝∠A．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若E为中点，BD＝12，sin∠BED＝，求BE的长．
【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠CBD+∠ABD＝90°．得出∠ABC＝90°，即可得出结论．
（2）连接AE．由圆周角定理得出∠BAD＝∠BED，由三角函数定义求出直径AB＝20．证出AE＝BE．得出△AEB是等腰直角三角形．得出∠BAE＝45°，由三角函数即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠A+∠ABD＝90°．
又∵∠A＝∠CBD，
∴∠CBD+∠ABD＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∴AB⊥BC．
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC为⊙O的切线．
（2）解：连接AE．如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°．
∵∠BAD＝∠BED，
∴sin∠BAD＝sin∠BED＝．
∴在Rt△ABD中，sin∠BAD＝＝，
∵BD＝12，
∴AB＝20．
∵E为的中点，
∴AE＝BE．
∴△AEB是等腰直角三角形．
∴∠BAE＝45°．
∴BE＝AB×sin∠BAE＝20×＝10．
23．（8分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
【分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，
根据题意，得：+＝1100，
解得：x＝2.5，
经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝3．
答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，
依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，
解得：m≤1000．
答：A种粽子最多能购进1000个．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，AB＝4，反比例函数（k＞0）的图象与矩形两边AB、BC分别交于点D、点E，且BD＝2AD．
（1）求点D的坐标和k的值：
（2）求证：BE＝2CE；
（3）若点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由
【分析】（1）由矩形OABC中，AB＝4，BD＝2AD，可得3AD＝4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值；
（2）求得点E的坐标，进而得出BE，CE的长度解答即可．
（3）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP＝m，CP＝4﹣m，由∠APE＝90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．
【解答】解：（1）∵AB＝4，BD＝2AD，
∴AB＝AD+BD＝AD+2AD＝3AD＝4，
∴AD＝，
又∵OA＝3，
∴D（，3），
∵点D在双曲线y＝上，
∴k＝×3＝4；
（2）∵四边形OABC为矩形，
∴AB＝OC＝4，
∴点E的横坐标为4．
把x＝4代入y＝中，得y＝1，
∴E（4，1）；
∵B（4，3），C（4，0），
∴BE＝2，CE＝1，
∴BE＝2CE；
（3）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP＝m，CP＝4﹣m．
∵∠APE＝90°，
∴∠APO+∠EPC＝90°，
又∵∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠EPC＝∠OAP，
又∵∠AOP＝∠PCE＝90°，
∴△AOP∽△PCE，
∴，
∴，
解得：m＝1或m＝3，
∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．
25．（10分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A，点C坐标代入解析式，可求b，c的值，即可求解；
（2）设点P（a，a2+a﹣6），由PD＝2PE，可得|a2+a﹣6|＝﹣2a，可求a的值；
（3）由勾股定理可求AC，BC的长，通过证明△ACH∽△BCO，可得，可求AH，HC的长，由两点距离公式可求点H坐标，再求出直线HC的解析式，即可求点P坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣6；
（2）①设点P（a，a2+a﹣6），
∵点P位于y轴的左侧，
∴a＜0，PE＝﹣a，
∵PD＝2PE，
∴|a2+a﹣6|＝﹣2a，
∴a2+a﹣6＝﹣2a或a2+a﹣6＝2a，
解得：a1＝，a2＝（舍去）或a3＝﹣2，a4＝3（舍去）
∴PE＝2或；
②存在点P，使得∠ACP＝∠OCB，
理由如下，
∵抛物线y＝x2+x﹣6与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣6），
∴OC＝6，
∵点B（2，0），点A（﹣3，0），
∴OB＝2，OA＝3，
∴BC＝＝＝2，
AC＝＝＝3，
如图，过点A作AH⊥CP于H，
∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠ACP＝∠BCO，
∴△ACH∽△BCO，
∴，
∴＝，
∴AH＝，HC＝，
设点H（m，n），
∴（）2＝（m+3）2+n2，（）2＝m2+（n+6）2，
∴或，
∴点H（﹣，﹣）或（﹣，），
当H（﹣，﹣）时，
∵点C（0，﹣6），
∴直线HC的解析式为：y＝﹣x﹣6，
∴x2+x﹣6＝﹣x﹣6，
解得：x1＝﹣2，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标（﹣2，﹣4）；
当H（﹣，）时，
∵点C（0，﹣6），
∴直线HC的解析式为：y＝﹣7x﹣6，
∴x2+x﹣6＝﹣7x﹣6，
解得：x1＝﹣8，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标（﹣8，50）；
综上所述：点P坐标为（﹣2，﹣4）或（﹣8，50）．
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