2023年广东省中山市中考数学试卷(含解析）

2023年广东省中山市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著九章算术中如果把收入元记作元，那么支出元记作(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

2.  下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为(    )

A.  B.
C.  D.

3.  年月日，我国自主研发的国产大飞机商业首航取得圆满成功可储存约升燃油，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，街道与平行，拐角，则拐角(    )

A.  B.  C.  D.

5.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献优选法中有一种法应用了(    )

A. 黄金分割数 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数

7.  某学校开设了劳动教育课程小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等小明恰好选中“烹饪”的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  一元一次不等式组的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，是的直径，，则(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：          ．

12.  计算： ______ ．

13.  某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流单位：与电阻单位：的函数表达式为当时，的值为______ A.

14.  某商品进价元，标价元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打______ 折

15.  边长分别为，，的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上如图，则图中阴影部分的面积为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．
已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式．

17.  本小题分
某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．

18.  本小题分
年月日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，名航天员顺利进驻中国空间站如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态当两臂，两臂夹角时，求，两点间的距离结果精确到，参考数据：，，

 

19.  本小题分
如图，在▱中，．
实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；保留作图痕迹，不要求写作法
应用与计算：在的条件下，，，求的长．

20.  本小题分
综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤：如图，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤：如图，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；
证明中你发现的结论．

 

21.  本小题分
小红家到学校有两条公共汽车线路为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周个工作日选择线路，第二周个工作日选择线路，每天在固定时间段内乘车次并分别记录所用时间数据统计如下：单位：
数据统计表

根据以上信息解答下列问题：

填空： ______ ； ______ ； ______ ；
应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．

22.  本小题分
综合探究
如图，在矩形中，对角线，相交于点，点关于的对称点为连接交于点，连接．
求证：；
以点为圆心，为半径作圆．
如图，与相切，求证：；
如图，与相切，，求的面积．

 

23.  本小题分
综合运用
如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上如图，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点．
当旋转角为多少度时，；直接写出结果，不要求写解答过程
若点，求的长；
如图，对角线交轴于点，交直线于点，连接将与的面积分别记为与设，，求关于的函数表达式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：把收入元记作元，
根据收入和支出是一对具有相反意义的量，
支出元就记作元．
故答案为．
本题考查负数的概念问题，负数和正数是具有相反意义的量，收入和支出是一对具有相反意义的量，进而作答．
本题考查负数和正数是具有相反意义的量，收入和支出是一对具有相反意义的量，解题的关键是理解相反意义的含义，进而作答．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项B，，中的图形都不能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分能完全重合，是轴对称图形，
故选：．
利用轴对称图形的定义进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
 

3.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
由平行线的性质即可求解．
本题考查平行线的性质，熟练掌握性质解解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：

．
故本题选：．
本题考查同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减．
本题考查同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．解题的关键是类比同分母分数的相加减进行计算即可．
 

6.【答案】 

【解析】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种法应用了黄金分割数，
故选：．
根据黄金分割的定义，即可解答．
本题考查了黄金分割，算术平均数，中位线，众数，统计量的选择，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”门兴趣课程，
明恰好选中“烹饪”的概率为．
故选：．
直接利用概率公式可得答案．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
由不等式得：，
不等式的解集为．
故选：．
求出第一个不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟知解集的规律．
 

9.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由是的直径，得，而，即得，故，
本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等．
 

10.【答案】 

【解析】解：过作轴于，
四边形是正方形，
，
，
，
设，则，
，
解得，，
的值为，
故选：．
过作轴于，根据正方形的性质得到，得到，利用待定系数法求得、的值，即可求得结论．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
原式利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：方法一：



．
方法二：



．
故答案为：．
本题考查二次根式的乘法计算，根据和进行计算，
本题考查二次根式的计算，考查的关键是准确运用和进计算．
 

13.【答案】 

【解析】解：当时，．
故答案为：．
直接将代入中可得的值．
此题考查的是反比例函数的应用，掌握反比例函数的点的坐标是解决此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设这种商品最多可以按折销售，
则售价为，那么利润为，
所以相应的关系式为，
解得：．
答：该商品最多可以折，
故答案为：．
利润率不能少于，意思是利润率大于或等于，相应的关系式为：打折后的销售价进价进价，把相关数值代入即可求解．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能低于”用数学符号表示为“”；利润率是利润与进价的比值．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，
，
∽，
，
，，，
，
，
，
，
∽，
，
，，，
，
，
，
阴影梯形的面积

．
故答案为：．
根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．
 

16.【答案】解：原式．
解：将与代入得：
，
解得：，
一次函数的表达式为：． 

【解析】利用立方根的性质、绝对值的性质以及负数指数幂的性质进行化简计算即可．
将与代入解方程组即可．
本题考查了实数的运算，待定系数法求一次函数表达式，正确化简各数，将点的坐标代入后能正确解方程组是解题的关键．
 

17.【答案】解：设乙步行的速度为分，则甲骑自行车的速度为分，
根据题意得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，
答：乙骑自行车的速度为． 

【解析】设乙步行的速度为分，则甲骑自行车的速度为分，根据题意列方程即可得到结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

18.【答案】解：连接，取中点，连接，如图，

，点为中点，
中线为等腰三角形的角平分线三线合一，，
，
在中，
，
，
，
，
答：、的距离大约是． 

【解析】连接，取中点，连接，根据，点为中点，可得，在中，，解得，故AB．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
 

19.【答案】解：如图即为所求作的点；
，
，
． 

【解析】由基本作图即可解决问题；
由锐角的余弦求出的长，即可得到的长．
本题考查基本作图，平行四边形的性质，解直角三角形，关键是掌握基本作图，由锐角的余弦求出的长．
 

20.【答案】解：；
为正方形对角线，
，
设每个方格的边长为，
则，
，
，
由勾股定理的逆定理得是等腰直角三角形，
，
． 

【解析】根据等腰直角三角形的性质即可求解；
根据勾股定理和勾股定理的逆定理和正方形的性质即可求解．
本题考查了正方形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，得到是等腰直角三角形是解题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：求中位数首先要先排序，
从小到大顺序为：，，，，，，，，，共有个数，
中位数在第和个数为和，
所以中位数为，
求平均数，
众数，
故答案为：，，．
小红统计的选择线路平均数为，选择线路平均数为，用时差不太多．而方差，相比较路线的波动性更小，所以选择路线更优．
本题考查数据的分析，数据的集中和波动问题，
平均数，中位数，众数的计算．
方差的实际应用．
本题考查数据的波动与集中程度，解题的关键是能够平均数，中位数，众数进行准确的计算，理解方差的意义，并进行作答．
 

22.【答案】证明：点关于的对称点为，
，，
四边形是矩形，
，
，
；
证明：如图，
设与切于点，连接，并延长交于点，
，，
四边形是矩形，
，，，，
，，，
，
，
≌，
，
，
由知：，
，
，
，
，
，
由知：，
，
，
；
解：如图，
设切于点，连接，
，
由知：，，，
，，
∽，∽，
，
，，
，
，
，
，，
设，则，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
．
 

【解析】根据轴对称的性质可得，，根据四边形是矩形，得出，从而，从而得出；
设与切于点，连接，并延长交于点，可证得，从而得出，进而得出，从而；
设切于点，连接，可推出，，从而，进而得出，，从而得出，，设，则，在中，由勾股定理得出，从而求得，进而得出的面积．
本题考查了圆的切线性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
 

23.【答案】解：当时，
在和中，
，
≌，
即旋转角，
，
，
当旋转角为时，；

过点作轴于点，则有，，

，
四边形是正方形，
，，
又，，
，
∽，
，
，
的长为；

过点作直线于点，交于点，

四边形是正方形，
，，
又，
，
、、、四点共圆，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，

又，
，
≌，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又为等腰直角三角形，
，
，
关于的函数表达式为． 

【解析】如图中，当时，得到≌，利用全等三角形的性质以及旋转的性质解决问题即可；
在图中，过点作轴于点，利用三角形相似，可得结论；
过点作直线于点，交于点，利用四点共圆，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键，结合三角形全等的判定和性质和三角形的面积公式解决问题．
本题属于一次函数综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．