专题33：抛物线的应用问题17页

专题33：抛物线的应用问题

一、单选题

1．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

2．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线，弦过焦点，为阿基米德三角形，则为（    ）.

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．随位置变化前三种情况都有可能关系

3．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（    ）

A． B． C． D．1

4．若抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在准线l上的射影为，则的最大值为（      ）

A． B． C． D．

5．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线（光线不同过抛物线对称轴上任意两点）经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.若一条平行于轴的光线从射出，经过抛物线上过的点反射后，再经抛物线上的另一点反射出，则直线的斜率为

A． B． C． D．

二、填空题

6．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米，则水面宽为________米.

7．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后.反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线，平行于轴的光线在抛物线上点处反射后经过抛物线的焦点，在抛物线上点处再次反射，又沿平行于轴方向射出，则两平行光线间的最小距离为___________.

8．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，根据图上尺寸， 溢流孔ABC所在抛物线的方程为_________， 溢流孔与桥拱交点A的横坐标为 ___________ .

9．已知抛物线，有如下性质：由抛物线焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为，过抛物线的焦点，经反射后，反射光线与轴的距离为，则抛物线的方程为_________.

10．已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是______.

三、解答题

11．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线过焦点的弦，已知以为直径的圆与相切于点.

（1）求的值及圆的方程；

（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.

12．抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点.设，两点的坐标分别是，.

（1）证明：；

（2）若四边形是平行四边形，且点的坐标为.求直线的方程.

13．有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示.为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米.若行车道总宽度为米.

(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；

(2)现有一辆载重汽车宽米，高米，试判断该车能否安全通过隧道？

参考答案

1．B

【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出点坐标以及直线的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出的三边长度，从而周长可求.

【解析】如下图所示：因为，所以，所以，所以，

又因为，所以，即，

又，所以，所以或，所以，所以，所以，

又因为，，，

所以的周长为：，

故选：B.

【点评】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）

（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；

（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.

2．B

【分析】本题首先可根据题意绘出图像，然后设出直线，与抛物线方程联立得出，再然后设出过点的切线，与抛物线方程联立得出，用同样的方式设出过点的切线，得出，最后根据即可得出结果.

【解析】如图，结合题意绘出 图像：

设，，则，，

设直线，

联立，整理得，则，，

设过点的切线为，

联立，整理得，

则，即，

设过点的切线为，同理可得，

则，即，，

故是直角三角形，

故选：B.

【点评】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的相关问题的求解，考查韦达定理和判别式的应用，考查学生对“阿基米德三角形”的理解，若两条直线的斜率乘积为，则这两条直线互相垂直，考查计算能力，是中档题.

3．C

【分析】由题意可得，设，要求的最大值，设，运用向量的加减法运算得，再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可求得直线的斜率的最大值.

【解析】解：由题意可得，设，

显然当时，；当时，；

要求的最大值，设，

由于是线段上的点，且，则，

则，

即：，

可得，

当且仅当时取得等号，

即：直线的斜率的最大值为.

故选：C.

【点评】本题考查抛物线方程的运用以及直线的斜率最大值，运用了基本不等式和向量的加减法运算，考查运算能力.

4．C

【分析】转化：，利用余弦定理：，即得解.

【解析】

如图所示，由题意得，

当且仅当：时，有最大值.

故选：C

【点评】本题考查了抛物线的综合问题，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.

5．A

【分析】求出A点坐标，根据光学性质可知直线AB经过焦点，从而得到结果.

【解析】代入解，得.即.由抛物线的光学性质知，直线经过焦点，所以直线的斜率.故选A.

【点评】本题考查抛物线的光学性质，考查抛物线的标准方程，考查直线的斜率的求法，属于基础题.

6．4.4

【分析】建立如图所求的坐标系，得出点坐标求得抛物线方程，代入求得点横坐标后可得结论．

【解析】解析：如图，建立直角坐标系，

设抛物线方程为x2=my，

将A(2，)代入x2=my，

得m=，

所以x2=y，代入B(x0，2.42)得x0=2.2，

故水面宽为4.4米.

故答案为：4.4 ．

7．

【分析】作出图像，设，题中问题即为求的最小值，设直线，联立，用韦达定理表示即可得解.

【解析】

根据题意作出图像，如图所示，设，题中问题即为求的最小值.

设，

由，得，

所以.

所以，

当时，最小为2.

故答案为：2.

8．       

【分析】根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为，溢流孔ABC所在方程为，运用待定系数法，求得，，可得右边第二个溢流孔所在方程，联立抛物线方程，可得所求.

【解析】设桥拱所在抛物线方程，由图可知，曲线经过，

代入方程，解得：，

所以桥拱所在抛物线方程；

四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，

设第一个抛物线，

由图抛物线经过点，则，解得，

所以，

点即桥拱所在抛物线与的交点坐标，

设

由，解得：

所以点A的横坐标为.

故答案为：；

【点评】关键点点睛：此题考查根据实际意义求抛物线方程和交点坐标，关键在于合理建立模型正确求解，根据待定系数法，及平移抛物线后方程的形式即可.

9．或

【分析】过点的直线为，与抛物线联立，求得，进而根据条件列方程可得的值，则抛物线方程可求.

【解析】过点的直线为，

由，得或，

从而或3，

故所求抛物线方程为或.

故答案为：或.

【点评】本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力，是基础题.

10．4

【分析】设，由抛物线定义和圆的性质可知，要使最小，则，从而将表示为关于的函数，利用基本不等式可求得最小值.

【解析】

设圆心为，则为抛物线的焦点，该抛物线的准线方程为:，

设，由抛物线的定义知：，

要使最小，则需最大，此时，

又，

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.

故答案为：.

【点评】本题考查抛物线中的最值问题的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质以及基本不等式的应用；关键是能够将所求式子表示为关于某一变量的函数的形式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值.

11．（1）2，；（2）证明见解析.

【分析】（1）由题意得的方程为，根据为抛物线过焦点的弦，以为直径的圆与相切于点..利用抛物线和圆的对称性，可得，圆心为，半径为2.

（2）设，的方程为，代入的方程，得，根据直线与抛物线相切，令，得，代入，解得.将代入的方程，得，得到点N的坐标为，然后求解.

【解析】（1）解：由题意得的方程为，

所以，解得.

又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为，半径为2.

所以圆的方程为.

（2）证明：易知直线的斜率存在且不为0，

设，的方程为，代入的方程，

得.

令，得，

所以，解得.

将代入的方程，得，即点N的坐标为，

所以，

，

故.

【点评】本题主要考查抛物线的定义几何性质以及直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

12．（1）见解析；（2）

【分析】（1）由抛物线的性质及题意，设，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，即可求解.

（2）由题意，求得，设，则，求得，得到直线的斜率为，即可得到直线的方程.

【解析】（1）由抛物线的性质及题意知，则光线必过抛物线的焦点，

设，代入抛物线方程得：，

所以.

（2）由题意知，，，所以，

关于直线对称与直线重合，

设，则，解得，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为.

【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的标准方程及其简单的几何性质，合理应用直线的斜率和倾斜角的关系，求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

13．（1）3.3米；（2）不能

【分析】(1)建立如图所示的坐标系，设抛物线的方程为，结合题意得到p值即可；

（2）对于抛物线，令，得，因为，所以，该车不能安全通过隧道.

【解析】(1)建立如图所示的坐标系，设抛物线的方程为，

根据题意，此抛物线经过点，代入抛物线方程解得，

所以抛物线的方程为. 在此方程中令，得，

因此，，

所以车辆通过隧道时的限制高度为米.

(2) 对于抛物线，令，得，

因为，所以，该车不能安全通过隧道.

【点评】本题主要考查了抛物线方程的应用，在解题时要通过题意画出图形，再根据所给的知识点求出答案是本题的关键．