专题24：双曲线的应用问题18页

专题24：双曲线的应用问题

一、单选题

1．双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为为其左､右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

2．设函数的图象由方程确定，对于函数给出下列命题：

：，，恒有成立；

：的图象上存在一点，使得到原点的距离小于；

：对于，恒成立；

则下列正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽.若水面下降，则水面宽是（    ）(结果精确到)(参考数值：，，)

A． B． C． D．

4．人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应（简称双耳效应）．根据双耳的时差，可以确定声源必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声源所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源对于测听者的方向偏角，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为，声源的声波传及甲的左、右两耳的时间差为，声速为，则声源对于甲的方向偏角的正弦值约为（    ）

A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05

5．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为，，且刚好三点共线，已知海里，海里，现以的中点为原点，所在直线为轴建系.现根据船接收到点与点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船在双曲线的左支上，若船上接到台发射的电磁波比台电磁波早（已知电磁波在空气中的传播速度约为，1海里），则点的坐标（单位：海里）为（    ）

A． B．

C． D．

6．如图，，两点在双曲线上，分别经过，两点向坐标轴作垂线段，已知阴影部分的面积为1，则面积等于（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

7．一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）

A．1 B．2

C．3 D．2.5

8．在平面上，将等轴双曲线的右支和它的两条渐近线、以及两条直线和围成的封闭图形记为D，则D绕轴旋转一周而成的几何体的体积为（    ）(提示:祖暅原理)

A． B． C． D．

9．直线与曲线的交点个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

10．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4.已知各观测点到该中心的距离是1020.则该巨响发生在接报中心的（  ）处.（假定当时声音传播的速度为340，相关各点均在同一平面上）

A．西偏北方向，距离 B．东偏南方向，距离

C．西偏北方向，距离 D．东偏南方向，距离

11．有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为:

A． B．

C． D．

二、填空题

12．在xOy平面上，将双曲线的一支及其渐近线和直线、围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周所得的几何体为，过作的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出体积为________

13．函数的定义域为，其图象上任一点满足，则给出以下四个命题：

①函数一定是偶函数； ②函数可能是奇函数；

③函数在单调递增； ④若是偶函数，其值域为

其中正确的序号为_______________.（把所有正确的序号都填上）

三、双空题

14．在平面直角坐标系xOy中，点M不与点O重合，称射线OM与圆的交点N为点M的“中心投影点”.

（1）点M的“中心投影点”为________；

（2）曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是_______．

参考答案

1．C

【分析】连接，已知条件为，，设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，这样可由勾股定理求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．

【解析】易知共线，共线，如图，设，，则，

由得，，又，

所以，，则，

所以，

由得，因为，故解得，

则，

在中，，即，所以．

故选：C．

【点评】 本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出的关系，解题方法是利用双曲线的性质及已知条件得出的性质，从而在这个三角形中把结合双曲线定义用表示，然后再用勾股定理求得出的关系式．

2．C

【分析】分类讨论去绝对值可得函数的图象，根据图象以及椭圆和双曲线的性质可得答案.

【解析】当时，方程化为表示椭圆的一部分；

当时，方程化为表示双曲线的一部分；

当时，方程化为表示双曲线的一部分；

所以函数的图象如图所示：

：，，恒有成立，等价于函数在R上为单调递减函数，由图可知，命题正确；
：的图象上存在一点，使得到原点的距离小于.

根据椭圆性质可知，椭圆短轴端点到原点的距离最小为，根据双曲线的性质可知，双曲线的顶点到原点的距离的最小为，故函数的图象上不存在一点，使得到原点的距离小，命题不正确；

：对于，恒成立等价于对于，.

从图象可知，直线的斜率大于双曲线的渐近线的斜率，所以直线与曲线有交点，故命题不正确.

所以、、不正确，正确.

故选：C

【点评】 分类讨论去绝对值，作出方程所确定的图象，利用图象求解是解题关键.

3．B

【分析】设出双曲线方程，写出点，代入双曲线方程即可求解.

【解析】如图：建系，

因为拱桥是等轴双曲线，

则设双曲线方程，，

又因为，，则，

将代入双曲线方程，可得，

解得，即，

当水面下降，纵坐标，

代入双曲线方程可得，

.

故选：B

4．D

【分析】由已知求出、焦距，利用可得可得答案.

【解析】设两耳所在双曲线的实轴长为，焦距为，虚轴长为，

则，，由题意，

所以，所以．

故选：D．

5．B

【分析】根据双曲线的定义求出点所在的双曲线的标准方程，将方程与联立，求解即可.

【解析】设由船到台和到台的距离差确定的双曲线方程为，

因为船上接到台发射的电磁波比台电磁波早，

则船到台和到台的距离差为海里，

故，又，故，

故由船到台和到台的距离差所确定的双曲线为，

联立，

解得，

故选：B.

【点评】本题考查了双曲线的定义、圆锥曲线在生活中的应用，考查了理解转化能力，属于中档题.

6．C

【分析】根据双曲线的性质，可以直接结论.

【解析】∵ ，两点在双曲线上

∴ 面积等于.

故选：C.

【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题型.

7．A

【分析】根据清洁钢球能擦净凹槽的最底部的轴截面图，只需圆与双曲线的顶点相交，联立圆与双曲线方程，得到关于的一元二次方程，要满足方程的根不能大于1，即可求解.

【解析】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如下图所示，

圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交，

设半径为，圆心为，

圆方程为：代入双曲线方程，

得，

要使清洁球到达底部，.

故选:A

【点评】本题考查圆锥曲线方程的实际应用，关键要把实际问题抽象转化为数学问题，属于较难题.

8．A

【分析】根据对称性将几何体分为上下两部分，由已知中过作几何体的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出几何体的体积即可．

【解析】双曲线的渐近线方程为，

记绕轴旋转一周所得的几何体为，根据对称性分为上下两部分，

过作几何体上半部分的水平截面，

则截面面积，

利用祖暅原理得的体积相当于底面面积为高为2的圆柱的体积，

∴的体积，

故选A.

【点评】本题考查了几何体的体积计算问题，也考查了双曲线的简单几何性质应用问题，正确理解题意是解题的关键，是中档题．

9．B

【分析】作出曲线的图像，利用是的切线，渐近线方程为,即可得出结论.

【解析】当时，曲线方程为,图形为双曲线在轴的右半部分；当时，曲线方程为，图形为圆在轴的左半部分；如图所示，因为是的切线，渐近线方程为,所以直线与曲线的交点个数为1.

【点评】本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题型.

10．A

【解析】

如图，以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系．设分别是西、东、北观测点，则

设为巨响为生点，由 同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声，故，由双曲线定义知点在以为焦点的双曲线上，依题意得 故双曲线方程为，将 代入上式，得 ，即

故 .

故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处．

故选A

【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时由题设条件作出图形，利用数形结合思想是解题的关键.．

11．A

【解析】由题得：设周长为

当且仅当M、A、B共线时，周长的最小

【点评】考察椭圆和双曲线的综合，根据题意要得周长得最小值，首先要将周长得表达式写出，根据椭圆和双曲线得性质得AB、BN、AM、AN的关系将其替换到周长中，然后根据三角形两边之和大于第三边得到答案

12．.

【分析】由已知中过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω的体积．

【解析】在xOy平面上，将双曲线的一支 及其渐近线和直线y=0，y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．

则直线y=a与渐近线交于一点A（，a）点，与双曲线的一支 交于B（，a）点，

记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω．

过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，

则截面面积S=，

利用祖暅原理得Ω的体积相当于底面面积为9π高为4的圆柱的体积，

∴Ω的体积V=9π×4=36π，

故答案为36π

【点评】本题考查的知识点是类比推理，其中利用祖暅原理将不规则几何体的体积转化为底面面积为9π高为4的圆柱的体积，是解答的关键．祖暅原理也可以成为中国的积分，将图形的横截面的面积在体高上积分，得到几何体的体积.

13．②

【解析】依题意知函数的图象是双曲线的一部分.

由函数的定义，函数的图象可能是以下情况：

从以上情况可以看出：①④表示偶函数，②③表示奇函数，①错②对；

由图②④可知函数在单调递减，故③错；

由图④可知函数是偶函数时，其值域也为，故④错.

故答案为：②.

14．       

【解析】（1），，所以，则点坐标为．

（2）双曲线的渐近线为，由“中心投影点”的定义，知中心投影点是单位圆上夹在两渐近线之间的两段圆弧，一条渐近线的倾斜角为，因此弧长为．