专题13：椭圆的应用问题24页

专题13：椭圆的应用问题

一、单选题

1．如图所示，“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①；②；③；④.其中正确的是（    ）

A．②③ B．①④ C．①③ D．②④

2．设函数的图象由方程确定，对于函数给出下列命题：

：，，恒有成立；

：的图象上存在一点，使得到原点的距离小于；

：对于，恒成立；

则下列正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（    ）

A． B． C． D．

4．2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（    ）

A．0.32 B．0.48 C．0.68 D．0.82

5．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（　　）

A．r+R B．r+R

C．r+R D．r+R

6．椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

7．已知水平地面上有一篮球，球的中心为，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为，篮球与地面的接触点为H，则的长为（    ）

A． B． C． D．

8．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别为，.某同学根据所学知识，得到下列结论:

①卫星向径的取值范围是

②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁

③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大

其中正确的结论是（    ）

A．①② B．①③ C．②④ D．①③④

9．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则

A． B． C． D．

10．仿照“Dandelin双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面．如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为

A． B． C． D．

二、多选题

11．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为和，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁

12．嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则（     ）

A．圆形轨道的周长为

B．月球半径为

C．近月点与远月点的距离为

D．椭圆轨道的离心率为

13．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点，是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程可以是（    ）

A． B． C． D．

14．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则

A． B． C． D．

三、填空题

15．从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是__________.

16．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，，则截口所在椭圆的离心率为______.

17．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．

参考答案

1．C

【分析】对于①，由建立联系；对于②，根据椭圆的性质及不等式的可加性可以判断；对于③，对式子先变形后就可以对③④作出判断.

【解析】由，，得，故①符合题意；

由图可知，，，故②不符合题意；

，，

，，

，故④不符合题意，③符合题意.

故选:C．

【点评】 解决本题的关键一是；二是对的变形.

2．C

【分析】分类讨论去绝对值可得函数的图象，根据图象以及椭圆和双曲线的性质可得答案.

【解析】当时，方程化为表示椭圆的一部分；

当时，方程化为表示双曲线的一部分；

当时，方程化为表示双曲线的一部分；

所以函数的图象如图所示：

：，，恒有成立，等价于函数在R上为单调递减函数，由图可知，命题正确；
：的图象上存在一点，使得到原点的距离小于.

根据椭圆性质可知，椭圆短轴端点到原点的距离最小为，根据双曲线的性质可知，双曲线的顶点到原点的距离的最小为，故函数的图象上不存在一点，使得到原点的距离小，命题不正确；

：对于，恒成立等价于对于，.

从图象可知，直线的斜率大于双曲线的渐近线的斜率，所以直线与曲线有交点，故命题不正确.

所以、、不正确，正确.

故选：C

【点评】 分类讨论去绝对值，作出方程所确定的图象，利用图象求解是解题关键.

3．A

【分析】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，设光速为，推导出，利用椭圆和双曲线的定义可得出，由此可计算得出与的离心率之比.

【解析】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，

在图②中，的周长为，

所以，，可得，

在图①中，由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得，

，则，

即，

由题意可知，的周长为，即，

所以，.

因此，与的离心率之比为.

故选：A.

【点评】 求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

4．C

【分析】由题意可知，求出的值，从而可求出椭圆的离心率

【解析】 由题意得，解得，

所以离心率，

故选：C

5．A

【分析】画出题意画出图形，结合题设条件和椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴和半焦距，进而求得卫星远地点离地面的距离.

【解析】由题意，椭圆的离心率，（c为半焦距；a为长半轴）

地球半径为R，卫星近地点离地面的距离为r，可得

联立方程组，，

如图所示，设卫星近地点的距离为，远地点的距离为，

所以远地点离地面的距离为r+

故选：A．

【点评】本题主要考查了椭圆的定义及几何性质的应用，其中解答中结合椭圆的几何性质求得椭圆的长半轴和半焦距是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

6．B

【分析】先根据椭圆的标准方程求出,,再根据光线路径分三种情况讨论即可得出结果.

【解析】解: 由题意可得,, ,

所以,.

①若光线从椭圆一个焦点沿轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射,

则所经过的路程为,

②若光线从椭圆一个焦点沿轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射,

则所经过的路程为.

③若光线从椭圆一个焦点沿非轴方向出发,

则所经过的路程为

故选:B

【点评】本题考查椭圆的基本性质,考查椭圆的反光镜问题,考查长半轴与半焦距之间的基本关系,属于中档题.

7．B

【分析】在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是，得到一个直角三角形，可得要求的结果．

【解析】 在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，
由图
，由是中点故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，
过球心向地面做垂线，垂足是，

在构成的直角三角形中，，
，
故选：B．

【点评】本题考查圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射下，投影中和球的量中，变与不变的量．

8．B

【分析】①根据椭圆的简单几何性质可知卫星向径的最小值和最大值分别为什么；

②根据向径的最小值与最大值的比值，结合椭圆的性质即可得出结论；

③根据在相同的时间内扫过的面积相等，即可判断

④根据题意结合椭圆的图形知卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小．

【解析】 如图所示，

对于①，卫星向径的最小值为，最大值为，①正确；

对于②，卫星向径的最小值与最大值的比值为，

越小，就越大，就越小，椭圆轨道越扁，②错误；

对于③，根据在相同的时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，③正确；

对于④，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，④错误；

综上，正确结论的序号是①③，共2个．

故选．

【点评】本题考查椭圆的相关性质，以及物理学中开普勒定律的理解，属于基础题．

9．C

【解析】由椭圆的光学性质得到直线平分角，因为

由，得到，故 .

故答案为C.

10．D

【分析】画出图形的轴截面图，则为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴，

利用直角三角形的边角关系计算可得.

【解析】 画出图形的轴截面如图所示:

则为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴；

依题意，，，

则

在中有

即椭圆中，，

，

故选：

【点评】本题考查了圆柱的性质、椭圆的离心率、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

11．ABC

【分析】根据已知条件得出，，结合离心率公式可判断各选项的正误.

【解析】由于轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心，则，且.

对于A选项，，，A选项正确；

对于B选项，，，，B选项正确；

对于C选项，，，即，所以，，C选项正确；

对于D选项，，所以，椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更圆，D选项错误.

故选：ABC.

【点评】 解决本题的关键在于以下两点：

（1）推导出，，并结合椭圆离心率的取值范围为求解；

（2）对于椭圆，离心率越大，椭圆越扁.

12．BC

【分析】根据题意结合椭圆定义和性质分别求出各量即可判断.

【解析】由题，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道，环绕周期为，则可得环绕的圆形轨道周长为km，半径为km，故A错误；

则月球半径为，故B正确；

则近月点与远月点的距离为，故C正确；

设椭圆方程为，则（为月球的半径），

，故离心率为，故D错误.

故选：BC.

【点评】本题考查椭圆的应用，解题的关键是正确理解椭圆的定义.

13．ACD

【分析】先由题意，不妨令椭圆的焦点在轴上，分三种情况讨论：（1）球从沿轴向左直线运动；（2）球从沿轴向右直线运动；（3）球从不沿轴，斜向上（或向下）运动；根据椭圆的性质，以及椭圆的定义，即可分别得出结果.

【解析】由题意，不妨令椭圆的焦点在轴上，以下分为三种情况：

（1）球从沿轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，

这时第一次回到路程是；

（2）球从沿轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，

这时第一次回到路程是；

（3）球从不沿轴，斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点，反弹后经过椭圆的另一个焦点，再弹到椭圆上一点，经反弹后经过点．

此时小球经过的路程是．

综上所述，从点沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点时，小球经过的路程是或或．

故选：ACD.

【点评】

求解本题的关键在于对椭圆定义和性质的理解，根据椭圆的光学性质，当光线不沿焦点所在直线出发时，从一个焦点出发，经过反射后必过另一焦点；由此即可求解.

14．ABD

【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.

【解析】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，

并且根据图象可得 ，（*）

，故A正确；

，故B正确；

（*）两式相加，可得，故C不正确；

由（*）可得 ，两式相乘可得

，

，故D正确.

故选ABD

【点评】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.

15．

【分析】利用切线方程和角的平分线垂直，结合斜率之积为，即可求解.

【解析】由题意，椭圆C在点处的切线，且，

所以切线的斜率为，而角的角平分线的斜率为，

又由切线垂直角的角平分线，所以，

即.

故答案为：.

16．

【分析】取焦点在轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有为椭圆通径，得，结合及解出代入离心率公式计算即可.

【解析】 取焦点在轴建立平面直角坐标系，由及椭圆性质可得，为椭圆通径，

所以，

又，解得

所以截口所在椭圆的离心率为

故答案为：

【点评】求椭圆的离心率或其范围的方法：

（1）求的值，由直接求；

（2）列出含有的齐次方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．

17．

【分析】利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为 的余弦值，即可得出椭圆离心率．

【解析】如图，圆锥面与其内切球，分别相切与，连接,则，，过作垂直于，连接， 交于点C

设圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为.

在中， ，

解得

即

则椭圆的离心率

【点评】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦与圆锥母线与轴的夹角的余弦

之比，即．