专题37：圆锥曲线的统一定义13页

专题37：圆锥曲线的统一定义

一、单选题

1．已知动点满足，则动点的轨迹是（    ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．无法确定

2．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

3．已知实数x，y满足条件，则点的运动轨迹是

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

4．已知是椭圆与抛物线的一个交点，定义.设定点，若直线与曲线恰有两个交点与，则周长的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则此椭圆的离心率的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．是椭圆上一动点，则点到椭圆左焦点的最远距离是（    ）

A． B． C． D．

7．直线过抛物线的焦点F且与抛物线交于A,B两点，则

A． B． C． D．

8．已知动点到点和到直线的距离相等，则动点的轨迹是

A．抛物线 B．双曲线左支

C．一条直线 D．圆

9．已知椭圆（）的焦点为，，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），则称点为“”点，则椭圆上的“”点有个

A． B． C． D．

二、填空题

10．设为椭圆:的右焦点，不垂直于轴且不过点的直线与交于，两点，在中，若的外角平分线与直线交于点，则的横坐标为______.

11．已知点在抛物线上，该抛物线的焦点为，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的角平分线所在直线方程为_________（用一般式表示）.

12．已知椭圆的离心率为，过右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，则________．

参考答案

1．A

【分析】根据题设条件，化简得到，结合椭圆的定义，即可求解.

【解析】由，即，

其几何意义为点到定点的距离等于到定直线的距离的，

根据椭圆的定义，可得点是以为焦点，以直线为准线的椭圆.

故选：A.

2．B

【分析】设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，根据直线的斜率为，得到，再利用双曲线的第二定义得到，又，结合求解.

【解析】设双曲线的右准线为，

过、分别作于，于，于，

如图所示：

因为直线的斜率为，

所以直线的倾斜角为，

∴，，

由双曲线的第二定义得：，

又∵，

∴，

∴

故选：B

【点评】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

3．A

【分析】先证明：当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆，然后转化已知条件为动点与定点和定直线的距离问题，然后判断即可．

【解析】先证明：当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆．

设点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，

设是点到直线的距离，

根据题意，所求轨迹就是集合，由此得．

将上式两边平方，并化简得．

设，就可化成，这是椭圆的标准方程．

故当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆．

由已知实数满足条件，

即，

表达式的含义是点到定点与到直线的距离的比为，由上述证明的结论可得，轨迹是椭圆．
故选：A．

【点评】本题考查椭圆的轨迹方程，考查转化思想，注意点是否在直线上是解题的关键之一．

4．C

【分析】抛物线与椭圆联立，得到和，从而得到，画出和图像，根据焦半径公式，得到和，从而表示出的周长，根据的范围，得到答案.

【解析】，解得，，

所以，

直线，

作出函数和的图像，

由图像可得点在抛物线上，在椭圆上，

点为抛物线的焦点，

所以，

点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，

所以，即

由焦半径公式可得，的周长为

，

由，得到，

所以的周长的取值范围为.

故选：C.

【点评】本题考查抛物线的定义，椭圆焦半径公式，椭圆上点的范围，属于中档题.

5．A

【分析】设P,由题得根据得即得解.

【解析】设P

由题得

因为

所以,

所以此椭圆的离心率的最小值为.

故选：A

【点评】本题主要考查椭圆的定义和离心率的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

6．B

【分析】设，根据椭圆的第二定义可得，即，由此即可确定的取值范围，即可求出的最大值。

【解析】椭圆的左准线方程为

设，则根据椭圆的第二定义可得

故选：

【点评】本题考查椭圆的性质，考查椭圆的第二定义，解题的关键是表达出焦半径．

7．B

【解析】

分析：是焦半径，故可用焦半径公式把转化为，联立直线方程和抛物线方程后再利用韦达定理可求此值.

详解：设，直线.

由 得到，

故，所以

，

故选B.

点睛：圆锥曲线中的定值问题，需要把目标代数式转化为关于（或）的代数式（为直线与圆锥曲线的两个交点），通过联立方程组消元后利用韦达定理求定值.

8．C

【解析】试题分析：由题意得，设，因为动点到点和到直线的距离相等，即，即，化简得，所以动点的轨迹是一条直线，故选C.

考点：轨迹方程的求解.

9．C

【解析】试题分析：设椭圆上的点，可知，因为，则有

，解得，因此满足条件的有四个点，故选C．

考点：新定义，椭圆的焦半径公式．

10．4

【分析】根据椭圆方程，设，由椭圆的第二定义得到，设 ，然后根据外角平分线定理，由求解.

【解析】如图所示：

因为椭圆方程为，

所以,

所以椭圆的右焦点是，

所以离心率为 ，

设，

由椭圆的第二定义得：

，

所以 ，

设 ，由外角平分线定理得，即，

化简得 ，

解得

所以的横坐标为4

故答案为：4

【点评】关键点点睛：本题关键是外角平分线定理的应用.

11．

【分析】由抛物线的几何性质可得的角平分线即为的垂直平分线，求出、的坐标后可得该垂直平分线的方程.

【解析】由抛物线的几何性质可得，故为等腰三角形，

故的角平分线即为的垂直平分线.

又，故的中点坐标为，又，

故的垂直平分线方程为：即.

故答案为：.

【点评】本题考查抛物线的几何性质，注意抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，解题时常利用这个性质实现两类距离之间的转化，本题属于中档题.

12．

【分析】设l为椭圆的右准线，过A、B作AA1，BB1垂直于l，过B作BE⊥AA1于E，根据椭圆的第二定义，转化求解即可．

【解析】设l为椭圆的右准线，过A、B作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，

过B作BE⊥AA1于E，根据椭圆的第二定义，得

|AA1|=，|BB1|=，

∵=2，∴cos∠BAE====，

∴tan∠BAE=．

∴k=．

故答案为

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的第二定义，考查转化思想以及计算能力．