初中数学冀教版九年级下册30.4 二次函数的应用教课课件ppt

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建立坐标系解抛物线形运动的最值问题建立坐标系解抛物线型建筑问题
前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题，实际问题中最值问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、隧道、以及一些运动类的“抛物线”型问题.
建立坐标系解抛物线形运动的最值问题
前面我们已学习了利用二次函数解决抛物线型建筑问题,下面我们学习建立坐标系解抛物线型运动问题.
例1 〈一题多解〉如图，某灌溉设备的喷 头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线 型水流在与喷头底部A的距离为1 m 处达到距离地面最大高度2.25 m，试 建立恰当的直角坐标系并求出与该抛物线型水流对应 的二次函数关系式．
导引：解决问题的关键是建立适当的平面直角坐标系，把 实际问题中的长度转化为点的坐标，从而利用待定 系数法求二次函数关系式．
解：方法一：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物 线的顶点为O(0，0)，且经过点B(－1，－1)．于是 设所求二次函数关系式为y＝ax2， 则有－1＝a·(－1)2，得a＝－1. ∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－x2.
方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为D(0，2.25)，且抛物线经过点B(－1，1.25)．于是设所求二次函数关系式为y＝ax2＋2.25，则有1.25＝a·(－1)2＋2.25，解得a＝－1.∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－x2＋2.25.
方法三：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为D(1，2.25)，且经过点B(0，1.25)．于是设所求二次函数关系式为y＝a(x－1)2＋2.25，则有1.25＝a(－1)2＋2.25，解得a＝－1.∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25.
解决抛物线型问题，其一般步骤为：(1)建立适当的坐标系，正确写出关键点的坐标；(2)根据图象设抛物线对应的函数表达式；(3)根据已知条件，利用待定系数法求表达式，再利用 二次函数的性质解题．在解题过程中要充分利用抛 物线的对称性，同时要注意数形结合思想的应用．
1 【中考·天门】飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数表达式是s＝60t－ t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为________．
2 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平 地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系， 水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：m) 的一部分，则水喷出的最大高度是(　　) A．4 m B．5 m C．6 m D．7 m
3 向上发射一枚炮弹，经x s后的高度为y m，且时间与 高度之间的关系为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第7 s与第 14 s时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最 高的(　　) A．第9.5 s B．第10 s C．第10.5 s D．第11 s
【中考·临沂】足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝ ；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是(　　)A．1 B．2 C．3 D．4
建立坐标系解抛物线型建筑问题
1. 运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛 (投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象 与概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号．
2．利用二次函数解决实际问题的基本思路是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式； (4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题．
导引：由题意可知拱桥为抛物线型，因此可建立以O为坐标原 点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴的直角坐标 系，利用二次函数y＝ax2＋c 解决问题．
例2 〈乌鲁木齐〉如图是一个抛物线型拱桥的示意图，桥的 跨度AB为100 m，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立 柱间的水平距离均为10 m(不考虑立柱的粗细)，其中距 A点10 m处的立柱FE的高度为3.6 m. (1)求正中间的立柱OC的高度． (2)是否存在一根立柱，其高度恰 好是OC的一半？请说明理由．
(1)根据题意可得正中间立柱OC经过AB的中点O，如图， 以O点为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y 轴，建立直角坐标系，则B点的坐标为(50，0)． ∵OF＝OA－FA＝40 m，∴E点的坐标为(－40，3.6)． 由题意可设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋c， ∴y＝－ x2＋10. 当x＝0时，y＝10， 即正中间的立柱OC的高度是10 m.
(2)不存在． 理由：假设存在一根立柱的高度是OC的一半，即这 根立柱的高度是5 m，则有5＝－ x2＋10， 解得x＝±25 .由题意知相邻立柱间的水平距离均 为10 m，正中间的立柱OC在y轴上， ∴每根立柱上的点的横坐标均为10的整数倍． ∴x＝±25 与题意不符． ∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半．
本题运用待定系数法求二次函数y＝ax2＋c的表达式.
1 (中考·铜仁)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛 物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数 表达式为 y＝－ x2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m时，这时水面宽度AB为(　　) A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
2 (中考·金华)图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱 与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB 为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成 抛物线y＝－ (x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交 点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10 m，则桥面 离水面的高度AC为(　　)   A．16 m B. m C．16 m D. m
例3 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如 图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线对应的函 数表达式为y＝－ x2＋c且过点C(0，5).(长度单位：m) (1)直接写出c的值； (2)现因做庆典活动，计划沿拱桥的 台阶表面铺设一条宽度为1.5 m的地 毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元； (3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH(H， G分别在抛物线的左右侧上)，并铺设斜面EG.已知矩形 EFGH的周长为27.5 m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度 数．(精确到0.1°)
导引：(1)将点C的坐标代入计算即可；(2)首先应求出铺设 地毯的台阶的表面积，而求表面积的关键在于求得 所有台阶的水平和竖直的总长度，进而求得所需钱 数；(3)求出点G的坐标，在Rt△EFG中，利用三角 函数求∠GEF的度数． 解：(1)c＝5. (2)由(1)知OC＝5.令y＝0，即－ x2＋5＝0， 解得x1＝10，x2＝－10. ∴地毯的总长度为AB＋2OC＝20＋2×5＝30(m)． ∴30×1.5×20＝900(元)． ∴购买地毯需要900元．
(3)可设G的坐标为 其中a＞0， 则EF＝2a m，GF＝ 由已知得2(EF＋GF)＝27.5 m，即2 解得a1＝5，a2＝35(不合题意，舍去)．当a＝5时， ＋5＝－ ×52＋5＝3.75，∴点G的坐标是(5，3.75)． ∴EF＝10 m，GF＝3.75 m.在Rt△EFG中，tan ∠GEF＝ 0.375，∴∠GEF≈20.6°.
本题实际上是一道函数与几何的综合题．主要考查根据题意和已知图形，利用数形结合思想、方程思想等来解决问题，是中等难度的试题．
3 (中考·绍兴)如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时， 桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以 水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为 坐标原点时抛物线对应的函数表达式是y＝－ (x－ 6)2＋4，则选取点B为坐标原点时抛物线对应的函数 表达式是______________________．
1.运动问题： (1)运动中的距离、时间、速度问题； 这类问题多根 据运动规律中的公式求解． (2)物 体的运动路线(轨迹)问题；解决这类问题的思想 方法是利用数形结合思想和函数思想，合理建立直 角坐标系，根据已知数据,运用待定系数法求出运动 轨迹(抛物线)的解析式，再利用二次函数 的性质去 分析、解决问题．
2.抛物线型建筑物问题：几种常见的抛物线型建筑 物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等．解决这类 问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立 直角坐标系，结合问题中的数据求出函数解析式， 然后利用函数解析式解决问题．