(通用版)中考数学二轮复习《再谈勾股定理的应用》专题训练题（含答案）
展开再谈勾股定理的应用
在数学解题中，当题中出现直角三角形(或可构造出直角三角形)时，往往可以运用勾股定理求解.
本文从近年各地数学竞赛题中选取一些典型试题，介绍勾股定理在求解竞赛题中的应用.
题1 (2010年全国联赛试题)在等腰直角中，，是内一
点，且，，则 .
解析 如图1，过作，.设，，在直角和直角中，由勾股定理，可得
由②①，得,
∴，
代入(1)得，
解得，.
当时，，
在直角中，由勾股定理，可得
.
当时，，
此时，
∴点在之外了，不合题意，舍去.
∴.
点评 本解法先根据题意画出图形，再作辅助线构造出新的直角三角形，然后运用勾股定理得解.
题2 (2008年浙江初赛试题)如图2，⊙与的斜边切于点，与直角边交于点，且，已知，，，则⊙的半径是( )
(A) (B) (C) (D) [来源:学科网ZXXK]
[来源:学科网ZXXK]
解析 连，过作，在中，由勾股定理，得
.
∵，
∴，
∴.
又∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴选D.
点评 本解法首先运用勾股定理，求得的长，然后再运用平行线分线段成此例定理与相似三角形性质，可得半径的长.
题3 (2006年江苏初三竞赛试题)如图3，四边形的对角线与相互垂直.若，，，则的长为( )
(A) (B) (C) (D)
解析 如图3，设.
由勾股定理，可得
由①②，得，⑤
由③、⑤，得，
两式相加，得，
∴，
∴.
∴选A.
点评本解法通过设辅助未知数、、、，由勾股定理建立关于、、、的方程组，求得的值，从而得到的长.
题4 (2005年五羊杯初三竞赛试题)如图4，在中，，，，，则的面积等于 .
解析 延长，过点作.
∵，
∴.
设，则，
由勾股定理，得
，
，
∴;
同理可得
.
由，
得，
∴，
化简得，
∴，
解得.
当，，
即，
∴不合题意，舍去;
当时，
，符合题意，
此时.
∴.
点评 由，容易想到延长(延长也可)，得，再构造，运用勾股定理、相似三角形性质求得的长.这一求解方法易于理解，而且计算也并不复杂.
题5 (2003年全国联合竞赛试题)已知直角的周长为4，面积为7，试求它的三边之长.
解析 设的三边之长分别为、、，其中为斜边.由题意，得
由③得，④
把④两边平方，得
.⑤
由⑤②，得，⑥
把②代入⑥，得
，
∴，
∴，
∴以、为根的一元二次方程为，
解得.
∴这个直角三角形之三边长分别为.
点评 本题表述简洁，通过设三边长分别为、、，由勾股定理、面积关系、周长关系建立起关于、、的方程组，并对等式变换，可计算出三边之长.
题6 (2004年江苏竞赛试题)如图5，在中，.若、上的中线、垂直相交于，则可用、的代数式表示为 .
解析 ∵、是的中线，
∴为的重心.
由重心定理，得.[来源:学科网]
设，
则.
在、、中，由勾股定理，得
由①+③，得，
∴，
∵，
∴
，
∴.
点评 本解法运用三角形重心定理与直角三角形勾股定理，建立相应的方程组，从而巧妙地把几何问题转化为代数问题了.
题7 (2006年山东竞赛试题)如图6，在中，，是的平分线.求证:.
证明 设，则，[来源:Zxxk.Com]
由勾股定理，得，
∴.
∵平分，
由三角形内角平分线定理，得，
∴，
解得.
∴，
∴.[来源:学_科_网]
点评 本解法由题意设辅助未知数，由勾股定理、三角形内角平分线性质定理把边长、数量化(即用含的代数式表示)，这样可简捷证出结果.
题8 (2006年上海币新知杯试题)如图7，四边形为直角梯形()，且.若在边上存在一点，使得为等边三角形，则的值为 .
解析 设.
由勾股定理，得
，
，
∴. ①
过点作，在中，
∵，
∴由勾股定理，得
.②
由②得，
∴.
∵，
∴.
代入①得，
∴，
∴.
解这个方程并取得正根，得
，
∴.
点评本解法运用设辅助未知数的方法，由勾股定理得到关于、、的两个方程，经变形、代换，求出之值.
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