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(通用版)中考数学二轮复习《圆周角定理的应用》专题训练题（含答案）
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这是一份(通用版)中考数学二轮复习《圆周角定理的应用》专题训练题（含答案），共27页。
圆周角定理 综合训练
一．选择题（共14小题）
1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（ ）
A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长
2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（ ）
A．10 B．12 C．8 D．16
3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（ ）
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在
8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（ ）
A．35° B．45° C．25° D．50°
9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（ ）
A．72° B．60° C．54° D．36°
10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．2 C．1+ D．2﹣
11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB的弦心距为（ ）
A． B．2 C． D．
13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是 度．
16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A= 度．
17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC= ．
18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为 ．
19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB= ．
三．解答题
20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．
（1）求证：∠C=∠BED；
（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；
（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．
21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．
（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：AE=BF；
（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．
22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．
23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．
（1）求证：△CBE∽△AFB；
（2）当时，求的值．
24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．
25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．
（1）求证：ID=BD；
（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．
（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；
（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（ ）
A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长
【解答】解：连接AO并延长交圆于点E，连接BE．则∠C=∠E，
由AE为直径，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，
所以△ABE和△BCD都是直角三角形，
所以∠CBD=∠EAB．
又△OAM是直角三角形，∵AO=1，
∴sin∠CBD=sin∠EAB==OM，即sin∠CBD的值等于OM的长．
故选：A．
2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（ ）
A．10 B．12 C．8 D．16
【解答】解：连接BC，则∠B=∠F，
∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠ACG=∠F．
又∵∠CAF=∠FAC，
∴△ACG∽△AFC，
∴AC：AF=AG：AC，
即AG•AF=AC2=（2）2=8．
故选：C．
3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解法一：
∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，
∴△AEB∽△DEC；
∴=；[来源:Z。xx。k.Com]
设BE=2x，则DE=5﹣2x，EC=x，AE=2（5﹣2x）；
连接BC，则∠ACB=90°；
Rt△BCE中，BE=2x，EC=x，则BC=x；
在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10﹣3x，BC=x；
由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，
即：72=（10﹣3x）2+（x）2，
整理，得4x2﹣20x+17=0，解得x1=+，x2=﹣；
由于x＜，故x=﹣；
则DE=5﹣2x=2．
解法二：连接OD，OC，AD，
∵OD=CD=OC
则∠DOC=60°，∠DAC=30°
又AB=7，BD=5，
∴AD=2，
在Rt△ADE中，∠DAC=30°，
所以DE=2．
故选：A．
4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，则∠E=∠C=30°，∠EAB=90°；
∴直径BE==2，
∵直径是圆内接正方形的对角线长，
∴圆内接正方形的边长等于
∴⊙O的内接正方形的面积为2．
故选：A．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（ ）
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
【解答】解：由圆周角定理知：∠ADB=∠ACB；∠CBD=∠CAD；∠BDC=∠BAC；∠ABD=∠ACD；
由对顶角相等知：∠1=∠3；∠2=∠4；
共有6对相等的角．
故选：C．[来源:学科网ZXXK]
6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，
∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A﹣2∠C=20°，
∴∠A﹣∠C=10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，
∴∠A+∠C=∠CEB=60°…②；
①+②，得：2∠A=70°，即∠A=35°．
故选：D．
7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在
【解答】解：如图，分别以AC，BC为边，作等边△APC，等边△BP′C，连接BP，
依题意，结合等边三角形的性质可知∠APB=∠AP′B=30°，
所以满足条件的点P的个数为2个．
故选：B．
8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（ ）
A．35° B．45° C．25° D．50°
【解答】解：∵弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，
∴2（∠A﹣∠D）=20°
即∠A﹣∠D=10°
∵∠DEC=80°
∴∠DEC=∠D+∠A=80°
∴∠A=45°，∠D=35°．
故选：B．
9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（ ）
A．72° B．60° C．54° D．36°
【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠AOB=360°÷5=72°．
故选：A．
10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．2 C．1+ D．2﹣
【解答】解：连接AD，OD
∵∠BAC=90°，AB=AC=2
∴△ABC是等腰直角三角形
∵AB是圆的直径
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC
∴点D是BC的中点
∴OD是△ABC的中位线
∴∠DOA=90°
∴△ODA，△ADC都是等腰直角三角形
∴两个弓形的面积相等
∴阴影部分的面积=S△ADC=AD2=1．
故选：A．
11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，
再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，
根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，
∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC=45°，正确；
②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF=AB，正确；
③连接FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；
④根据BM=BE，得左边=4BE2，故需证明AB=4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；
⑤正确．
所以①②③⑤共4个正确．故选C．
12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB的弦心距为（ ）
A． B．2 C． D．
【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，过点O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于M，交CD于点N．
在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；
∴∠DOG=∠DCO；
∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，
∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可证，AH=OH；
即H是Rt△AOB斜边AB上的中点．
同理可证得，M是Rt△COD斜边CD上的中点．
设圆心为O′，连接O′M，O′H；则O′M⊥CD，O′H⊥AB；
∵MN⊥AB，GH⊥CD；
∴O′H∥MN，OM∥GH；即四边形O′HOM是平行四边形；
因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜边CD上的中线，所以OM=O′H=CD=2．
故选：B．
13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：连接OD，
∵AO=OC=OD，DA=DC，
∴△ADO≌△CDO．
∴∠COD=∠AOD=∠AOC=80°．
∴∠ODC=∠OCD=∠ODA=∠OAD=50°．
∴∠CDA=100°．
∵AD∥BC，
∴∠DCB=180°﹣∠CDA=180°﹣100°=80°．
∴∠BCO=∠BCD﹣∠OCD=80°﹣50°=30°．
故选：B．
14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
【解答】解：①若△ABD∽△CAD，则一定有AD：BD=CD：AD，即AD2=BD•CD，而两三角形只有一对角对应相等，不会得到另外的对应角相等，故①不正确；
②若△BEG∽△AEB，则一定有BE：EG=AE：BE，即BE2=EG•AE，而两三角形只有一对公共角相等，不会得到另外的对应角相等，故②不正确；
③∵∠ABD=∠AEC，∠ADB=∠ACE=90°，∴△ABD∽△AEC，∴AE：AC=AB：AD，即AE•AD=AC•AB，故③正确；
∵根据相交弦定理，可直接得出AG•EG=BG•CG，故④正确．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是 60 度．
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠BAC=60°；
由圆周角定理，得：∠BDC=∠A=60°．
16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A= 28 度．
【解答】解：∵∠BOC=56°
∴∠A=∠BOC=28°．
17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC= ﹣x2+x ．
【解答】解：根据相交弦定理，可知PA•PC=BP•PD，
∵CD=1，BD=2
而AB=BC
∴
∴∠ADB=∠BDC
∵∠ABD=∠ACD
∴△ADB∽△PDC
∴CD：BD=PD：AD
而BD=2CD
∴PD=x
∴BP=BD﹣PD=2﹣x
∴PA•PC=BP•PD=（2﹣x）×x=﹣x2+x．
18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为 2 ．
【解答】解：∵弧AB=弧AC=弧CD，
∴∠1=∠2=∠3=∠4；
∴△AEC∽△BAC；
∴CE：AC=AC：BC；
∵AC=AB=3，因此CE•BC=3×3=9；
∵BC=BE+CE，
∴CE（BE+CE）=9，整理得：CE•BE+CE2=9 ①；
由根据相交弦定理得，BE•CE=AE•ED=5 ②；
②代入①得：5+CE2=9，解得：CE=2（负值舍去）．
19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB= 3 ．
【解答】解：连接BE、CE，则∠ABE=∠ACE=90°．
∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，
∴△ADC∽△BDE，
∴． ①
同理可由△ADB∽△CDE，得． ②
①×②，得==3．
Rt△AEC中，tan∠AEC=．
同理得tan∠AEB=．
故tan∠AEC•tan∠AEB==3．
∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，
∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．
三．解答题（共7小题）
20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．
（1）求证：∠C=∠BED；
（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；
（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，
∴∠C+∠AOC=90°；
又∵0C⊥AD，
∴∠OFA=90°，
∴∠AOC+∠BAD=90°，
∴∠C=∠BAD．
又∵∠BED=∠BAD，
∴∠C=∠BED．
（2）解：由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=，
∴tan∠C=．
在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，
∴，解得．
（3）解：∵OC⊥AD，∴，∴AE=ED，
又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴，
∴AE=BD，
∴AE=BD=DE，
∴，
∴∠BAD=30°，
又∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∴BD=AB=5，DE=5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=，
过点D作DH⊥AB于H，
∵∠HAD=30°，∴DH=AD=，
∴四边形AEDB的面积=．
21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．
（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：AE=BF；
（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．
【解答】（1）解：猜想OG⊥CD．
证明：如图，连接OC、OD，
∵OC=OD，G是CD的中点，
∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ACE和Rt△BCF中，
∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，
∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）．
∴AE=BF．
（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．
∴OH=AD，即AD=2OH，
又∠CAD=∠BAD⇒CD=BD，∴OH=OG．
在Rt△BDE和Rt△ADB中，
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB，
∴，即BD2=AD•DE．
∴．
又BD=FD，∴BF=2BD，
∴①，
设AC=x，则BC=x，AB=，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD=∠BAD．
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．
∴AF=AB=，BD=FD．
∴CF=AF﹣AC=．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
②，
由①、②，得，
∴x2=12，解得或（舍去），
∴，
∴⊙O的半径长为．
∴S⊙O=π•（）2=6π．
[来源:Z|xx|k.Com]
22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．
【解答】（1）证明：连接AC，如图
∵C是弧BD的中点
∴∠BDC=∠DBC（1分）
又∵∠BDC=∠BAC
在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB
∴∠BCE=∠BAC
∠BCE=∠DBC（3分）
∴CF=BF；（4分）
（2）解：解法一：作CG⊥AD于点G，
∵C是弧BD的中点
∴∠CAG=∠BAC，
即AC是∠BAD的角平分线．（5分）
∴CE=CG，AE=AG（6分）
在Rt△BCE与Rt△DCG中，
CE=CG，CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）
∴BE=DG（7分）
∴AE=AB﹣BE=AG=AD+DG
即6﹣BE=2+DG
∴2BE=4，即BE=2（8分）
又∵△BCE∽△BAC
∴BC2=BE•AB=12（9分）
BC=±2（舍去负值）
∴BC=2．（10分）
解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB
∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分
在Rt△ADB与Rt△FEB中，
∵∠ABD=∠FBE
∴△ADB∽△FEB，
则，即，
∴BF=3EF（6分）
又∵BF=CF，
∴CF=3EF
利用勾股定理得：
（7分）
又∵△EBC∽△ECA
则，
则CE2=AE•BE（8分）
∴（CF+EF）2=（6﹣BE）•BE
即（3EF+EF）2=（6﹣2EF）•2EF[来源:学#科#网Z#X#X#K]
∴EF=（9分）
∴BC=．（10分）
23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．
（1）求证：△CBE∽△AFB；
（2）当时，求的值．
【解答】（1）证明：∵AE=EB，AD=DF，
∴ED是△ABF的中位线，
∴ED∥BF，
∴∠CEB=∠ABF，
又∵∠C=∠A，
∴△CBE∽△AFB．
（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，
∴，
又AF=2AD，
∴．
24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．
【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，
∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F．
∴∠F=∠BCD．
在△BCG和△BFC中，，
∴△BCG∽△BFC．
∴．
即BC2=BG•BF．
25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．
（1）求证：ID=BD；
（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI（2分）
∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD（3分）
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD；（5分）
（2）解：∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D
∴△ABD∽△BED（7分）
∴
∴AD×DE=BD2=ID2（8分）
∵ID=6，AD=x，DE=y
∴xy=36（9分）
又∵x=AD＞ID=6，AD不大于圆的直径10
∴6＜x≤10
∴y与x的函数关系式是（6＜x≤10）．（10分）
说明：只要求对xy=36与6＜x≤10，不写最后一步，不扣分．
26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．
（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；
（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？
【解答】解：（1）如图①，△PDC为等边三角形．
（2分）
理由如下：
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC
∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC
又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC
∴PC=DC
∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°
∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°
∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°
∴△PDC为等边三角形；（6分）
（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．（8分）
理由如下：
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC
∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC
又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC
∴PC=DC
∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°
∴△PDC为等边三角形．（12分）
圆周角定理 综合训练
一．选择题（共14小题）
1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（ ）
A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长
2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（ ）
A．10 B．12 C．8 D．16
3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（ ）
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在
8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（ ）
A．35° B．45° C．25° D．50°
9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（ ）
A．72° B．60° C．54° D．36°
10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．2 C．1+ D．2﹣
11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB的弦心距为（ ）
A． B．2 C． D．
13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是 度．
16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A= 度．
17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC= ．
18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为 ．
19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB= ．
三．解答题
20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．
（1）求证：∠C=∠BED；
（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；
（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．
21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．
（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：AE=BF；
（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．
22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．
23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．
（1）求证：△CBE∽△AFB；
（2）当时，求的值．
24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．
25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．
（1）求证：ID=BD；
（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．
（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；
（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（ ）
A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长
【解答】解：连接AO并延长交圆于点E，连接BE．则∠C=∠E，
由AE为直径，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，
所以△ABE和△BCD都是直角三角形，
所以∠CBD=∠EAB．
又△OAM是直角三角形，∵AO=1，
∴sin∠CBD=sin∠EAB==OM，即sin∠CBD的值等于OM的长．
故选：A．
2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（ ）
A．10 B．12 C．8 D．16
【解答】解：连接BC，则∠B=∠F，
∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠ACG=∠F．
又∵∠CAF=∠FAC，
∴△ACG∽△AFC，
∴AC：AF=AG：AC，
即AG•AF=AC2=（2）2=8．
故选：C．
3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解法一：
∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，
∴△AEB∽△DEC；
∴=；[来源:Z。xx。k.Com]
设BE=2x，则DE=5﹣2x，EC=x，AE=2（5﹣2x）；
连接BC，则∠ACB=90°；
Rt△BCE中，BE=2x，EC=x，则BC=x；
在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10﹣3x，BC=x；
由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，
即：72=（10﹣3x）2+（x）2，
整理，得4x2﹣20x+17=0，解得x1=+，x2=﹣；
由于x＜，故x=﹣；
则DE=5﹣2x=2．
解法二：连接OD，OC，AD，
∵OD=CD=OC
则∠DOC=60°，∠DAC=30°
又AB=7，BD=5，
∴AD=2，
在Rt△ADE中，∠DAC=30°，
所以DE=2．
故选：A．
4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，则∠E=∠C=30°，∠EAB=90°；
∴直径BE==2，
∵直径是圆内接正方形的对角线长，
∴圆内接正方形的边长等于
∴⊙O的内接正方形的面积为2．
故选：A．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（ ）
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
【解答】解：由圆周角定理知：∠ADB=∠ACB；∠CBD=∠CAD；∠BDC=∠BAC；∠ABD=∠ACD；
由对顶角相等知：∠1=∠3；∠2=∠4；
共有6对相等的角．
故选：C．[来源:学科网ZXXK]
6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，
∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A﹣2∠C=20°，
∴∠A﹣∠C=10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，
∴∠A+∠C=∠CEB=60°…②；
①+②，得：2∠A=70°，即∠A=35°．
故选：D．
7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在
【解答】解：如图，分别以AC，BC为边，作等边△APC，等边△BP′C，连接BP，
依题意，结合等边三角形的性质可知∠APB=∠AP′B=30°，
所以满足条件的点P的个数为2个．
故选：B．
8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（ ）
A．35° B．45° C．25° D．50°
【解答】解：∵弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，
∴2（∠A﹣∠D）=20°
即∠A﹣∠D=10°
∵∠DEC=80°
∴∠DEC=∠D+∠A=80°
∴∠A=45°，∠D=35°．
故选：B．
9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（ ）
A．72° B．60° C．54° D．36°
【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠AOB=360°÷5=72°．
故选：A．
10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．2 C．1+ D．2﹣
【解答】解：连接AD，OD
∵∠BAC=90°，AB=AC=2
∴△ABC是等腰直角三角形
∵AB是圆的直径
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC
∴点D是BC的中点
∴OD是△ABC的中位线
∴∠DOA=90°
∴△ODA，△ADC都是等腰直角三角形
∴两个弓形的面积相等
∴阴影部分的面积=S△ADC=AD2=1．
故选：A．
11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，
再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，
根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，
∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC=45°，正确；
②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF=AB，正确；
③连接FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；
④根据BM=BE，得左边=4BE2，故需证明AB=4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；
⑤正确．
所以①②③⑤共4个正确．故选C．
12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB的弦心距为（ ）
A． B．2 C． D．
【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，过点O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于M，交CD于点N．
在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；
∴∠DOG=∠DCO；
∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，
∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可证，AH=OH；
即H是Rt△AOB斜边AB上的中点．
同理可证得，M是Rt△COD斜边CD上的中点．
设圆心为O′，连接O′M，O′H；则O′M⊥CD，O′H⊥AB；
∵MN⊥AB，GH⊥CD；
∴O′H∥MN，OM∥GH；即四边形O′HOM是平行四边形；
因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜边CD上的中线，所以OM=O′H=CD=2．
故选：B．
13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：连接OD，
∵AO=OC=OD，DA=DC，
∴△ADO≌△CDO．
∴∠COD=∠AOD=∠AOC=80°．
∴∠ODC=∠OCD=∠ODA=∠OAD=50°．
∴∠CDA=100°．
∵AD∥BC，
∴∠DCB=180°﹣∠CDA=180°﹣100°=80°．
∴∠BCO=∠BCD﹣∠OCD=80°﹣50°=30°．
故选：B．
14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
【解答】解：①若△ABD∽△CAD，则一定有AD：BD=CD：AD，即AD2=BD•CD，而两三角形只有一对角对应相等，不会得到另外的对应角相等，故①不正确；
②若△BEG∽△AEB，则一定有BE：EG=AE：BE，即BE2=EG•AE，而两三角形只有一对公共角相等，不会得到另外的对应角相等，故②不正确；
③∵∠ABD=∠AEC，∠ADB=∠ACE=90°，∴△ABD∽△AEC，∴AE：AC=AB：AD，即AE•AD=AC•AB，故③正确；
∵根据相交弦定理，可直接得出AG•EG=BG•CG，故④正确．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是 60 度．
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠BAC=60°；
由圆周角定理，得：∠BDC=∠A=60°．
16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A= 28 度．
【解答】解：∵∠BOC=56°
∴∠A=∠BOC=28°．
17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC= ﹣x2+x ．
【解答】解：根据相交弦定理，可知PA•PC=BP•PD，
∵CD=1，BD=2
而AB=BC
∴
∴∠ADB=∠BDC
∵∠ABD=∠ACD
∴△ADB∽△PDC
∴CD：BD=PD：AD
而BD=2CD
∴PD=x
∴BP=BD﹣PD=2﹣x
∴PA•PC=BP•PD=（2﹣x）×x=﹣x2+x．
18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为 2 ．
【解答】解：∵弧AB=弧AC=弧CD，
∴∠1=∠2=∠3=∠4；
∴△AEC∽△BAC；
∴CE：AC=AC：BC；
∵AC=AB=3，因此CE•BC=3×3=9；
∵BC=BE+CE，
∴CE（BE+CE）=9，整理得：CE•BE+CE2=9 ①；
由根据相交弦定理得，BE•CE=AE•ED=5 ②；
②代入①得：5+CE2=9，解得：CE=2（负值舍去）．
19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB= 3 ．
【解答】解：连接BE、CE，则∠ABE=∠ACE=90°．
∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，
∴△ADC∽△BDE，
∴． ①
同理可由△ADB∽△CDE，得． ②
①×②，得==3．
Rt△AEC中，tan∠AEC=．
同理得tan∠AEB=．
故tan∠AEC•tan∠AEB==3．
∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，
∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．
三．解答题（共7小题）
20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．
（1）求证：∠C=∠BED；
（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；
（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，
∴∠C+∠AOC=90°；
又∵0C⊥AD，
∴∠OFA=90°，
∴∠AOC+∠BAD=90°，
∴∠C=∠BAD．
又∵∠BED=∠BAD，
∴∠C=∠BED．
（2）解：由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=，
∴tan∠C=．
在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，
∴，解得．
（3）解：∵OC⊥AD，∴，∴AE=ED，
又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴，
∴AE=BD，
∴AE=BD=DE，
∴，
∴∠BAD=30°，
又∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∴BD=AB=5，DE=5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=，
过点D作DH⊥AB于H，
∵∠HAD=30°，∴DH=AD=，
∴四边形AEDB的面积=．
21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．
（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：AE=BF；
（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．
【解答】（1）解：猜想OG⊥CD．
证明：如图，连接OC、OD，
∵OC=OD，G是CD的中点，
∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ACE和Rt△BCF中，
∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，
∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）．
∴AE=BF．
（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．
∴OH=AD，即AD=2OH，
又∠CAD=∠BAD⇒CD=BD，∴OH=OG．
在Rt△BDE和Rt△ADB中，
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB，
∴，即BD2=AD•DE．
∴．
又BD=FD，∴BF=2BD，
∴①，
设AC=x，则BC=x，AB=，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD=∠BAD．
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．
∴AF=AB=，BD=FD．
∴CF=AF﹣AC=．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
②，
由①、②，得，
∴x2=12，解得或（舍去），
∴，
∴⊙O的半径长为．
∴S⊙O=π•（）2=6π．
[来源:Z|xx|k.Com]
22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．
【解答】（1）证明：连接AC，如图
∵C是弧BD的中点
∴∠BDC=∠DBC（1分）
又∵∠BDC=∠BAC
在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB
∴∠BCE=∠BAC
∠BCE=∠DBC（3分）
∴CF=BF；（4分）
（2）解：解法一：作CG⊥AD于点G，
∵C是弧BD的中点
∴∠CAG=∠BAC，
即AC是∠BAD的角平分线．（5分）
∴CE=CG，AE=AG（6分）
在Rt△BCE与Rt△DCG中，
CE=CG，CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）
∴BE=DG（7分）
∴AE=AB﹣BE=AG=AD+DG
即6﹣BE=2+DG
∴2BE=4，即BE=2（8分）
又∵△BCE∽△BAC
∴BC2=BE•AB=12（9分）
BC=±2（舍去负值）
∴BC=2．（10分）
解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB
∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分
在Rt△ADB与Rt△FEB中，
∵∠ABD=∠FBE
∴△ADB∽△FEB，
则，即，
∴BF=3EF（6分）
又∵BF=CF，
∴CF=3EF
利用勾股定理得：
（7分）
又∵△EBC∽△ECA
则，
则CE2=AE•BE（8分）
∴（CF+EF）2=（6﹣BE）•BE
即（3EF+EF）2=（6﹣2EF）•2EF[来源:学#科#网Z#X#X#K]
∴EF=（9分）
∴BC=．（10分）
23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．
（1）求证：△CBE∽△AFB；
（2）当时，求的值．
【解答】（1）证明：∵AE=EB，AD=DF，
∴ED是△ABF的中位线，
∴ED∥BF，
∴∠CEB=∠ABF，
又∵∠C=∠A，
∴△CBE∽△AFB．
（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，
∴，
又AF=2AD，
∴．
24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．
【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，
∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F．
∴∠F=∠BCD．
在△BCG和△BFC中，，
∴△BCG∽△BFC．
∴．
即BC2=BG•BF．
25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．
（1）求证：ID=BD；
（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI（2分）
∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD（3分）
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD；（5分）
（2）解：∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D
∴△ABD∽△BED（7分）
∴
∴AD×DE=BD2=ID2（8分）
∵ID=6，AD=x，DE=y
∴xy=36（9分）
又∵x=AD＞ID=6，AD不大于圆的直径10
∴6＜x≤10
∴y与x的函数关系式是（6＜x≤10）．（10分）
说明：只要求对xy=36与6＜x≤10，不写最后一步，不扣分．
26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．
（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；
（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？
【解答】解：（1）如图①，△PDC为等边三角形．
（2分）
理由如下：
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC
∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC
又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC
∴PC=DC
∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°
∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°
∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°
∴△PDC为等边三角形；（6分）
（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．（8分）
理由如下：
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC
∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC
又∵AP=BD
∴△APC≌△BDC
∴PC=DC
∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC
∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°
∴△PDC为等边三角形．（12分）
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