初中数学北京课改版八年级上册11.6 二次根式的乘除法优质学案及答案

二次根式

知识点：二次根式的乘除法

         温故

1、单项式乘以单项式：单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4、单项式除以单项式：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

         知新

二次根式的乘法法则：

一般地 ，有（a≥0，b≥0），即两个非负数的算术平方根的乘积等于这两个数的乘积的算术平方根。

※在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a、b均为非负数这一条件。

【例】计算

 (1)×     (2)3    (3)×    (4)×

二次根式乘法法则的逆用：

（a≥0，b≥0），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。

【例】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

 (1)

 (2)×=4××=4×=4=8

二次根式的除法法则：

一般地，有（a≥0，b＞0），即两个非负数的算术平方根的商等于这两个数的商的算术平方根。

※此处，a是非负数，而b必须是正数。因为b处在分母的位置，而分母不能为0.

二次根式除法法则的逆用：

（a≥0，b＞0），即商的算术平方根等于分子、分母的算术平方根之商。

【例】计算

(1)     (2)      (3)     （4）

最简二次根式：

最简二次根式需要满足以下两个条件：

1、被开方数不含有能开得尽方的因数或因式；

2、被开方数的因数是整数，字母因式是整式。

满足以上两个条件的二次根式叫做最简二次根式。

※在求最简二次根式的时候，主要是考虑根号下的数字因数。因为字母因数的指数一目了然。而在判断数字因数是否可以继续开方的时候，可以运用小学所学的质因数分解法，对其二次根式下的数字因数进行分解。分解过程中，若某个质因数出现2次以上，则说明其不是最简二次根式。

【例】下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？

  (1)   (2)   (3)  (4)   (5)   (6)

分母有理化：

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

※分母有理化其实是利用分式的基本性质，将分式的分子与分母同时乘相同的数，在保证分式大小不变的前提下，消去分母当中的根号。要想去掉分母当中的根号，只能通过其逆运算平方。主要有以下两种情况：

1、当分母中只有一项，且含根号时：直接让分子、分母同时乘以分母即可；

2、当分母中包含两项时，其中一项或两项含根号：运用平方差公式，使分母中两项同时平方，且不产生新的项。

【例】把下列各式分母有理化

(1)                              (2)

         【当堂演练】

1、计算

①×   ②3×2    ③·

2、化简

;     ;      ;       (a>0,b>0)

3、把下列各式化为最简二次根式：

(1)                (2)              (3)

4、把下列各式分母有理化

 （1）                                 （2）（x＞0，y＞0）

5、比较大小

(1)与              (2)与

         【百炼成钢】

一、选择题、

1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

2．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②•=1，③÷=﹣b，其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

3．下列等式不一定成立的是（　　）

A．=（b≠0）     B．a3•a﹣5=（a≠0）

C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）   D．（﹣2a3）2=4a6

4．使式子成立的条件是（　　）

A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5

5．若，且x+y=5，则x的取值范围是（　　）

A．x＞ B．≤x＜5 C．＜x＜7 D．＜x≤7

6．下列计算正确的是（　　）

A．×= B．x8÷x2=x4 C．（2a）3=6a3 D．3a5•2a3=6a6

7．化简的结果是（　　）

A． B． C． D．

　二．填空题

8．若和都是最简二次根式，则m=　　，n=　　．

　三．解答题

10．（1）÷3×5；   （2）﹙﹣﹚÷（）．

11．（1）   （2）

12．（1）化简：•（﹣4）÷

（2）已知x=﹣1，求x2+3x﹣1的值．

13．（1）计算：•（÷）；

（2）已知实数x、y满足：+（y﹣）2=0，求的值．

14．计算：（）2﹣（2016）0+（）﹣1．

15．已知x、y为正数，且（+）=3（+5），求的值．

16．自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“”，而是“”，刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a﹣3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？就是说，按照解题和按照解题的结果一样吗？