高中北师大版 (2019)2.1 两角和与差的余弦公式及其应用练习

这是一份高中北师大版 (2019)2.1 两角和与差的余弦公式及其应用练习，共10页。试卷主要包含了下列结论中正确的是，cs等于，若a=,b=,则a·b=等内容，欢迎下载使用。


§2 两角和与差的三角函数公式
2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
基础过关练
题组一 对两角和与差的余弦公式的理解
1.下列结论中正确的是( )

A.对任意角α,β,有cs(α-β)=cs α-cs β
B.对任意角α,β,有cs(α+β)=cs αcs β+sin αsin β
C.存在角α,β,使cs(α-β)=cs αcs β-sin αsin β
D.不存在角α,β,使cs(α+β)=cs α+cs β
2.cs 50°=( )
A.cs 70°cs 20°-sin70°sin 20°
B.cs 70°sin 20°-sin70°cs 20°
C.cs 70°sin 20°+sin70°cs 20°
D.cs 70°cs 20°+sin70°sin 20°
3.(2020山东青州高一期末)满足sin αsin β=-cs αcs β的一组值可能是( )
A.α=β=90°B.α=130°,β=40°
C.α=18°,β=72°D.α=140°,β=40°
4.化简cs(α+β)cs α+sin(α+β)sin α=( )
A.cs αB.cs β
C.cs(2α+β)D.sin(2α+β)
5.(2020陕西西安高一模块检测)求csπ4-αsinα+csα的值.
题组二 给角求值问题
6.cs(-375°)等于( )
A.3+24B.6-24C.6+24D.3-24
7.(2020福建龙岩高一期中)若a=(cs 100°,sin 100°),b=(cs 10°,sin 10°),则a·b=( )
A.cs 110°B.sin 110°C.1D.0
8.(2020重庆八中高一期末)(1)求sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°的值;
(2)求12cs 15°+32sin 15°的值.
9.已知向量a=(cs 75°,sin 75°),b=(cs 15°,sin 15°),求|a-b|的值.
题组三 给值求值问题
10.已知α∈0,π2,cs α=33,则csα+π6=( )
A.12-66B.1-66
C.-12+66D.-1+66
11.(2020山东潍坊高一期末)已知α∈π2,π,sinα+π4=35,则cs α=( )
A.-210B.7210
C.-210或7210D.-7210
12.(2020辽宁锦州高一期中)若sin α-sin β=32,cs α-cs β=12,则cs(α-β)的值为( )
A.12B.32C.34D.1
13.(2020江苏南京外国语学校高一检测)已知3cs(2α+β)+5cs β=0,则tan(α+β)tan α=( )
A.±4B.4C.-4D.1
14.已知cs(α+β)=45,cs(α-β)=-45,则cs αcs β= .
15.若α,β均为锐角,且sin α=255,cs(α+β)=35,则cs β等于 .
16.已知csα-π3=cs α,则tan α= .
题组四 给值求角问题
17.(2020山东聊城高一期末)已知α、β均为锐角,且sin α=255,sin β=1010,则α-β等于( )
A.-π4B.π4C.3π4D.π6
18.(2020安徽滁州高二期中)若cs αcs β=32-sin α·sin β,且α∈0,π2,β∈π2,π,则α-β的值是( )
A.-π6B.-π3C.π6D.π3
19.若cs(α-β)=55,cs 2α=1010,α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为( )
A.π6B.π4C.3π4D.5π6
20.已知cs α=17,cs(α-β)=1314,且0<β<α<π2,求β的值.
21.已知cs(α-β)=-1213,cs(α+β)=1213,且α-β∈π2,π,α+β∈3π2,2π,求β的值.
答案全解全析
第四章 三角恒等变换
§2 两角和与差的三角函数公式
2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
基础过关练
1.C2.D3.B4.B6.C
7.D10.A11.A12.A13.C
17.B18.A19.C
1.C A,B显然不正确;当α=0时,一定有cs(α-β)=cs α•cs β-sin αsin β成立,故C选项正确;当α=π/3,β=-π/3时,cs(α+β)=cs α+cs β,故D不正确.
2.D cs 50°=cs(70°-20°)=cs 70°cs 20°+sin 70°sin 20°,故D选项正确.
3.B 由sin αsin β=-cs αcs β可得cs(α-β)=0,因此α-β=k•180°+90°,k∈Z,只有B选项符合.
4.B 原式=cs[(α+β)-α]=cs β.
5.解析 (cs(π/4 "-" α))/(sinα+csα)
=(cs π/4 csα+sin π/4 sinα)/(sinα+csα)
=(√2/2 "(" sinα+csα")" )/(sinα+csα)=√2/2.
6.C cs(-375°)=cs 375°=cs 15°=cs(45°-30°)=cs 45°cs 30°+sin 45°•sin 30°=√2/2×√3/2+√2/2×1/2=(√6+√2)/4.
7.D a•b=cs 100°cs 10°+sin 100°sin 10°=cs(100°-10°)=cs90°=0.
8.解析 (1)原式=sin(270°-25°)•sin(90°+35°)+sin(180°-25°)•sin 35°=-cs 25°•cs 35°+sin 25°•sin 35°=-cs(25°+35°)=-cs 60°=-1/2.
(2)1/2cs 15°+√3/2sin 15°=cs 60°cs 15°+sin 60°sin 15°=cs(60°-15°)=cs 45°=√2/2.
9.解析 |a-b|=√("(" a"-" b")" ^2 )
=√("(" cs75"°-" cs15"°" ")" ^2+"(" sin75"°-" sin15"°" ")" ^2 )
=√(2"-" 2"(" cs75"°" cs15"°" +sin75"°" sin15"°)" )
=√(2"-" 2cs60"°" )=1.
10.A 因为α∈(0"," π/2),cs α=√3/3,
所以sin α=√6/3,于是cs(α+π/6)=cs α•cs π/6-sin αsinπ/6=√3/3×√3/2-√6/3×1/2=1/2-√6/6.
11.A 因为α∈(π/2 "," π),所以α+π/4∈(3π/4 "," 5π/4).又因为sin(α+π/4)=3/5,所以cs(α+π/4)=-4/5,故cs α=cs α+π/4 -π/4 =-4/5×√2/2+3/5×√2/2=-√2/10.
12.A 由sin α-sin β=√3/2,cs α-cs β=1/2,得sin2α+sin2β-2sin αsin β=3/4①,cs2α+cs2β-2cs αcs β=1/4②,①+②得2-2(sin αsin β+cs αcs β)=1,所以sin α•sin β+cs αcs β=1/2,故cs(α-β)=1/2.
13.C 由已知得3cs[(α+β)+α]+5cs[(α+β)-α]=0,因此3cs(α+β)cs α-3sin(α+β)sin α+5cs(α+β)cs α+5sin(α+β)sin α=0,
整理得8cs(α+β)cs α+2sin(α+β)sin α=0,
因此sin(α+β)sin α=-4cs(α+β)cs α,于是(sin"(" α+β")" )/(cs"(" α+β")" )•sinα/csα=-4,故tan(α+β)tan α=-4.
14.答案 0
解析 由题意得,
{■(cs"(" α+β")" =csαcsβ"-" sinαsinβ=4/5 ",①" @cs"(" α"-" β")" =csαcsβ+sinαsinβ="-" 4/5 ".②" )┤
①+②得2cs αcs β=0,故cs αcs β=0.
15.答案 (11√5)/25
解析 因为α,β均为锐角,且sin α=(2√5)/5,cs(α+β)=3/5,所以cs α=√5/5,sin(α+β)=4/5,故cs β=cs[(α+β)-α]=cs(α+β)•cs α+sin(α+β)sin α=3/5×√5/5+4/5×(2√5)/5=(11√5)/25.
16.答案 (" " √3)/3
解析 ∵cs(α"-" π/3)=cs αcsπ/3+sin α•sinπ/3=1/2cs α+√3/2sin α=cs α,
∴√3/2sin α=1/2cs α,∴sinα/csα=√3/3,即tan α=√3/3.
17.B 因为α、β均为锐角,所以cs α=√5/5,cs β=(3√10)/10,因此cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β=√5/5×(3√10)/10+(2√5)/5×√10/10=√2/2.又因为sin α>sin β,所以0<β<α<π/2,
因此0<α-β<π/2,故α-β=π/4.
18.A 由题意知cs(α-β)=√3/2,又0<α<π/2,-π<-β<-π/2,所以-π<α-β<0,故α-β=-π/6.
19. C ∵α,β∈(0"," π/2),且α<β,∴-π/2<α-β<0,∴sin(α-β)=-√(1"-" cs^2 "(" α"-" β")" )=-(2√5)/5.
∵α∈(0"," π/2),∴2α∈(0,π),∴sin 2α=√(1"-" cs^2 2α)=(3√10)/10.
∴cs(α+β)=cs[2α-(α-β)]=cs 2α•cs(α-β)+sin 2αsin(α-β)
=√10/10×√5/5+(3√10)/10×("-" (2√5)/5)=-√2/2.
又α+β∈(0,π),∴α+β=3π/4.
20.解析 由cs α=1/7,0<α<π/2,得
sin α=√(1"-" cs^2 α)=√(1"-" (1/7)^2 )=(4√3)/7.
由0<β<α<π/2,得0<α-β<π/2.
∵cs(α-β)=13/14,
∴sin(α-β)=√(1"-" cs^2 "(" α"-" β")" )
=√(1"-" (13/14)^2 )=(3√3)/14.
∵β=α-(α-β),
∴cs β=cs αcs(α-β)+sin αsin(α-β)
=1/7×13/14+(4√3)/7×(3√3)/14=1/2.
∵0<β<π/2,∴β=π/3.
21.解析 由α-β∈(π/2 "," π),且cs(α-β)=-12/13,得sin(α-β)=5/13.
由α+β∈(3π/2 "," 2π),且cs(α+β)=12/13,得sin(α+β)=-5/13.
所以cs 2β=cs[(α+β)-(α-β)]
=cs(α+β)cs(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=12/13×("-" 12/13)+("-" 5/13)×5/13=-1.
又因为α-β∈(π/2 "," π),α+β∈(3π/2 "," 2π),所以2β∈(π/2 "," 3π/2),所以2β=π,所以β=π/2.