数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试同步达标检测题

专题强化练9　直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题

1.(2020山东济宁实验中学高二上期中,)已知点(2,1)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,则直线l的方程是(　　)

A.2x+3y-7=0 B.2x-3y-1=0

C.4x+3y-11=0 D.4x-3y-5=0

2.()已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线x-2y+4=0与C交于A,B两点,则sin∠AFB=(　　)

A. B. C. D.

3.(2020山东淄博一中高二上期中,)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且=-2,则|AB|=(　　)

A.3 B.9 C.6 D.12

4.(2020河北唐山一中高二上期中,)直线x-y+=0经过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F,交椭圆于A,B两点,交y轴于点C.若=2,则该椭圆的离心率为(　　)

A.-1 B.

C.2-2 D.-1

二、填空题

5.()过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线和双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围为 　　　　　 . 

6.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学期末,)如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线,与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP的延长线与x轴分别相交于M,N两点.如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,则∠MBN的大小等于　　　　. 

三、解答题

7.(2020广东惠州高二上期末,)已知椭圆与抛物线y2=4x有一个相同的焦点,且该椭圆的离心率为.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,若=2,求△AOB的面积.

8.()已知椭圆C:+=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l:x+my+=0与椭圆C交于A,B两点,且椭圆的离心率e=.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若椭圆上存在一点M,使得2=+,求直线l的方程.

9.(2020吉林长春市实验中学高二上期中,)如图所示,斜率为1的直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线交于A,B两点,M为抛物线弧AB上的动点.

(1)若|AB|=8,求抛物线的方程;

(2)求S△ABM的最大值.

10.()已知动点P在y轴的右侧,且点P到y轴的距离比它到点F(1,0)的距离小1.

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)设斜率为-1且不过点M(1,2)的直线交C于A,B两点,直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值.

11.()如图,椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点为A(2,0),左、右焦点分别为F1,F2,过点A且斜率为的直线与y轴交于点P,与椭圆交于另一点B,且点B在x轴上的射影恰好为点F1.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点P的直线与椭圆交于M,N两点(M,N不与A,B重合),若S△PAM=6S△PBN,求直线MN的方程.

12.()在平面直角坐标系Oxy中,点A(-2,0),过动点P作直线x=-4的垂线,垂足为M,且·=-4.记动点P的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程;

(2)过点A的直线l交曲线E于不同的两点B,C.

①若B为线段AC的中点,求直线l的方程;

②设B关于x轴的对称点为D,求△ACD面积S的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.A　设直线l与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由得(x1-x2)(x1+x2)+3(y1-y2)(y1+y2)=0.

又x1+x2=4,y1+y2=2,

∴4+3kAB×2=0,解得kAB=-.

因此直线l的方程为y-1=-(x-2),

即2x+3y-7=0,故选A.

2.B　由抛物线方程可知焦点F的坐标为(0,1),联立直线方程与抛物线方程,得解得或不妨令A(-2,1),B(4,4),∴|AB|==3,|AF|==2,|BF|==5,∴在△ABF中,cos∠AFB===-,∴sin∠AFB==,故选B.

3.B　如图所示,设E为准线与x轴的交点,过B作BB1⊥l于B1.

由=-2得,==.

又|EF|=2,∴|BB1|=3,设A(xA,yA),B(xB,yB).

∵|BB1|=x+=xB+1=3,∴xB=2,结合图象得B(2,2),

∴|AB|=|xA-xB|·=|-1-2|·=9,故选B.

4.A　在x-y+=0中,令y=0,得x=-,

∴F(-,0).

令x=0,得y=1,∴C(0,1),设A(x1,y1),则=(,1),=(x1,y1-1),由=2得解得

由A在椭圆上,得2a=+=3+,

∴e====-1,故选A.

二、填空题

5.答案　(,)

解析　由-=1(a>0,b>0)得,双曲线的渐近线方程为y=±x.

结合图形(图略)知,2<<3⇒2a<b<3a⇒4a2<c2-a2<9a2⇒5a2<c2<10a2⇒5<e2<10⇒<e<.

故双曲线离心率的取值范围是(,).

6.答案　

解析　设直线PQ的方程为y=kx-1(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),

由消去y,得x2-2pkx+2p=0,

则x1+x2=2pk,x1x2=2p.

因为kBP=,kBQ=,

所以kBP+kBQ===0.

又kBP·kBQ=-3,所以kBP=,kBQ=-,

所以∠BNM=,∠BMN=,

故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=.

三、解答题

7.解析　(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),c为椭圆的半焦距,由题意可得抛物线的焦点为(,0),所以c=,

因为椭圆的离心率e==,所以a=2.

又b2=a2-c2=2,

所以椭圆的标准方程为+=1.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(-x1,1-y1),=(x2,y2-1).

由=2,得

验证易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+1,

代入椭圆方程,整理得(2k2+1)x2+4kx-2=0,

所以x1+x2=,x1·x2=.

将x1=-2x2代入上式,可得=,解得k2=,

所以△AOB的面积S=|OP|·|x1-x2|==·=.

8.解析　(1)∵过F1的直线l:x+my+=0,

∴令y=0,解得x=-,∴c=,

∵e==,∴a=2,∴b2=a2-c2=4-3=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),

由2=+,得x3=x1+x2,y3=y1+y2,将其代入椭圆方程,可得+-1=0,

∴++·(x1x2+4y1y2)=1,

∴x1x2+4y1y2=0,

联立方程,得消去x,可得(m2+4)y2+2my-1=0,

∴y1+y2=,y1y2=,

∴x1x2+4y1y2=(my1+)(my2+)+4y1y2=(m2+4)y1y2+m(y1+y2)+3=(m2+4)·+m·+3=0,

即m2=2,解得m=±.

故所求直线l的方程为x±y+=0.

9.解析　(1)由条件知lAB:y=x-,与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+p2=0,则x1+x2=3p.由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=4p.

又因为|AB|=8,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.

(2)解法一:由(1)知|AB|=4p,且lAB:y=x-,设M,

则M到AB的距离d=.

因为点M在直线AB的上方,

所以-y0-<0,

则d==

==.

当y0=p时,dmax=p.

故S△ABM的最大值为×4p×p=p2.

解法二:由(1)知|AB|=4p,且lAB:y=x-,

设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m,

代入抛物线方程,得x2+2(m-p)x+m2=0.

令Δ=4(m-p)2-4m2=0,得m=.

所以与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+,

两平行直线间的距离d==p,故S△ABM的最大值为×4p×p=p2.

10.解析　解法一:(1)依题意知动点P的轨迹是抛物线(除原点),

其焦点为F(1,0),准线为x=-1,

设其方程为y2=2px(p>0),则=1,解得p=2,

所以动点P的轨迹C的方程是y2=4x(x>0).

(2)设直线AB:y=-x+b(b≠3),A(x1,y1),B(x2,y2),

由得y=-+b,即y2+4y-4b=0,

所以y1+y2=-4,

又Δ=16+16b>0,所以b>-1,

因为x1=,x2=,

所以k2+k1=+

=+

=+==0.

因此k1+k2=0.

解法二:(1)同解法一.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)是直线与C的交点,

易知x1=,x2=,

所以kAB==,

又直线的斜率为-1,所以=-1,即y1+y2=-4,

所以k2+k1=+=+

=+==0.

因此k1+k2=0.

11.解析　(1)由题意,得BF1⊥x轴,=,所以点B.又A(2,0),

所以解得

所以椭圆C的标准方程为+=1.

(2)因为a∶c=2∶1,所以|PA|=2|PB|.

所以===6,

所以=3,所以=-3 .

由题意知P(0,-1),设M(x1,y1),N(x2,y2),则=(x1,y1+1),=(x2,y2+1),所以x1=-3x2.

①当直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为x=0,

此时,==2+或==2-,均不符合条件,故舍去.

②当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=kx-1.

由得(4k2+3)x2-8kx-8=0.

由根与系数的关系,

可得

将x1=-3x2代入,可得

所以3=.

所以k2=,解得k=±.

所以直线MN的方程为y=x-1或y=-x-1.

12.解析　(1)设P(x,y),则M(-4,y).

因为A(-2,0),所以=(-2,y),=(x+2,y),

因为·=-4,所以-2x-4+y2=-4,即y2=2x.

所以曲线E的方程为y2=2x.

(2)①若直线l的斜率不存在,则l与曲线E无公共点,因此l的斜率存在;

若l的斜率为0,则l与曲线E只有一个公共点,因此l的斜率不为0.

设l:y=k(x+2),k≠0,

由得y2-y+4=0,所以Δ= -16>0,解得-<k<且k≠0.

设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=4.

因为B为线段AC的中点,所以y2=2y1.

又y1+y2=,所以y1=,y2=,

因此y1y2==4,所以k=±,符合-<k<且k≠0,

所以直线l的方程为y=±(x+2).

②因为点B,D关于x轴对称,

所以D(x1,-y1),

于是点D到直线l的距离为d=.

因为y1=k(x1+2),所以d=.

又|AC|=|x2+2|,

所以S=|x2+2|×=|(x2+2)y1|=.

因为y1y2=4,y1+y2=,

所以S=|2y2+2y1|=.

又因为-<k<且k≠0,因此S>8,

即△ACD面积S的取值范围为(8,+∞).