高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试免费当堂达标检测题

专题强化练1　平面向量数量积及其应用　　　 　　　　　 　　　　　

一、选择题

1.(2020浙江温州高一上期末,)若向量a=(1,x),b=(1-x,2),且a⊥(a-b),则x的值为(　　)

A.-1 B.0

C.1 D.0或1

2.(2020北京房山高三上期末,)设a,b均为单位向量,则“a与b的夹角为”是“|a+b|=”的(　　)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.(2020浙江杭州学军中学高一上期末,)对任意向量a,b,下列关系式不恒成立的是(　　)

A.|a·b|≤|a||b|

B.(a+b)2=|a+b|2

C.|a-b|≤||a|-|b||

D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2

4.(原创)()已知向量a,b,|a|=1,|a-2b|=4,|a+2b|=2,e是与b同向的单位向量,则a在b上的投影向量为(　　)

A.-2e B.e

C.-e D.2e

5.()在△ABC中,已知AC=6,=2,·=4,则·=(　　)

A.-6 B.-9

C.-12 D.-15

6.(2020湖南师范大学附属中学高一上期末,)在△ABC内,使||2+||2+||2的值最小的点P是△ABC的(　　)

A.外心 B.内心

C.垂心 D.重心

二、填空题

7.()如图,在四边形ABCD中,AB=CD=1,∠B≠∠C,点M和点N分别是边AD和BC的中点,延长BA和CD,分别交NM的延长线于点P,Q,则(+)·(-)的值为　　　　. 

三、解答题

8.(2020湖南长沙长郡中学高一上期末,)设向量a=(cos α,λsin α),b=(cos β,sin β),其中λ>0,0<α<β<,且a+b与a-b相互垂直.

(1)求实数λ的值;

(2)若a·b=,且tan β=2,求tan α的值.

9.(2019黑龙江牡丹江一中高一上期末,)已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=1.

(1)若|a-b|=2,试求a与b的夹角的余弦值;

(2)若对一切实数x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,求a与b的夹角.

10.(2020山东烟台高一期中,)在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠DAB=90°,AB=4,AD=CD=2,对角线AC交BD于点O,点M在AB上,且满足OM⊥BD.

(1)求·的值;

(2)若N为线段AC上任意一点,求·的最小值.

答案全解全析

一、选择题

1.D　∵a=(1,x),b=(1-x,2),∴a-b=(x,x-2).∵a⊥(a-b),∴a·(a-b)=0,

∴x+x(x-2)=0,即x(x-1)=0,∴x=0或x=1,故选D.

2.C　由题可得,|a|=|b|=1.若a,b的夹角为,则|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×1×+1=3,即|a+b|=;

若|a+b|=,则(a+b)2=a2+2a·b+b2=3,即a·b=,设a,b的夹角为θ,θ∈[0,π],则cos θ==,所以θ=.

所以“a与b的夹角为”是“|a+b|=”的充要条件.故选C.

3.C　对于A,|a·b|=|a|·|b|·|cos θ|≤|a||b|,故A中关系式恒成立;

对于B,(a+b)2=(a+b)·(a+b)=|a+b||a+b|cos 0=|a+b|2,故B中关系式恒成立;

对于C,|a-b|≥||a|-|b||,只有取等号时,|a-b|≤||a|-|b||才成立;

对于D,(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,故D中关系式恒成立.

故选C.

4.C　∵|a|=1,|a-2b|=4,|a+2b|=2,

∴(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1-4a·b+4·|b|2=42,①

(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=1+4a·b+4·|b|2=22,②

联立①②,解得|b|=,a·b=-,

∴a在b上的投影向量为e=-e.

故选C.

5.C　∵=2,

∴==-,

∴=+=+,

∴·=·

=+·

=×62+·=4,

∴·=-12.故选C.

6.D　设=a,=b,=m,则=-=m-a,=-=m-b,所以||2+||2+||2=(m-a)2+(m-b)2+m2=3m2-2(a+b)·m+a2+b2=3-(a+b)2+a2+b2,

所以当m=(a+b)时,||2+||2+||2的值最小,此时++=(a-m)+(b-m)+(-m)=a+b-3m=a+b-(a+b)=0,故点P为△ABC的重心,故选D.

二、填空题

7.答案　0

解析　解法一:由题意知P,Q,M,N四点共线,可设+=λ,

由题图可得

因为M,N分别为AD,BC的中点,所以①+②可得2=0+++0,即=(+),故(+)·(-)=(+)·(-)=(||2-||2)=0.

解法二:由于这类求值问题的结果是一个定值,角度对答案无影响,所以不妨设特殊值简化运算.

设∠B=90°,∠C=60°,BC=2,以点B为原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(图略).过D作DD'⊥BC于D',则B(0,0),C(2,0),A(0,1),D,故M,N(1,0),所以=,=(0,-1),=,-=-,-1+,故·(-)=×+×=0.

由于P,Q,M,N四点共线,所以可设+=λ,故原式=λ×0=0.

三、解答题

8.解析　(1)由a+b与a-b互相垂直,可得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,

所以cos2α+λ2sin2α-1=0,又因为sin2α+cos2α=1,所以(λ2-1)sin2α=0,

因为0<α<,所以sin2α≠0,所以λ2-1=0,又因为λ>0,所以λ=1.

(2)由(1)知a=(cos α,sin α),由a·b=,得cos αcos β+sin αsin β=,即cos(α-β)=,

因为0<α<β<,所以-<α-β<0,

所以sin(α-β)=-=-,

所以tan(α-β)==-,

因此tan α=tan(α-β+β)===.

9.解析　(1)因为|a|=,|b|=1,|a-b|=2,所以|a-b|2=4,即a2-2a·b+b2=4,即2-2a·b+1=4,所以a·b=-.

设a与b的夹角为θ,

则cos θ===-.

(2)设a与b的夹角为φ,φ∈[0,π].由|a+xb|≥|a+b|,得(a+xb)2≥(a+b)2,

即x2b2+2xa·b-2a·b-b2≥0,

因为|a|=,|b|=1,

所以x2+2xcos φ-2cos φ-1≥0对一切实数x恒成立.

所以Δ=8cos2φ+8cos φ+4≤0,

即(cos φ+1)2≤0,故cos φ=-,

因为φ∈[0,π],所以φ=.

10.解析　解法一:(1)在梯形ABCD中,因为AB∥CD,AB = 2CD,所以AO = 2OC,

·=(+)·=·+·=·=·=(+)·(-)=(-·)=×(4-2×4×1)=-.

(2)设=λ(0≤λ≤1),则·=λ·=λ·(-)=-λ=-16λ=-,解得λ=,即=.

·=·(-)=-·=-||×||×cos 45°=-×||×||×cos 45°=-||.

令||=t,则0≤t≤2,·=t2-t=-,

所以当||=时, ·有最小值-.

解法二:(1)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

则A(0,0),B(4,0),C(2,2),D(0,2),

∴=(-4,2),

由相似三角形易得O.

设M(λ,0),0≤λ≤4,

则=,

∴·=×(-4)+×2

=-4λ+=0,解得λ=.

∴=,·=×(-4)+0×2=-.

(2)设N(a,a),0≤a≤2,

则·=(a,a)·=2a2-a=2-,

所以当a=时, ·有最小值-.