高中数学人教版新课标A选修2-11.1命题及其关系免费当堂达标检测题

1.1.2　四种命题

1.1.3　四种命题间的相互关系

基础过关练

题组一　命题的四种形式

1.命题“若a∉A,则b∈B”的逆命题是(　　)

A.若a∉A,则b∉B  B.若a∈A,则b∉B

C.若b∈B,则a∉A  D.若b∉B,则a∉A

2.(2020陕西延安高二期末)命题“若a>b,则a+1>b”的逆否命题是(　　)

A.若a+1≤b,则a>b 

B.若a+1<b,则a>b

C.若a+1≤b,则a≤b 

D.若a+1<b,则a<b

3.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是　(　　)

A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数

B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数

C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数

D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数

4.“若x,y全为零,则xy=0”的否命题为               　. 

5.命题“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题为　　　　　　　　. 

题组二　四种命题的真假的判断

6.已知命题“若x≥0,y≥0,则xy≥0”,则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是(　　)

A.1 B.2 

C.3 D.4

7.下列四个命题:

(1)“若x2+y2=0,则xy=0”的否命题;

(2)“若x>y,则x2>y2”的逆否命题;

(3)“若x≤3,则x2-x-6>0”的否命题;

(4)“对顶角相等”的逆命题.

其中真命题的个数是(　　)

A.0 B.1 

C.2 D.3

8.(2017江西宜春二中高二上学期月考)关于命题“若抛物线y=ax2+bx+c开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠⌀”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性,下列结论正确的是(　　)

A.都是真命题    B.都是假命题

C.否命题是真命题 D.逆否命题是真命题

9.给出下列命题:

①命题“若b2-4ac<0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题;

②命题“△ABC中,若AB=BC=CA,则△ABC为等边三角形”的逆命题;

③命题“若a>b>0,则>>0”的逆否命题;

④“若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”的逆命题.

其中,真命题的序号为　　　　. 

10.写出命题“若x2-3x+2≠0,则x≠1且x≠2”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.

题组三　四种命题真假及等价关系的应用

11.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是(　　)

A.不拥有的人们会幸福 B.幸福的人们不都拥有

C.拥有的人们不幸福 D.不拥有的人们不幸福

12.命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题为　　　　命题(填“真”或“假”). 

13.已知命题“若m-1<x<m+1,则1<x<2”的逆命题为真命题,则m的取值范围是　　　　. 

14.已知a,b,c∈R,证明:若a+b+c<1,则a,b,c中至少有一个小于.

能力提升练

一、选择题

1.(★★☆)命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是(　　)

A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0

B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0

C.若a≠0且b≠0,则a2+b2≠0

D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0

2.(2019陕西延安期末,★★☆)命题“当AB=AC时,△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是(　　)

A.4 B.3 

C.2 D.0

3.(2019安徽蚌埠高二检测,★★☆)命题“若a,b都是奇数,则ab必为奇数”的等价命题是(　　)

A.若ab是奇数,则a,b都是奇数

B.若ab不是奇数,则a,b不都是奇数

C.若a,b都是奇数,则ab不是奇数

D.若a,b不都是奇数,则ab不是奇数

4.(2019贵州贵阳高二期末,★★☆)命题“若x=y,则sin x=sin y”的等价命题是(　　)

A.若sin x=sin y,则x=y   B.若x=y,则sin x≠sin y

C.若x≠y,则sin x≠sin y D.若sin x≠sin y,则x≠y

5.(2019湖南三湘名校教育联盟高二期中,★★☆)设a、b∈R,下列关于命题“若x>(a+b)2,则x>a2+b2”的逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是(　　)

A.逆命题与否命题均为真命题

B.逆命题为假命题,否命题为真命题

C.逆命题为假命题,逆否命题为真命题

D.否命题为假命题,逆否命题为真命题

二、填空题

6.(2019甘肃武威六中期末,★★☆)下列四个命题:①命题“若a=0,则ab=0”的否命题;② “若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;③“对于直线l1:ax+by+c=0,l2:mx+ny+p=0,若an=bm,则l1∥l2”的否命题;④命题“若0<a<1,则loga(a+1)<loga”.其中真命题的序号是　　　　. 

7.(★★☆)下列命题:

①“若x+y>0,则x>0且y>0”的否命题;

②“矩形的对角线相等”的否命题;

③“若m>1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集是R”的逆命题;

④“若a+7是无理数,则a是无理数”的逆否命题.

其中真命题的序号是　　　　. 

8.(★★★)已知p:x2-2x+2≥m的解集为R;q:函数f(x)=-(7-3m)x是减函数.若这两个命题的逆否命题中有且只有一个是真命题,则实数m的取值范围是　　　　. 

三、解答题

9.(★★★)设有两个命题:①关于x的不等式mx2+1≥0的解集是R;②函数f(x)=logmx(m>0且m≠1)是减函数.求使这两个命题的逆否命题都是真命题的m的取值范围.

10.(★★★)假设a,b,c为三个人,命题A:“如果b的年龄不是最大的,那么a的年龄最小”和命题B:“如果c的年龄不是最小的,那么a的年龄最大”都是真命题,则a,b,c的年龄的大小顺序能否确定?请说明理由.

答案全解全析

基础过关练

1.C　“若p,则q”的逆命题是“若q,则p”,所以逆命题是“若b∈B,则a∉A”.

2.C　命题“若p,则q”的逆否命题是“若¬q,则¬p”,所以“若a>b,则a+1>b”的逆否命题是“若a+1≤b,则a≤b”,故选C.

3.B　一个命题的否命题是将这个命题的条件和结论分别否定得到的命题.条件的否定是“f(x)不是奇函数”,结论的否定是“f(-x)不是奇函数”,故该命题的否命题是“若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数”,故选B.

4.答案　若x,y不全为零,则xy≠0

解析　否定命题的条件和结论即可.

5.答案　若x≤-2或x≥2,则x2≥4

6.B　由题意可判断原命题为真命题,故逆否命题也为真命题,其逆命题为“若xy≥0,则x≥0,y≥0”,为假命题,所以其否命题也为假命题,故四个命题中,真命题的个数是2.

7.A

8.D　易知原命题为真命题,所以其逆否命题也为真命题.逆命题“若{x|ax2+bx+c<0}≠⌀,则抛物线y=ax2+bx+c开口向下”是假命题,因为当不等式ax2+bx+c<0的解集非空时,可以有a>0,即抛物线的开口可以向上,所以其否命题也是假命题,故选D.

9.答案　①②③

解析　①否命题:若b2-4ac≥0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,真命题;

②逆命题:若△ABC为等边三角形,则AB=BC=CA,真命题;

③因为命题“若a>b>0,则>>0”是真命题,所以其逆否命题是真命题;

④逆命题:若mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R,则m>1,假命题.

所以应填①②③.

10.解析　∵原命题是“若x2-3x+2≠0,则x≠1且x≠2”,

∴它的逆命题是“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”,是真命题;

否命题是“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”,是真命题;

逆否命题是“若x=1或x=2,则x2-3x+2=0”,是真命题.

11.D　“幸福的人们都拥有”我们可理解为:如果一个人是幸福的,则这个人拥有这种食品,它的逆否命题为:如果这个人没拥有这种食品,则这个人是不幸福的,即“不拥有的人们不幸福”,故选D.

12.答案　真

解析　因为逆否命题的真假与原命题一致,故判断原命题的真假即可.不等式的解集非空,只需Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即4a-7≥0,所以a≥.又>1,所以原命题为真命题,故其逆否命题为真命题.

13.答案　[1,2]

解析　逆命题为“若1<x<2,则m-1<x<m+1”,因为逆命题为真,

所以解得1≤m≤2.

14.证明　原命题的逆否命题为:已知a,b,c∈R,若a,b,c都不小于,则a+b+c≥1.

由条件知a≥,b≥,c≥,

三式相加,得a+b+c≥1,

显然逆否命题为真命题,

所以原命题也为真命题.

即已知a,b,c∈R,若a+b+c<1,则a,b,c中至少有一个小于.

能力提升练

一、选择题

1.D　把条件a2+b2=0的否定“a2+b2≠0”作为结论,把结论“a=0且b=0”的否定“a≠0或b≠0”作为条件,故选D.

2.C　原命题“当AB=AC时,△ABC为等腰三角形”,根据等腰三角形的定义可知其为真命题,则其逆否命题为真命题;其逆命题为“△ABC为等腰三角形,则AB=AC”,因为当三角形的底边为AC时,AB=BC,所以逆命题为假命题,则原命题的否命题也是假命题.故原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有2个.

3.B　等价命题即其逆否命题.注意“都是”的否定为“不都是”,“必为”的否定为“不是”.

4.D　原命题与逆否命题互为等价命题,逆否命题是“若sin x≠sin y,则x≠y”,故选D.

5.A　 易知命题“若x>(a+b)2,则x>a2+b2”是假命题,∴原命题的逆否命题是假命题.原命题的逆命题为“若x>a2+b2,则x>(a+b)2”,是真命题,∴原命题的否命题是真命题.

二、填空题

6.答案　②③

解析　对于①,否命题为“若a≠0,则ab≠0”,是假命题;对于②,若q≤1,则Δ=4-4q=4(1-q)≥0,所以原命题为真命题,所以其逆否命题也为真命题;对于③,否命题为“对于直线l1:ax+by+c=0,l2:mx+ny+p=0,若an≠bm,则l1与l2不平行”,若an≠bm,则l1与l2的方程组成的方程组有解,即l1与l2相交,所以③为真命题;对于④,因为0<a<1,所以y=logax是减函数,a+1<1+,所以loga(a+1)>loga,所以④为假命题.

7.答案　①③④

解析　对于①,“若x+y>0,则x>0且y>0”的逆命题为“若x>0且y>0,则x+y>0”,为真命题,则其否命题也为真命题;

对于②,“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”,为假命题,故其否命题也为假命题;

对于③,逆命题为“若mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集是R,则m>1”.

当m=0时,不合题意;

当m>0时,Δ=4(m+1)2-4m(m+3)<0,解得m>1,故其逆命题为真;

对于④,原命题为真,故其逆否命题也为真.

故真命题的序号为①③④.

8.答案　(1,2)

解析　若命题p为真命题,由x2-2x+2=(x-1)2+1≥m,可知m≤1;若命题q为真命题,则7-3m>1,即m<2.因为逆否命题与原命题的真假一致,所以命题p和q中有且只有一个是真命题,则p真q假或p假q真,即或所以1<m<2.故实数m的取值范围是(1,2).

三、解答题

9.解析　①中,当m=0时,1≥0恒成立,

当m≠0时,解得m>0.∴m≥0.

②中, f(x)为减函数,则0<m<1.

∵①②的逆否命题都是真命题,

∴①②都是真命题,

∴解得0<m<1.

10.解析　能确定.理由如下:

显然命题A和命题B的结论是矛盾的,因此可从它们的逆否命题来考虑.

①由命题A为真命题可知,当b的年龄不是最大的时,a的年龄是最小的,即若c的年龄最大,则a的年龄最小,所以c>b>a;而它的逆否命题也为真命题,即“若a的年龄不是最小的,则b的年龄最大”为真命题,所以b>a>c.所以,由命题A为真命题可知c>b>a或b>a>c.

②同理,由命题B为真命题可知a>c>b或b>a>c.

由命题A,B都是真命题,可知b>a>c.

所以三个人年龄的大小顺序为b最大,a次之,c最小.