人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念教案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念教案设计，共19页。教案主要包含了第1课时，教学过程，第2课时，教学目标，核心素养等内容，欢迎下载使用。

三角函数的概念

【第1课时】
三角函数的概念
【教学目标】
【核心素养】
1．借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．（重点、难点）
2．掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）在各象限的符号．（易错点）
3．掌握公式——并会应用．
1．通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．
2．借助公式的运算，提升数学运算素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
2．任意角的三角函数的定义
（1）条件

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：
（2）结论
①y叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝y；
②x叫做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝x；
③叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝（x≠0）．
（3）总结
＝tanα（x≠0）是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα

4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
（1）图示：

（2）口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
5．公式一

二、初试身手
1．sin（－315°）的值是（ ）
A．－
B．－
C．
D．
答案：C
解析：sin（－315°）＝sin（－360°＋45°）＝sin45°＝．
2．已知sinα＞0，cosα＜0，则角α是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：B
解析：由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．
3．sinπ＝________．
答案：
解析：sinπ＝sin＝sin＝．
4．角α终边与单位圆相交于点M，则cosα＋sinα的值为________．
答案：
解析：cosα＝x＝，sinα＝y＝，
故cosα＋sinα＝．
三、合作探究
三角函数的定义及应用
类型1
探究问题
1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为（x，y），它与原点的距离为r，则sinα，cosα，tanα为何值？
提示：sinα＝，cosα＝，tanα＝（x≠0）．
2．sinα，cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
提示：sinα，cosα，tanα的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．
例1：（1）已知角θ的终边上有一点P（x，3）（x≠0），且cosθ＝x，则sinθ＋tanθ的值为________．
（2）已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．
思路点拨：（1）→
（2）→
（1）或
因为r＝，cosθ＝，
所以x＝．
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝．
又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
当θ为第一象限角时，sinθ＝，tanθ＝3，则sinθ＋tanθ＝．
当θ为第二象限角时，sinθ＝，tanθ＝－3，
则sinθ＋tanθ＝．
（2）解：直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点（－1，），则r＝＝2，所以sinα＝，cosα＝－，tanα＝－；
在第四象限取直线上的点（1，－），
则r＝＝2，
所以sinα＝－，cosα＝，tanα＝－．
母题探究
1．将本例（2）的条件“x＋y＝0”改为“y＝2x”其他条件不变，结果又如何？
解：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P（1，2），由r＝|OP|＝＝，得sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝2．
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q（－1，－2），
由r＝|OQ|＝＝，得：
sinα＝＝－，cosα＝＝－，
tanα＝＝2．
2．将本例（2）的条件“落在直线x＋y＝0上”改为“过点P（－3a，4a）（a≠0）”，求2sinα＋cosα．
解：因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，
所以2sinα＋cosα＝－＝1．
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sinα＝＝－，cosα＝＝，
所以2sinα＋cosα＝－＋＝－1．
规律方法
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
（1）已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P（x，y），P到原点的距离为r（r>0）．则sinα＝，cosα＝．已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．
（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
三角函数值符号的运用
类型2
例2：（1）已知点P（tanα，cosα）在第四象限，则角α终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
（2）判断下列各式的符号：
①sin145°cos（－210°）；②sin3cos4tan5．
思路点拨：（1）先判断tanα，cosα的符号，再判断角α终边在第几象限．
（2）先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．
答案：（1）C
解析：因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．
（2）解：①∵145°是第二象限角，
∴sin145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos（－210°）＜0，
∴sin145°cos（－210°）＜0．
②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，
∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，
∴sin3·cos4·tan5＞0．
规律方法
判断三角函数值在各象限符号的攻略：
1．基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
2．关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
3．注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误．
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．
跟踪训练
1．已知角α的终边过点（3a－9，a＋2）且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．
答案：－2＜a≤3
解析：因为cosα≤0，sinα＞0，
所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过（3a－9，a＋2），
所以所以－2＜a≤3．
2．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．
答案：四
解析：角α是第三象限角，则角是第二、四象限角，
∵＝－sin，∴角是第四象限角．
诱导公式一的应用
类型3
例3：求值：
（1）tan405°－sin450°＋cos750°；
（2）sincos＋tancos．
解：（1）原式＝tan（360°＋45°）－sin（360°＋90°）＋cos（2×360°＋30°）
＝tan45°－sin90°＋cos30°
＝1－1＋＝．
（2）原式＝sincos＋tan·cos
＝sincos＋tancos
＝×＋1×＝．
规律方法
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
1．定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z]．
2．转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
3．求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
跟踪训练
3．化简下列各式：
（1）a2sin（－1350°）＋b2tan405°－2abcos（－1080°）；
（2）sin＋cosπ·tan4π．
解：（1）原式＝a2sin（－4×360°＋90°）＋b2tan（360°＋45°）－2abcos（－3×360°）
＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°
＝a2＋b2－2ab＝（a－b）2．
（2）sin＋cosπ·tan4π
＝sin＋cosπ·tan 0＝sin＋0＝．
四、课堂小结
1．三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点．
2．诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，记忆时可结合三角函数定义进行记忆．
3．三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题．
五、课堂达标
1．思考辨析
（1）sinα表示sin与α的乘积．（ ）
（2）设角α终边上的点P（x，y），r＝|OP|≠0，则sinα＝，且y越大，sinα的值越大．（ ）
（3）终边相同的角的同一三角函数值相等．（ ）
（4）终边落在y轴上的角的正切函数值为0．（ ）
提示：（1）错误．sinα表示角α的正弦值，是一个“整体”．
（2）错误．由任意角的正弦函数的定义知，sinα＝．但y变化时，sinα是定值．
（3）正确．
（4）错误．终边落在y轴上的角的正切函数值不存在．
答案：（1）×（2）×（3）√（4）×
2．已知角α终边过点P（1，－1），则tanα的值为（ ）
A．1
B．－1
C．
D．－
答案：B
解析：由三角函数定义知tanα＝＝－1．
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sinα＝，则sinβ＝________．
答案：－
解析：设角α的终边与单位圆相交于点P（x，y），
则角β的终边与单位圆相交于点Q（x，－y），
由题意知y＝sinα＝，所以sinβ＝－y＝－．
4．求值：（1）sin180°＋cos90°＋tan0°．
（2）cos＋tan．
解：（1）sin180°＋cos90°＋tan0°＝0＋0＋0＝0．
（2）cos＋tan
＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝．
【第2课时】
同角三角函数的基本关系
【教学目标】
【核心素养】
1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．（重点）
2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．（难点）
1．通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养．
2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．平方关系
（1）公式：sin2α＋cos2α＝1．
（2）语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1．
2．商数关系
（1）公式：＝tanα（α≠kπ＋，k∈Z）．
（2）语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．
思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．
二、初试身手
1．化简的结果是（ ）
A．cos
B．sin
C．－cos
D．－sin
答案：C
解析：因为是第二象限角，
所以cos＜0，
所以＝＝＝－cos．
2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是（ ）
A．tanα＝－
B．cosα＝－
C．sinα＝－
D．tanα＝
答案：B
解析：由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cosα＜0，sinα＞0，故B正确．
3．若cosα＝，且α为第四象限角，则tanα＝________．
答案：－
解析：因为α为第四象限角，且cosα＝，
所以sinα＝－＝－＝－，
所以tanα＝＝－．
三、合作探究
直接应用同角三角函数关系求值
类型1
例1：（1）已知α∈，tan α＝2，则cosα＝________．
（2）已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．
思路点拨：（1）根据tanα＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cosα．
（2）先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sinα，tanα．
答案：（1）－
解析：由已知得
由①得sinα＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，又α∈，所以cosα＜0，
所以cosα＝－．
（2）解：∵cosα＝－＜0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝＝＝，
tanα＝＝＝－．
如果α是第三象限角，同理可得
sinα＝－＝－，tanα＝．
规律方法
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
1．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．
2．若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．
提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．
跟踪训练
1．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．
解：∵sinα＋3cosα＝0，
∴sinα＝－3cosα．
又sin2α＋cos2α＝1，
∴（－3cosα）2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1，
∴cosα＝±．
又由sinα＝－3cosα，
可知sinα与cosα异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，cosα＝－，sinα＝；
当角α的终边在第四象限时，cosα＝，sinα＝－．
灵活应用同角三角函数关系式求值
类型2
例2：（1）已知sinα＋cosα＝，α∈（0，π），则tanα＝________．
（2）已知＝2，计算下列各式的值．
①；
②sin2α－2sinαcosα＋1．
思路点拨：（1）法一：→→→
法二：→→
（2）→
答案：（1）－
解析：法一：（构建方程组）
因为sinα＋cosα＝，①
所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，
即2sinαcosα＝－．
因为α∈（0，π），所以sinα＞0，cosα＜0．
所以sinα－cosα＝＝＝．②
由①②解得sinα＝，cosα＝－，
所以tanα＝＝－．
法二：（弦化切）
同法一求出sinαcosα＝－，＝－，＝－，
整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－或tanα＝－．
由sinα＋cosα＝＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－．
（2）解：由＝2，化简，
得sinα＝3cosα，
所以tanα＝3．
①法一（换元）原式＝＝＝．
法二（弦化切）原式＝＝＝．
②原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝．
母题探究
1．将本例（1）条件“α∈（0，π）”改为“α∈（－π，0）”其他条件不变，结果又如何？
解：由例（1）求出2sinαcosα＝－，
因为α∈（－π，0），
所以sinα＜0，cosα＞0，
所以sinα－cosα＝－
＝－＝－．
与sinα＋cosα＝联立解得
sinα＝－，cosα＝，
所以tanα＝＝－．
2．将本例（1）的条件“sinα＋cosα＝”改为“sinα·cosα＝－”其他条件不变，求cosα－sinα．
解：因为sinαcosα＝－＜0，所以α∈，所以cosα－sinα＜0，
cosα－sinα＝－＝－＝－．
规律方法
1．sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα．
2．已知tanα＝m，求关于sinα，cosα的齐次式的值
解决这类问题需注意以下两点：（1）一定是关于sinα，cosα的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；（2）因为cosα≠0，所以可除以cosα，这样可将被求式化为关于tanα的表示式，然后代入tanα＝m的值，从而完成被求式的求值．
提醒：求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．
应用同角三角函数关系式化简
类型3
例3：（1）化简＝________．
（2）化简·．（其中α是第三象限角）
思路点拨：（1）将cos2α＝1－sin2α代入即可化简．
（2）首先将tanα化为，然后化简根式，最后约分．
答案：（1）1
原式＝＝＝1．
（2）解：原式＝·
＝·
＝·
＝·．
又因为α是第三象限角，
所以sinα＜0．
所以原式＝·＝－1．
规律方法
三角函数式化简的常用方法
1．化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
2．对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
3．对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
提醒：在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象．
跟踪训练
2．化简tanα，其中α是第二象限角．
解：因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0．
故tanα＝tan α＝tan α＝＝·＝－1．
应用同角三角函数关系式证明
类型4
探究问题
1．证明三角恒等式常用哪些方法？
提示：（1）从右证到左．
（2）从左证到右．
（3）证明左右归一．
（4）变更命题法．如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等．
2．在证明＝sin α＋cos α时如何巧用“1”的代换．
提示：在求证＝sinα＋cosα时，观察等式左边有2sinαcosα，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，
所以等式左边
＝
＝
＝
＝sinα＋cosα＝右边．
例4：求证：＝．
思路点拨：解答本题可由关系式tan α＝将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．
证明：法一：（切化弦）
左边＝＝，
右边＝＝．
因为sin2α＝1－cos2α＝（1＋cosα）（1－cosα），
所以＝，所以左边＝右边．
所以原等式成立．
法二：（由右至左）
因为右边＝
＝
＝
＝＝
＝左边，
所以原等式成立．
规律方法
1．证明恒等式常用的思路是：（1）从一边证到另一边，一般由繁到简；（2）左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；（3）比较法（作差，作比法）．
2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：（1）巧用“1”的代换；（2）化切为弦；（3）多项式运算技巧的应用（分解因式）．
提醒：解决此类问题要有整体代换思想．
跟踪训练
3．求证：（1）＝；
（2）2（sin6θ＋cos6θ）－3（sin4θ＋cos4θ）＋1＝0．
证明：（1）左边
＝
＝
＝
＝
＝＝
＝右边，
∴原等式成立．
（2）左边＝2[（sin2θ）3＋（cos2θ）3]－3（sin4θ＋cos4θ）＋1
＝2（sin2θ＋cos2θ）（sin4θ－sin2θcos2θ＋cos4θ）－3（sin4θ＋cos4θ）＋1
＝（2sin4θ－2sin2θcos2θ＋2cos4θ）－（3sin4θ＋3cos4θ）＋1
＝－（sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ）＋1
＝－（sin2θ＋cos2θ）2＋1＝－1＋1＝0＝右边，
∴原等式成立．
四、课堂小结

五、当堂达标
1．思考辨析
（1）对任意角α，＝tan都成立．（ ）
（2）因为sin2π＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．（ ）
（3）对任意角α，sinα＝cosα·tanα都成立．（ ）
提示：由同角三角函数的基本关系知（2）错，由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以（1）错，（3）错．
答案：（1）×（2）×（3）×
2．已知tanα＝－，则的值是（ ）
A．
B．3
C．－
D．－3
答案：A
解析：因为tanα＝－，
所以＝＝＝．
3．已知α是第二象限角，tanα＝－，则cosα＝________．
答案：－
解析：因为＝－，且sin2α＋cos2α＝1，
又因为α是第二象限角，
所以cosα＜0，
所以cosα＝－．
4．（1）化简，其中α是第二象限角．
（2）求证：1＋tan2α＝．
解：（1）因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，
所以sin αcos α＜0，
所以＝
＝
＝－sinαcosα．
（2）证明：1＋tan2α＝1＋＝＝．