人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形同步练习题

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18.2.3正方形同步练习

人教版初中数学八年级下册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，四边形是正方形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标是   

A.
B.
C.
D.

2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是

A. 四个角都是直角 B. 四条边相等
C. 对角线相等 D. 对角线互相平分

3. 如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的一半的长为半径画弧，两弧分别交于，两点，连接，，，，则四边形一定是

A. 正方形
B. 矩形
C. 梯形
D. 菱形

4. 下列命题：
   一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
   对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
   一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形；
   对角线相等的平行四边形是矩形．
   其中真命题的个数是

A.  B.  C.  D.

5. 下列命题是假命题的是

A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 矩形的对角线互相垂直
C. 菱形的对角线互相垂直平分
D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等

6. 如图，四边形是正方形，延长到点，使，则的度数是  

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在正方形中，点、分别在、上，且，连接、相交于点，则下列结论不正确的是   

A.
B.
C.
D.
 

8. 有一边长为的正方形纸片，先将正方形对折，设折痕为如下图，再沿过点的折痕将角翻折，使得点落在的上如下图，折痕交于点，则的长度为   

A.  B.  C.  D.

9. 如图，正方形中，点在上，，，垂足分别为、，，则的长为   

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在的小正方形网格中有个涂阴影的小正方形，它们组成一个轴对称图形现在移动其中一个小正方形到空白的小正方形处，使得新的个阴影的小正方形组成一个轴对称图形，不同的移法有

A. 种
B. 种
C. 种
D. 种

11. 如图，在正方形中，点，分别在，上，平分，，垂足为点，则的度数为   

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折，得到，连接，则的长度是   

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，正方形纸片的边长为，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为______．
14. 正方形的边长是，点在边上，，点是边上不与，重合的一个动点，把沿折叠，点落在处，若恰为等腰三角形，则的长为________．
    
     

15. 如下图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，连接，，则的度数为          ．

16. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”在此图形中连接四条线段得到如图的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为______．

17. 如图，在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，则      ．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 如图，是正方形，是边上任意一点，连接，作，，垂足分别为，求证：．
    
     

19. 如图所示，顺次延长正方形的各边，，，至，，，，且使．
    求证：四边形是正方形．
    
    
     

20. 在同一平面内，正方形与正方形如图放置，连接，，两线交于点．
    

求证：；

．






 

21. 如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．

当，满足什么条件时，四边形是矩形并证明你的结论

当，满足什么条件时，四边形是菱形并证明你的结论

当，满足什么条件时，四边形是正方形并证明你的结论．






 

22. 如图，四边形是正方形，对角线、相交于点，，．

求证：四边形是正方形．

23. 已知：如图，点是的斜边的中点，，，垂足分别是，，且求证：四边形是正方形．

24. 如下图，已知正方形的边长为，连接，交于点，平分交于点．

求的长；

过点作，交于点，求的长．
 

25. 如图，在正方形中，，，，分别是边，，，上的点，且求证：四边形是正方形．
    
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】，，
．
四边形是正方形，
，，，
点的坐标是，
故选D．
 

2.【答案】
 

【解析】解：根据正方形和矩形的性质知，它们具有相同的特征有：四个角都是直角、对角线都相等、对角线互相平分，但矩形的长和宽不相等．
故选：．
根据正方形、矩形的性质，即可解答．
本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查基本作图，菱形的判定等知识，属于基础题．
根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
【解答】
解：由作图可知：，
四边形是菱形，
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】解：一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；
一个角为且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题；
对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；
故选：．
根据平行四边形的判定、菱形的判定、正方形和矩形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；
B、矩形的对角线互相平分且相等，不是垂直，原命题是假命题；
C、菱形的对角线互相垂直平分，是真命题；
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，是真命题；
故选：．
根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质判断即可．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，属于基础题．
根据正方形的性质，易知，等腰中，根据三角形内角和定理可求得的度数，进而可由得出的度数．
【解答】
解：四边形是正方形，
．
中，，
则；
．
故选B．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，正方形的性质的有关知识，分析图形，根据正方形及三角形性质找到各角边的关系就很容易求解．
【解答】
解：是正方形，
，，
，
≌，
，故A正确；
，，故C错误；
，，
，故B正确；
，，
，
，故D正确．
所以不正确的是，
故选C．  

8.【答案】
 

【解析】 正方形纸片的边长为，
将正方形对折后，，
是由沿直线翻折而成的，
，，在中，，
在中，设，则，
，，
解得．
故选B．
 

9.【答案】
 

【解析】如下图，连接，

在正方形中，，，

又，
，
．

，，，
四边形是矩形，

，
，
故选D．

10.【答案】
 

【解析】解：移动，三到，三，，三，，三，，二，，四共中不同的方法，
故一共有种不同的方法，
故选：．
根据对称性判断出，三的运动方法，可得结论．
本题考查利用轴对称设计图案，轴对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答．根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答即可．
【解答】
解：在正方形中，，平分，
，
，，
，
，
，
在与中

≌，
，
，
故选：．  

12.【答案】
 

【解析】如下图，连接，交于，

在正方形中，，是的中点，

，，，

，

将沿翻折，得到，

，，，

，

，

，，

，

故选D．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用轴对称的性质．
由折叠及轴对称的性质可知，垂直平分线段，先证≌，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求的长．
【解答】
解：设折痕与交于点，如图，

四边形为正方形，
，，
由折叠及轴对称的性质可知，垂直平分线段，
，且，
，
又，
，
又，，
≌，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．  

14.【答案】或
 

【解析】

【分析】
本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的判定，分类讨论有关知识，根据翻折的性质，分，，，三种情况进行讨论即可解答．
【解答】
解：如图所示：当时，过点作，则．

当时，．
由，，得．
由翻折的性质，得．
，
，
，
；
当时，如图所示：

则易知点在上且不与点、重合；
当时，
，，
点、在的垂直平分线上，
垂直平分，
由折叠可知点与点重合，不符合题意，舍去．
综上所述，的长为或．
故答案为或．  

15.【答案】  
 

【解析】 四边形是正方形，

，．

是等边三角形，

，，

，，

，

，
．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
可设直角三角形另一条直角边为，根据，可得，则，再根据勾股定理得到关于，的方程，可求的值．
本题考查了勾股定理，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．
【解答】
解：设直角三角形另一条直角边为，依题意有
，
解得，
由勾股定理得，
，
解得舍去，，
则的值为．
故答案为：．  

17.【答案】
 

【解析】略
 

18.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
在和中，

≌，
，，
，
，
．
 

【解析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
根据正方形的性质可得，再利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，根据线段的和与差可得结论．
 

19.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
又，

≌≌≌，
，，
四边形为菱形，
，，
，
四边形是正方形．
 

【解析】此题先根据正方形的性质，可证≌≌≌，得四边形为菱形，再求一个角是直角从而证明它是正方形．
本题主要考查了正方形的判定方法：一角是直角的菱形是正方形．
 

20.【答案】证明：四边形与四边形均是正方形，
，，，
．
在和中，
，
；
设与相交于点，则．
又由知，且，
，
，
．
 

【解析】  本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
根据正方形的性质可得，，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的内角和定理求出，再根据垂直的定义证明即可．
 

21.【答案】解当时，四边形是矩形．

证明：，分别是，的中点，，分别是，的中点，
，，，，
，，四边形是平行四边形．
，分别是，的中点，又，，
，即，四边形是矩形．

当时，四边形是菱形．
证明：，，，分别是，，，的中点，
，，，．
又，，四边形是菱形．

当且时，四边形是正方形．

证明：，分别是，的中点，

，．
同理，，，，．

，，

四边形是菱形．

，，，

，菱形是正方形．

【解析】此题主要考查了三角形中位线定理，矩形的判定、菱形和正方形的判定，关键是掌握判定定理．
根据三角形中位线的性质，先证明四边形是平行四边形，再进一步证明可得结论；
根据邻边相等的平行性四边形是菱形进一步证明可得结论；
先证明四边形是菱形，再进一步证明四边形是正方形．
 

22.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形．
 

【解析】本题考查了正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质定理是解题的关键．先根据四边形是正方形，，可得是矩形，再由可判定四边形是正方形．
 

23.【答案】证明：，，，
．
四边形是矩形．
为的中点，
．
在和中，

≌，
，
四边形是正方形．
 

【解析】本题考查正方形的判定，以及全等三角形的判定和性质，掌握正方形的判定方法是解题关键首先得到四边形是矩形，再利用得出≌，即可得出，进而得证．
 

24.【答案】 解：四边形是正方形，

，．

平分，

，

．

，

，

．

在中，由勾股定理得，

；

，
，

，

，，

≌，

．

【解析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
求出，根据勾股定理求出，即可求出；
求出≌，根据全等三角形的性质得出即可．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，．
又，
．
≌．
同理，≌，≌．
，．
四边形是菱形．
，
．
．
．
四边形是正方形．
 

【解析】略