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专题45 直线与方程（原卷版）学案

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这是一份专题45 直线与方程（原卷版）学案，共8页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，精选精练等内容，欢迎下载使用。

专题45 直线与方程

【热点聚焦与扩展】

高考对直线与方程的考查要求较低，以小题的形式考查直线与方程，一般难度不大，但呈现综合性较强的趋势，与充要条件、基本不等式、导数等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握直线方程的基础知识，熟练掌握两条直线的位置关系、点到直线的距离、平行直线间的距离等.其中两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用，是高考的热点，另外，两直线的位置关系与向量的结合，也应予以足够的重视．本专题通过例题说明关于直线问题的解法与技巧.

（一）直线与方程：

1、倾斜角：若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示

（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为

（2）倾斜角的取值范围

2、斜率：设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为

（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率

（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）

（4）越大，直线越陡峭

（5）斜率的求法：已知直线上任意两点，则，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关.

3、截距：若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距

（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）

（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线

4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关

（1）一点一方向：

① 点斜式：已知直线的斜率，直线上一点，则直线的方程为：

证明：设直线上任意一点，根据斜率计算公式可得：，所以直线上的每一点都应满足：，即为直线方程

② 斜截式：已知直线的斜率，纵截距，则直线的方程为：

证明：由纵截距为可得直线与轴交点为，从而利用点斜式得：

化简可得：

（2）两点确定一条直线：

③ 两点式：已知直线上的两点，则直线的方程为：

④ 截距式：若直线的横纵截距分别为，则直线的方程为：

证明：从已知截距可得：直线上两点，所以

⑤ 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：（不同时为0），此形式称为直线的一般式

一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果

可用于判定直线的平行垂直关系

点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式

5、五种直线形式所不能表示的直线：

（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线）

（2）截距式：① 截距不全的直线：水平线，竖直线

② 截距为0的直线：过原点的直线

6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

（二）直线位置关系：

1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合

如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是，则要考虑重合的情况.

2、直线平行的条件

（1）斜截式方程：设直线

①

② 若直线的斜率存在，则

（2）一般式方程：设，则

① 当时，∥

② ，且和中至少一个成立，则∥（此条件适用于所有直线）

3、直线垂直的条件：

（1）斜截式方程：设直线，则

（2）一般式方程：设，则：

4、一般式方程平行与垂直判定的规律：

可选择与一般式方程对应的向量：，即有：

，从而的关系即可代表的关系，例如：

（注意验证是否会出现重合的情况）

（三）距离问题：

1、两点间距离公式：设，则

2、点到直线距离公式：设

则点到直线的距离

3、平行线间的距离：

则的距离为

（四）对称问题

1、中心对称：

（1）几何特点：若关于点中心对称，则为线段的中点

（2）解析特征：设，，则与点关于点中心对称的点满足：

2、轴对称

（1）几何特点：若若关于直线轴对称，则为线段的中垂线，即，且的中点在上

（2）解析特征：设，，则与点关于轴对称的点满足：

，解出即可

（3）求轴对称的直线：设对称轴为直线，直线关于的对称直线为

① 若∥，则∥，且到对称轴的距离与到对称轴的距离相等

② 若与相交于，则取上一点，求出关于的对称点，则即为对称直线

（五）直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含有参数（以参数的不同取值确定直线）

1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值

（1）与直线平行的直线系方程为：（为参数，且）

（2）与直线垂直的直线系方程为：（为参数）

2、过定点的直线：

（1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为0即可

（2）已知（与不重合），则过交点的直线系方程为：（该直线无法表示）

3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直线设为只含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参数，即可得到所求直线方程

【经典例题】

例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数8】点到直线距离的最大值为（）

A． B． C． D．

例2．（2020·河南高三三模）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，得到的点数分别为a，b（），若直线，，则直线的概率为（）

A． B． C． D．

例3．（2020·全国衡水·高三三模）已知为直线的倾斜角，若，则直线的斜率为( )

A．3 B．-4 C． D．

例4．（2020·霍邱县第二中学高三三模）抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是( )

A． B． C． D．

例5．（2020·江西省信丰中学三模）已知直线过点，且倾斜角为直线：的倾斜角的2倍，则直线的方程为（）

A． B．

C． D．

例6．（2020·山东高三三模）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（）

A． B．

C． D．

例7．（2020·全国高三三模）已知坐标原点关于直线l1：x－y＋1＝0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　)

A．2x＋3y＋5＝0 B．2x－3y＋5＝0

C．3x＋2y＋5＝0 D．3x－2y＋5＝0

例8．（2020·越秀·广东实验中学高三三模）已知长方形的四个顶点：、、、.一质点从点出发，沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、、（入射角等于反射角）.设的坐标为，若，则的范围是（）

A． B． C． D．

【精选精练】

1．（2020·天津滨海新·高三三模）已知直线：，：，其中，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2020·上海高三三模）直线的倾斜角是（）．

A． B．

C． D．

3．（2020·全国高三三模）直线的倾斜角的取值范围是（）

A． B．

C． D．

4．（2020·上海高三三模）直线，和直线不能构成三角形，则的个数是（）．

A． B． C． D．

5．（2020·四川高三三模）已知直线：与圆：交于，两点，与平行的直线与圆交于，两点，且与的面积相等，给出下列直线：①，②，③，④.其中满足条件的所有直线的编号有（）

A．①② B．①④ C．②③ D．①②④

6．（2020·河南宛城·南阳中学高三三模）过原点作直线的垂线，垂足为P，则P到直线的距离的最大值为（）

A． B． C． D．

7．（2020·山东潍坊·高三三模）“”是“直线与直线垂直”的（）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

8．（2020·湖北武汉·高三三模）已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（）

A． B． C．4 D．5

9．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点，不重合），则的面积最大值是　　

A． B．5 C． D．

10．（2020·陕西渭南·高三三模）唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从出发，河岸线所在直线方程，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）