专题62 几何概型（原卷版）学案

专题62  几何概型

【热点聚焦与扩展】

纵观近几年的高考试题，概率是高考热点之一，以实际问题为背景，考查几何概型的计算以及分析、推理能力.难度控制在中等以下．

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.

1．几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

2．几何概型的两个基本特点

(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；

(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．

3．几何概型的概率公式

P(A)＝.

4.几何概型常见的类型，可分为三个层次：

（1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率.

（2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题）

（3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数.从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量→数轴，两个变量→平面直角坐标系，三个变量→空间直角坐标系.从而将问题转化成为第（2）类问题求解

5.与长度有关的几何概型

如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．

6．与角度有关的几何概型

当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．

7. 求解与面积有关的几何概型的关键点

求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．

8. 求解与体积有关的几何概型的关键点

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．

【经典例题】

例1．（2020·四川成都·高三三模）已知、满足，则事件“”的概率为（    ）

A． B． C． D．

例2．（2020·安徽高三三模）如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（    ）

A． B． C． D．

例3．（2020·贵州高三三模）在区间[-2，2]随机取一个数，则事件“，且”发生的概率为（    ）

A． B． C． D．

例4．（2020·山西运城·高三三模）第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为，且.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（    ）.

A． B． C． D．

例5．（2020·河南高三三模）《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”其中“解”字的意思是用一个平面对某几何体进行切割.已知正方体，随机在线段上取一点，过该点作垂直于的平面，则平面“解”正方体所得的大、小两部分体积之比大于5的概率为（    ）

A． B． C． D．

例6．（2020·河南郑州一中高三三模）在上随机取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（    ）

A． B．

C． D．

例7．（2020·湖南衡阳市八中高三三模）在等腰直角三角形中，过直角顶点C在内部任作一条直线，交边于点M，则的概率为（    ）

A． B． C． D．

例8．（2020·山西高三三模）圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线叫做“等宽曲线”．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）：画一个等边三角形为圆心，边长为半径，作圆弧,这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.在图2中的正方形内随机取一点，则这点落在鲁列斯曲边三角形内的概率是

A． B．

C． D．

【精选精练】

1．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三三模）在区间[-2，2]上随机抽取一个数x，则事件“-1≤ln（x＋1）≤1”发生的概率为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·江西高三三模）如图，随机向大圆内投一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·四川省仁寿第二中学高三三模）一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．（2019·四川南充·高三三模）已知函数，其中，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为

A． B．

C． D．

5．（2020·黑龙江哈师大附中高三三模）已知正方形的边长为，以为顶点在内部作射线，射线与正方形的边交于点，则的概率为(    )

A． B． C． D．

6．（2020·福建高三三模）已知圆C：，直线，圆C上任意一点P到直线的距离小于4的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三三模）已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为

A． B． C． D．

8．（2020·安徽省颍上第二中学高三三模）已知正三棱柱有内切球，在该三棱柱内随机放入个点，有个落入其内切球内，则的近似值为（    ）

A． B． C． D．

9．（2020·湖南长郡中学高三三模）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”.三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷100枚飞镖，则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是（    ）

A．30 B．40 C．50 D．60

10．（2020·陕西铜川·高三三模）在区间上随机取一个数，则直线与圆有两个不同公共点的概率为（ ）

A． B． C． D．

11．（2020·合肥一六八中学高三三模）定义：在区域内任取一点，则点满足的概率为（  ）

A． B． C． D．

12．（2020·四川成都·高三三模）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（    ）

A． B． C． D．